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河北省石家庄市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题+Word版含答案


石家庄二中 2017-2018 学年第一学期期中考试 高一数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
x 1.已知集合 A ? ??1,0,1,2? , B ? x |1 ? 2 ? 4 ,则 A ? B ? (

?

?

) D. ?1, 2?

A. ??1,0,1?

B. ?0,1, 2?

C. ?0,1? )

2.下列幂函数中过点 (0, 0) , (1,1) 的偶函数是( A. y ? x 2
1

B. y ? x 3

2

C. y ? x ?4

D. y ? x 3

1

3.已知 f ( x ) , g ( x) 对应值如表:

则 g ( f ( g (?1))) 的值为( A. 1

) B. 0 C. ?1 D.无法确定 )

3 4.设函数 y ? x 与 y ? ( )

1 2

x?2

的图象的交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间是( C. (2,3)
1.3

A. (0,1)

B. (1, 2)
0.1

D. (3, 4) )

5.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 , c ? 0.2 ,则 a , b , c 的大小关系是( A. a ? b ? c 6.函数 y ? B. c ? a ? b ) C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

x3 的图象大致是( 3x ? 1

7.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 为( ) B. (?2, 0) ? (0, 2)

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集 x

A. (?2, 0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ?(2, ??)

D. (??, ?2) ? (0, 2) )

8.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 3a) 在区间 (2, ??) 上是增函数, 则 a 的取值范围是 ( A. ( ??, 4] B. ( ??, 2] C. (?4, 4] D. ? ?4, 4? ) D. ?x | 0 ? x ? 1?

9.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?0, 2? ,则 A. ?x | 0 ? x ? 4?

f (2 x ) 的定义域为( x

B. ?x | 0 ? x ? 4? C. ?x | 0 ? x ? 1?

10.设偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 ( ??, 0) 上递增,则 f (a ? 1) 与 f (b ? 3) 的大小关系是 ( ) B. f (a ? 1) ? f (b ? 3) D.不确定

A. f (a ? 1) ? f (b ? 3) C. f (a ? 1) ? f (b ? 3)

? 4 ?1 ? , x ? 4, 11.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的根,则实数 k 的 x ? ?log 2 x, x ? 4,
取值范围是( A. (??,1) ) B. (??, 2) C. [1, 2) D. (1, 2)

12.定义一种运算 a ? b ? ?

?a, a ? b, 2 令 f ( x ) ? (3 ? 2 x ? x )? | x ? t | ( t 为常数) ,且 ?b, a ? b,


x ???3,3? ,则使函数 f ( x) 的最大值为 3 的 t 的集合是(

A. ??3,3?

B. ??1,5?

C. ?3, ?1?

D. ??3, ?1,3,5?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数 f ( x) ? loga (2x?1 ? 3) 恒过定点,则此定点为 . .

14. f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数, 定义域为 ?a ?1,2a? , 则 f ( x ) 的值域是 15.已知 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 2 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围 是 .

16.设函数 f ( x) ? ?

?3x ? 1, x ? 1,
x ?2 , x ? 1,

则满足 f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的 a 的取值范围是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. A ? ? x |

? ?

2 ? ? 1? , B ? ?x | log2 ( x ?1) ? 2 ? log2 ( x ?1)?. x ?

(1)求 A , B ; (2)求 A ? B , A ? (?R B) .

? x 2 ? bx ? c, ?4 ? x ? 0, 18.设函数 f ( x) ? ? 若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?1 . ?? x ? 3, x ? 0,

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)画出函数 f ( x ) 的图象,并指出函数的定义域、值域、单调区间. 19.已知函数 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 , b ? 1 ) ,在区间 ? 2,3? 上有最大值 4,最小 值 1,设函数 f ( x ) ?

g ( x) . x

(1)求 a , b 的值及函数 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 在 x ???1,1? 时有解,求实数 k 的取值范围. 20.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? x ? 2 . (1)求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式; (2)设 h( x) ? mx 2 ? 3mx ? 3 (其中 m ? R ) ,解不等式 h( x) ? g ( x) . 21.已知函数 f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ,其中 a 为常数. 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性并证明; (2)当 a ? 1 时,对于任意 x ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x2 ? m ? 6) ? f (?2mx) ? 0 恒成立,求 实数 m 的取值范围. 22.已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 h( x) ? 4
1 f ( x )? x 2

? m ? 2 x ? 1, x ??0,log2 3? ,是否存在实数 m 使得 h( x) 最小值

为 0,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

石家庄二中 2017-2018 学年第一学期期中考试高一数学答案 一、选择题
1-5: CBCBC 6-10: CBDDB 11、12: DC

二、填空题
13. (3, 0) 14. ?1,

? 31 ? ? 27 ? ?

15. (2 ? 3, 2 ? 3)

16. [ , ??)

2 3

三、解答题
17.解: (1)由

2 x?2 ? 1 ,则 ? 0 ,故 A ? ?x | 0 ? x ? 2? , x x

而 log2 ( x ? 1) ? 2 ? log 2 ( x ?1) ,

log2 ( x ? 1) ? log2 ( x ?1) ? log2 ( x ? 1)( x ?1) ? log2 4 ,
? x ? ?1, ? x ? 1 ? 0, ? ? 等价于 ? x ? 1 ? 0, 则 ? x ? 1, ?( x ? 1)( x ? 1) ? 4, ? ? ? x ? 5或x ? ? 5
即B ? x| x ? 5 . (2) A ? B ? ?x | x ? 0? , A ? (?R B) ? 0 ? x ? 5 . 18.解: (1)∵ f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?1 ,∴ 16 ? 4b ? c ? 3 , 4 ? 2b ? c ? ?1 , 解得 b ? 4 , c ? 3 ,∴ f ( x) ? ? (2)作图如图. 由图像可知,函数的定义域为 [?4, ??) ,值域为 (??,3] . 单调增区间为 (?2, 0) ,单调减区间为 (?4, ?2) 和 (0, ??) .
2 19.解: (1) g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 , b ? 1 ) ,由题意得

?

?

?

?

? x 2 ? 4 x ? 3, ?4 ? x ? 0, ?? x ? 3, x ? 0.

?a ? 0, ?a ? 1, ? ① ? g (2) ? 1 ? b ? 1, 得? ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4, ?b ? 0, ?

? a ? 0, ?a ? ?1, ? ② ? g (2) ? 1 ? b ? 4, 得? (舍) . ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1, ?b ? 3 ? 1, ?
∴ a ? 1 , b ? 0 , g ( x) ? x2 ? 2 x ? 1, f ( x ) ? x ? (2)不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 ,即 2 ?
x

1 ? 2. x

1 ? 2 ? k ? 2x , x 2

∴k ? ( 设t ?

1 2 1 ) ? 2 ? x ?1 , x 2 2

1 ?1 ? 2 ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,∵ x ???1,1? ,故 g ? ? , 2 ? . x 2 ?2 ?

记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 , ∵ t ? ? , 2 ? ,∴ h(t )max ? 1 , 2 故所求 k 的取值范围是 (??,1] . 20.解: (1)由题意 f (? x) ? g (? x) ? x2 ? x ? 2 ,即 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? x ? 2 , 联立得 f ( x) ? x2 ? 2 , g ( x) ? x . (2)由题意不等式即 mx ? (3m ?1) x ? 3 ? 0 ,
2

?1 ?

? ?

当 m ? 0 时,即 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?3 ; 当 m ? 0 时,即 (mx ? 1)( x ? 3) ? 0 ,对应方程的两个根为 x1 ? 故当 m ? 0 时,易知

1 , x2 ? ?3 , m

1 1 ? ?3 ,不等式的解为 ?3 ? x ? ; m m 1 1 1 当 m ? 0 时,若 ? ?3 ,即 m ? ? 时,不等式的解为 x ? ?3 或 x ? ; m 3 m 1 1 若 ? ?3 ,即 m ? ? 时,不等式的解为 x ? ?3 ; m 3 1 1 1 若 ? ?3 ,即 m ? ? 时,不等式的解为 x ? 或 x ? ?3 ; m 3 m
综上所述,当 m ? ?

1 1? ? 时,不等式的解为 ? x | x ? ?3或x ? ? ; 3 m? ?

当?

1 1 ? ? ? m ? 0 时,不等式的解集为 ? x | x ? 或x ? ?3? ; 3 m ? ?

当 m ? 0 时,不等式的解集为 ?x | x ? ?3? ; 当 m ? 0 时,不等式的解集为 ? x | ?3 ? x ?

? ?

1? ?. m?

21.解: (1)函数 f ( x) ? 证明如下:

a(2 x ? 1) ? 2 2 ?a? x 在 R 上是增函数. x 2 ?1 2 ?1

任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?
x x

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) , ) ? ( a ? ) ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

∵ x1 ? x2 ,∴ 2 1 ? 2 2 ? 0 , 2 1 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) ? a ?

2 在 R 上是增函数. 2 ?1
x

2x ? 1 (2)由(1)知函数在定义域上是增函数,当 a ? 1 时, f ( x) ? x ,则 2 ?1 f (? x) ? 2? x ? 1 1 ? 2 x ? ? ? f ( x) , 2? x ? 1 1 ? 2 x

∴函数 f ( x ) 是奇函数, 则对于任意 x ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x2 ? m ? 6) ? f (?2mx) ? 0 恒成立, 等价为对于任意 x ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x2 ? m ? 6) ? ? f (?2mx) ? f (2mx) 恒成立, 即 x ? m ? 6 ? 2mx ,在 x ?? ?2, 2? 恒成立
2

即 x ? 2mx ? m ? 6 ? 0 ,在 x ?? ?2, 2? 恒成立,
2

设 g ( x) ? x ? 2mx ? m ? 6 ,则等价为 g ( x)min ? 0 即可.
2

即 g ( x) ? x ? 2mx ? m ? 6 ? ( x ? m) ? m ? m ? 6 ,
2 2 2

当 m ? ?2 ,则函数 g ( x) 的最小值为 g (?2) ? 5m ? 10 ? 0 ,得 m ? ?2 ,不成立, 当 ?2 ? m ? 2 ,则函数 g ( x) 的最小值为 g (m) ? ?m ? m ? 6 ? 0 ,得 ?2 ? m ? 2 ,
2

当 m ? 2 ,则函数 g ( x) 的最小值为 g (2) ? ?3m ? 10 ? 0 ,得 ?2 ? m ?

10 . 3

综上 ?2 ? m ?

10 . 3

22.解: (1)∵ f (? x) ? f ( x) ,即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ?1) ? kx 对于任意 x ? R 恒 成立, ∴ 2kx ? log 4 (4
?x

? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4

1 4? x ? 1 ,∴ 2 kx ? ? x , k ? ? . x 2 4 ?1

(2) 由题意 h( x) ? 4x ? m ? 2x ,x ??0,log2 3? , 令 t ? 2x ?1 , 3 ? 开口向上,对称轴 t ? ? 当?

? ,? (t ) ? t 2 ? mt ,t ??1,3? ,

m , 2

m ? 1,即 m ? ?2 时, ? (t ) ? ? (1) ? m ? 0 , m ? ?1 ; 2
m m m2 ? 3 ,即 ?6 ? m ? ?2 ? (t )min ? ? (? ) ? ? ? 0 , m ? 0 (舍去) ; 2 2 4

当1 ? ? 当?

m ? 3 ,即 m ? ?6 , ? (t )min ? ? (3) ? 9 ? 3m ? 0 , m ? ?3 (舍去) , 2

∴存在 m ? ?1 得 h( x) 最小值为 0.


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