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第2章 2.2.2第2课时


第2章 函
2.2.2
第2课时



函数的奇偶性
奇偶性的应用

本节知识目录

第2课时

明目标、知重点 探究点一 利用奇偶性求函数解 析式 奇、偶函数的单调性

奇偶性
的应用

填要点、记疑点

探要点、究所然

探究点二

当堂测、查疑缺

探究点三

函数的奇偶性与单调 性的综合应用

明目标、知重点

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明目标、知重点

第2课时

1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.
2.会推断奇偶函数的性质. 3.培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转化 能力的训练.

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第2课时

奇偶性的应用中常用到的结论 (1)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则必有 f(0)= 0 . (2)若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函 数,且有最小值 -M .

(3)若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则 f(x)在(0,+∞)上是 增函数 .

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第2课时

探究点一 :利用奇偶性求函数解析式
例1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-x+1,求当 x<0 时,f(x)

的解析式.



设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,

又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴当 x<0 时,f(x)=-x-1.

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探究点一 :利用奇偶性求函数解析式

反思与感悟

求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x,然后把 x 转化

为-x,此时-x 成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的 定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.

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探究点一 :利用奇偶性求函数解析式
跟踪训练 1 的解析式. 1 设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)= ,求函数 f(x),g(x) x-1



∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 又 f(x)+g(x)= , x-1 1 用-x 代换 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1
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第2课时

探究点一 :利用奇偶性求函数解析式

1 ∴f(x)-g(x)= , -x-1



1 (①+②)÷ 2,得 f(x)= 2 ; x -1
x (①-②)÷ 2,得 g(x)= 2 . x -1

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探究点二 :奇、偶函数的单调性
思考 1 观看下列两个偶函数的图象在 y 轴两侧的图象有何不同?可得出什么结论?



偶函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相反的;即偶函数在关于原点对称

的区间上的单调性相反.

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探究点二 :奇、偶函数的单调性
思考 2 观看下列两个奇函数的图象在 y 轴两侧的图象有何不同?可得出什么结论?



奇函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相同的;即奇函数在关于原点对称

的区间上的单调性相同.

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探究点二 :奇、偶函数的单调性
例2 已知函数 f(x)是奇函数,其定义域为(-1,1),且在[0,1)上为增函数.

若 f(a-2)+f(3-2a)<0,试求 a 的取值范围.



∵f(a-2)+f(3-2a)<0,∴f(a-2)<-f(3-2a).

又 f(x)为奇函数,∴f(a-2)<f(2a-3).
又 f(x)在[0,1)上为增函数, ∴f(x)在(-1,1)上为增函数, ∴f(x)在(-1,1)上为增函数,
?a-2<2a-3 ? ∴?-1<a-2<1 ? ?-1<2a-3<1
明目标、知重点

?a>1 ? ∴?1<a<3 ,∴1<a<2. ? ?1<a<2
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探究点二 :奇、偶函数的单调性

反思与感悟

在奇、偶函数定义中,交换条件和结论仍成立.即若 f(x)为奇函数,

则 f(-x)=-f(x).若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x).

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探究点二 :奇、偶函数的单调性
跟踪训练 2 已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,解

不等式 f(1-x)+f(1-2x)<0.



∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,

∴由 f(1-x)+f(1-2x)<0,得 f(1-x)<-f(1-2x).
∴f(1-x)<f(2x-1). 又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,
?-1<1-x<1, ? ∴?-1<1-2x<1, ? ?1-x>2x-1.
明目标、知重点

2 2 解得 0<x<3.∴原不等式的解集为(0,3).
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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用
例3 设函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,又 f(x)在(0,+∞)上是 1 减函数,且 f(x)<0,试判断函数 F(x)= 在(-∞,0)上的单调性,并给出证明. f?x?
F(x)在(-∞,0)上是增函数,以下进行证明:



设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(-x1)<f(-x2),
即 f(-x2)-f(-x1)>0.
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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用
又∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).
由①式得-f(x2)+f(x1)>0,

即 f(x1)-f(x2)>0.

又∵f(x)在(0,+∞)上总小于 0,
∴f(x1)=-f(-x1)>0,f(x2)=-f(-x2)>0,f(x1)· f(x2)>0,

f?x1?-f?x2? 1 1 F(x2)-F(x1)= - = >0. f?x2? f?x1? f?x1?· f?x2?
1 故 F(x)= 在(-∞,0)上是增函数. f?x?
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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用

反思与感悟

判断抽象函数奇偶性时,赋值后出现 f(-x)和 f(x)是关键,故赋值要恰

当,要认真体会赋值法在解题中的作用.

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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用
跟踪训练 3 已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证:f(x)是奇函数; 1 (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2


(1)证明

∵函数定义域为 R,其定义域关于原点对称.

∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,
则 f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,
则 f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.
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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用
∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)解 设 x1<x2,且 x1,x2∈R+.

则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]
=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.
∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x)在 R 上单调递减.
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探究点三 :函数的奇偶性与单调性的综合应用

∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.
1 ∵f(1)=-2,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.

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1.若函数 f(x)=x3,x∈R,则下列关于函数 y=f(-x)在其定义域上的结论正确的 是________.(填序号) ①单调递减的偶函数;②单调递减的奇函数;③单调递增的偶函数;④单调递 增的奇函数.

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1.若函数 f(x)=x3,x∈R,则下列关于函数 y=f(-x)在其定义域上的结论正确的
② 是________ .(填序号)

①单调递减的偶函数;②单调递减的奇函数;③单调递增的偶函数;④单调递 增的奇函数.
解析 由题意,得 y=f(-x)=-x3,易知函数 y=-x3 为奇函数且为 R 上的减

函数.

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2.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则 a,b 的大小 关系为________.

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2.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则 a,b 的大小
|a|<|b| . 关系为________

解析

因 y=f(x)为偶函数,所以 y=f(x)=f(|x|),

又因 f(a)<f(b),所以 f(|a|)<f(|b|), 又 f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以|a|<|b|.

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3.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=x2+3x+1,则 f(x) =________.

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3.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=x2+3x+1,则 f(x)
x2+1 =________.

解析

∵f(x)+g(x)=x2+3x+1,



∴f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.
又 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(x)-g(x)=x2-3x+1.
由①②联立,得 f(x)=x2+1.
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4.若函数 f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是________.

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,+∞) . 4.若函数 f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是[0 ________

解析

利用函数 f(x)是偶函数,得 k-1=0,k=1,所以 f(x)=-x2+3,其单调

递减区间为[0,+∞).

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5.若函数

2 ? ?x +2x?x≥0? f(x)=? ? ?g?x??x<0?

为奇函数,则 f(g(-1))=________.

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5.若函数

2 ? ?x +2x?x≥0? f(x)=? ? ?g?x??x<0?

-15 为奇函数,则 f(g(-1))=________.

解析

当 x<0 时,-x>0,由 f(x)是奇函数,

所以 f(-x)=-f(x)=(-x)2-2x=x2-2x,

所以 f(x)=-x2+2x. 即 g(x)=-x2+2x, 因此,f(g(-1))=f(-3)=-9-6=-15.

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第2课时 呈重点、现规律

1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映,也体现了在关于原点对称的定义 域的两个区间上函数值及其性质的相互转化,这是对称思想的应用. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一 定有 f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质: f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到 [0,+∞)上,避免 分类讨论.

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第2课时

3.具有奇偶性的函数的单调性的特点 (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 4.函数图象的平移变换是一种基本的图象变换.一般地,函数 y=f(x-a)的图象可 由函数 y=f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到.

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