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第二章习题讲解1


第二章习题讲解

?n ? 1, 0 ? n ? 4 3.设 x(n) ? ? 其他n ? 0,

h(n) ? R4 (n ? 2)

h (n) ? h((n))6 , 令 x(n) ? x((n))6 ,

试求 x ( n) 与 h ( n ) 的周期卷积并作图。 解:

>y ( n ) ? ? x ( m)h ( n ? m )
m ?0

N ?1

x ?n / m?

n m

h ?2 ? m? h ?4 ? m? h ?5 ? m ? h ?3 ? m ?

h ?n / m? h ? ?m ? h ?1 ? m ?

…-4 -3 …3 4 …1 1 …1 1 …1 1 …0 1 …0 0 …1 0 …1 1

-2 5 1 1 1 1 1 0 0

-1 0 1 0 1 1 1 1 0

0 1 0 0 0 1 1 1 1

1 2 0 1 0 0 1 1 1

2 3 1 1 1 0 0 1 1

3 4 1 1 1 1 0 0 1

4 5 1 1 1 1 1 0 0

5 0 1 0 1 1 1 1 0

6 7… 1 0 0 0 1 1 1 1 2… 0… 1… 0… 0… 1… 1… 1…
y (n )

14

12 10
8 6 10

4. 已知 x ( n) 如图P3-4(a)所示,为 {1,1,3,2} ,试 画出 x((?n))5,x((?n))6 R6 (n) , x((n))3 R3 (n), x((n))6,x((n ? 3))5 R5 (n),x((n))7 R7 (n) 等各序列。

x((n))6

x(( ?n))5

x(( ?n ))6 R6 (n)

x((n))3 R3 (n)

x((n ? 3))5 R5 (n)

x((n ))7 R7 (n)

5. 试求以下有限长序列的 N 点DFT(闭合形式表 达式):
(1) x(n) ? a cos(?0n) RN (n)
nk 解:X (k ) ? ? x(n )WN RN (k ) n ?0 N ?1

? ? a cos(?0n )e
n ?0

N ?1

?j

2? nk N

RN (k )

2? N ?1 ? j nk ? ? 1 ? j?0n j?0n N ? a ? ? (e ? e )e RN ( k ) ? 2 ? n ?0 ? N ?1 ? j ( 2? k ?? ) n N ?1 ? j ( 2? k ?? ) n ? ? 1 0 0 N N ? a ?? e ? ?e RN (k ) ? 2 ? n ?0 n ?0 ?

1 ? 1 ? e ? j?0 N 1 ? e ? j?0 N ? ? RN (k ) ? a? ? 2? 2? ? j ( k ??0 ) ? j ( k ??0 ) ? 2 ? N 1? e N ?1 ? e ?
? N ? N ? N ?j 0 j 0 ?j 0 ? 1 ? e 2 (e 2 ? e 2 ) ? a 1 2? 1 2? 1 2? ? ? j ( k ? ? ) j ( k ? ? ) ? j ( k ??0 ) 2 0 0 2 N 2 N 2 N (e ?e ) ? ?e

? e (e ?e ) ? R (k ) ? 1 2? N 1 2? 1 2? ? j ( k ??0 ) j ( k ??0 ) ? j ( k ??0 ) ? e 2 N (e 2 N ?e 2 N )? ?
?j j ?j

?0 N 2

?0 N 2

?0 N 2

?0 N ?0 N ? ? sin( ) ? N ?1 sin( ) ? N ?1 j k? j ?0 j k? j ?0 ? 1 ? 2 2 N 2 N 2 ? a? e ? e RN ( k ) ? ? 1 2 sin( ? k ? 1 ? ) sin( k ? ?0 ) ? ? 0 N 2 N 2 ? ?

(2) x(n) ? a n RN (n)

解:X (k ) ? ? x (n )W RN (k )
n ?0 nk N

N ?1

? ? ane
n ?0
N ?1

N ?1

?j

2? nk N

RN (k )
? ? RN ( k ) ?
n

? ? ? ? ae n ?0 ?

2? ?j k N

?

1? aN 1 ? ae
2? ?j k N

RN (k )

(3) x(n) ? ? (n ? n0 )
N ?1 n ?0

0 ? n0 ? N

nk 解:X (k ) ? ? x (n )WN RN (k )

? ? x ( n )e
n ?0 N ?1 n ?0

N ?1

?j

2? nk N

RN (k )
2? nk N

? ? ? (n ? n0 )e
?e
?j 2? n0 k N

?j

RN (k )

RN (k )

8. 下图表示一个5点序列 x ( n) 。
(1)试画出 x(n) ? x(n) ; (2)试画出 x ( n)⑤ x ( n) ; (3)试画出x ( n) ⑩ x ( n) ;

x ( n) ? x ( n)

x ( n) ⑤ x ( n)

x ( n) ⑩ x ( n)

9. 设有两个序列

? x(n), 0 ? n ? 5 x ( n) ? ? 其他n ? 0, ? y (n), 0 ? n ? 14 y ( n) ? ? 其他n ? 0,
各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求 乘积的IDFT,设所得结果为 f (n) ,问 f (n) 的 哪些点(用序号 n 表示)对应于 x(n) ? y (n) 应 该得到的点。

y ( n) 的点数为 N 2 ? 15, 解: 序列 x ( n) 的点数为 N1 ? 6 , 故 x ( n ) ? y ( n ) 的点数应为

N ? N1 ? N 2 ? 1 ? 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N ? 1) 0
?15 ( ? L)
4 ( ? L ? N ? 1)

又 f (n) 为 x ( n) 与 y ( n) 的15点的圆周卷积,即L=15。

15 ( L)

34 ( L ? N ? 1)

混叠点数为N-L=20-15=5 n ? 0 ~ n ? 4( ? N ? L ? 1) 故 f (n) 中只有 n ? 5到 n ? 14的点对应于 x ( n ) ? y ( n )
应该得到的点。

10. 已知两个有限长序列为

?n ? 1, 0 ? n ? 3 x ( n) ? ? 4?n?6 ? 0, ??1, 0 ? n ? 4 y ( n) ? ? ? 1, 5 ? n ? 6
试用作图表示 x ( n) ,y ( n) 以及 f (n) ? x(n) ⑦ y ( n) 。

n m x ?n / m? y ?n / m?

y ? ?1 ? m ? ?7 R7 ? n ?

y ? ? ?m ? ?7 R7 ? n ?

y ? ? m ? ?7 y ? ? ? m ? ?7

y ? ? 3 ? m ? ?7 R7 ? n ? y ? ? 4 ? m ? ?7 R7 ? n ? y ? ? 5 ? m ? ?7 R7 ? n ? y ? ? 6 ? m ? ?7 R7 ? n ?

y ? ? 2 ? m ? ?7 R7 ? n ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 …-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 …-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 f ( n ) 0 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 4 -2 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -10 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -10 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -8 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -4

…-3 -2 -1

X (k ) ? DFT ? x(n)?。 11.已知 x ( n) 是N点有限长序列, 现将长度变成rN点的有限长序列 y ( n) ? x(n), 0 ? n ? N ? 1 y ( n) ? ? N ? n ? rN ? 1 ? 0, 试求rN点 DFT ? y (n)? 与 X ( k ) 的关系。
解:由 X (k ) ? DFT [ x(n)] ? ? x(n)e
n ?0 N ?1 ?j 2? nk N

,0 ? k ? N ? 1
N ?1 n ?0



Y (k ) ? DFT [ y (n )] ?
? ? x ( n )e
n ?0 N ?1 ?j

rN ?1 n ?0

nk nk ? x ( n ) W y ( n ) W ? rN ? rN

2? nk rN

? ? x ( n )e
n ?0

N ?1

?j

2? k n N r

?k? ?X? ? ?r?

k ? lr, l ? 0,1,..., N ? 1

X ( k ) ? ? x ( n )e
n ?0

N ?1

?j

2? nk N

0 ? k ? N ?1

?k? Y (k ) ? X ? ? ?r?

k ? lr, l ? 0,1,..., N ? 1

相当于频域插值 在一个周期内,Y (k)的抽 样点数是X (k)的r倍( Y (k) 的周期为Nr),相当于在 X (k)的每两个值之间插 入r-1个其他值(不一定 为零),而当k为r的整数 l倍时,Y (k)与X (k / r)相 等。

X (k ) ? DFT [ x(n)], 12. 已知 x ( n) 是N点的有限长序列, 现将 x ( n) 的每两点之间补进 r ? 1个零值点,得到 一个rN点的有限长序列 y ( n)

? x(n r ), n ? ir, i ? 0,1,..., N ? 1 y (n) ? ? 其他n ? 0, 试求rN点 DFT [ y (n)] 与 X ( k ) 的关系。
nk 解:由 X (k ) ? DFT [ x(n)] ? ? x( n)WN ,0 ? k ? N ? 1 n ?0 N ?1



Y (k ) ? DFT [ y (n)] ? ? ? x(ir r )W
i ?0 N ?1 irk rN

rN ?1 n ?0

nk y ( n ) W ? rN
ik ? ? x (i )WN i ?0 N ?1

0 ? k ? rN ? 1

nk X (k ) ? ? x(n)WN n ?0
ik Y (k ) ? ? x(i )WN i ?0 N ?1

N ?1

0 ? k ? N ?1
0 ? k ? rN ? 1

故 Y (k ) ? X ((k )) N RrN (k ) 离散时域每两点间插 入 r -1个零值点,相 当于频域以N为周期 延拓r次,即Y(k)周期 为rN。

14.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须 为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理 措施,要求频率分辨力 ? 10 Hz ,如果采用的抽 样时间间隔为0.1ms,试确定:(1)最小记录长 度;(2)所允许处理的信号的最高频率;(3) 在一个记录中的最少点数。

1 解: (1)因为T0 ? ,而F0 ? 10 Hz ,所以 F0
即最小记录长度为0.1s。

1 T0 ? s 10

1 1 (2)因为 f s ? ? ? 103 ? 10kHz ,而 f s ? 2 f h T 0.1 1 f h ? f s ? 5kHz 2 即允许处理的信号的最高频率为 5kHz 。 T0 0.1 (3) N ? ? ? 103 ? 1000 T 0.1 又因N必须为2的整数幂,所以一个记录中的 最少点数为 N ? 210 ? 1024

19. 复数有限长序列 f ? n ?是由两个实有限长序列 x ? n ? 和 y ? n ?? 0 ? n ? N ? 1? 组成的,f ? n ? ? x ? n ? ? jy ? n ? 且已知F ? k ? ? DFT ? ? f ? n ?? ? 有以下两种表达式:

1? aN 1 ? bN ?j ?1? F ? k ? ? k k 1 ? aWN 1 ? bWN

? 2 ? F ? k ? ? 1 ? jN
其中 a, b 为实数。试用 F ? k ? 求 X ? k ? ? DFT ? ? x ? n ?? ?, Y ? k ? ? DFT ? ? y ? n ?? ? , x ? n?, y ? n?

1? aN 1 ? bN ?j ?1? F ? k ? ? k k 1 ? aWN 1 ? bWN
解:由DFT的线性性 F (k ) ? DFT [ f (n )] ? DFT [ x (n ) ? jy (n )]
? DFT [ x ( n )] ? jDFT [ y ( n )] ? X ( k ) ? jY ( k )

由共轭对称性得
X ( k ) ? DFT [ x ( n )] ? DFT {Re[ f ( n )]}

1 * ? Fep (k ) ? ? F ( k ) ? F (( N ? k )) N ? RN ( k ) ? ? 2

1 * X (k ) ? ? F ( k ) ? F (( N ? k )) N ? RN ( k ) ? ? 2
* N N N N ? ? 1? a ?? 1 1? a 1? b 1? b ? ? ?j ?? ?j R (k ) k k N ?k N ?k ? ? N 2 ?1 ? aWN 1 ? bWN ? 1 ? aWN 1 ? bWN ? ? ? ?

? ? N N N N 1 ? 1? a 1? b 1? a 1? b ? RN ( k ) ? ?j ? ?j * * k k ?k 2 ?1 ? aWN 1 ? bWN 1 ? a ?W ? k ? ? 1 ? b W ? ? N N ? ?

1? aN ? RN ( k ) k 1 ? aWN
? 1 ? ? aW
k N

?

N

k 1 ? aWN

n kn ? a W RN ( k ) ? N RN ( k ) n ?0 n ? x(n) ? a RN (n)

N ?1

Y ( k ) ? DFT [ y ( n )] ? DFT {Im[ f ( n )]} 1 * 1 ? F (k ) ? F (( N ? k )) N ? RN (k ) ? Fop (k ) ? ? ? 2j j * N N N N ? ? 1? a ?? 1 1? a 1? b 1? b ? ?j ?? ?j R (k ) ? k k N ?k N ?k ? ? N 2 j ?1 ? aWN 1 ? bWN ? 1 ? aWN 1 ? bWN ? ? ? ?
? ? 1 ? 1? aN 1 ? bN 1? aN 1 ? bN ? ? ?j ? ?j RN ( k ) * * k k ?k 2 j ?1 ? aWN 1 ? bWN 1 ? a ?W ? k ? ? 1 ? b W ? ? N N ? ?

1 ? bN ? RN ( k ) k 1 ? bWN
? 1 ? ? bW
k N

?

N

1 ? bW

k N

kn RN ( k ) ? ? bnWN RN (k ) n ?0 ? y(n) ? bn RN (n)

N ?1

? 2 ? F ? k ? ? 1 ? jN
X ( k ) ? DFT [ x ( n )] ? DFT {Re[ f ( n )]}

1 * ? Fep (k ) ? ? F ( k ) ? F (( N ? k )) N ? RN ( k ) ? ? 2 1? * ? 1 ? jN ? ?1 ? jN ? ? RN ( k ) ? 2? 1 ? ?1 ? jN ? 1 ? jN ? RN ( k ) 2

? RN (k )
? x(n ) ? ? (n )

Y ( k ) ? DFT [ y ( n )] ? DFT {Im[ f ( n )]}

1 1 * ? Fop (k ) ? ? F ( k ) ? F (( N ? k )) N ? RN ( k ) ? ? j 2 1 ? * ? 1 ? jN ? ?1 ? jN ? ? RN (k ) ? 2j?
1 ? ?1 ? jN ? 1 ? jN ? RN (k ) 2j

? NRN (k )
? y (n) ? N ? (n)


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