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等差数列前n项和ppt教案-数学高一必修5第二章数列2.3人教A版


人教 A 版 第二章 2.3 第一课时

数学教案

必修 5

第二章 2.3 一.学习目标
1.知识与技能

数列

等差数列前 n 项和

(1)了解等差数列前 n 项和公式的推导过程,掌握等差数列五个量 a1,n,d,an,sn 之间的关系.

(2)掌握等差数列前 n 项和公式、性质及其应用.(重点) (3)能熟练应用公式解决实际问题,并能体会方程思想.(难点) 2.过程与方法 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,培养观察、归纳、反 思和逻辑推理的能力. 3.情感、态度与价值观 通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好 数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功.

二.重点难点
重点:等差数列前 n 项和公式、性质及其应用 难点:用等差数列前 n 项和公式解决实际问题,并能体会方程思想.

三.专家建议
通过学习前 n 项和公式的推导,明确倒序相加的求解策略,给学生渗透公式求和以及倒序相加法求和 的数学方法。

四.教学方法
自学训练法 小组讨论法

五.教学过程
●情景导入
高斯,让我们一起认识一下:C.F. Gauss 是德国著名数学家、物理学家、天文学家、 大地测量学家.他有数学王子的美誉,被誉为历史上最伟大的数学家之一,和阿基米德、 牛顿、欧拉同享盛名.下面让我们一起学习一下著名的“高斯算法”.

●复习回顾
1.等差数列的概念是什么? 答:1.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式是怎样的? 等差数列的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d . 3.两数 x,y 的等差中项是如何定义的? 如果三个数 x,A,y 成等差数列,那么 A 叫做 x 与 y 的等差中项. 即 A ?

x? y . 2

●探究新知
探究:等差数列前 n 项和 思考 1 请同学们思考一下如何快速地求出 1+2+3+4+ 5+…+99+100=?

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解:1 就是首项,100 就是末项,一共有 100 项, 1+2+3+…+100 =(1+100)×100/2 =101×100/2 =10100/2 =5050 思考 2 如图,表示堆放的钢管共 8 层,自上而下各层的钢管数组成等差数列 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,求 钢管的总数 . 解:

S8= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11, S8=11+10+9 + 8 +7 + 6 +5+4, 所以 2S8= (4+11) +(5+10) + (6+9) +(7+8) +(8+7) + (9+6) +(10+5)+(11+4). 所以 S8=

8 ? (4 ? 11) ? 60 ,. 2

思考 3 通过以上两例的讨论,根据等差数列{an}的首项 a1,项数 n,第 n 项 an,试推导前 n 项和 Sn 的 计算公式. 解:

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ?1)d ] , Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ?1)d ] , n个 ?????? ? ??????? ? 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an ) ? ( n a1 ? an ) . ( n a1 ? an ) 即 Sn ? . 2
这就是说,等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 由于 an=a1+(n-1)d,则 S n ? na1 ?

Sn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a n ,

( n n ? 1) d. 2

例 1.等差数列 ?an ? 的公差为 2,第 20 项 a20 ? 29 ,求前 20 项的和 S20 . 解:因为 29 ? a1 ? 19 ? 2, 解得 a1 ? ?9, 所以 S 20 ?

●典例精讲

20(?9 ? 29) ? 200 . 2
Sn ? n ? a1 ? a n ? .

思考:在求等差数列前 n 项和时如何选用公式?

2 提示:在求等差数列前 n 项和时,若已知 a1,an 和项数 n,则使用公式 若已知首项 a1, n ? n ? 1? S ? na1 ? d. 2 公差 d 及项数 n,可利用公式 n 例 2.(2014· 济南高二检测)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a8+a11=30,则 S13 的值是( ) A.130 B.65 C.70 D.75 解:选 A.设等差数列{an}的公差为 d, 因为 a2+a8+a11=30,所以 3a1+18d=30,即 a7=10,

所以 S13=

13 ? a1 ? a13 ? 2

?

13?2a 7 =13a7=130. 2

【方法技巧】等差数列前 n 项和公式的运算方法与技巧

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类型 基本量

“知三求二型” a1,d,n,an,Sn

方法

运用等差数列的通项公式和前 n 项和公式建立方程(组),通 过解方程(组)求出未知量 方程的思想、整体代入思想

思想

注意

①利用等差数列的性质简化计算 ②注意已知与未知条件的联系 ③有时运用整体代换的思想

【变式训练】 (2014· 连云港高二检测 ) 若 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和 , 且 S8-S3=20, 则 S11 的值 . 11? a1 ? a11 ? 11? 2a 6 ? ? 11a 6 ? 44. 2 2 【解析】由 S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,解得 a6=4,又 S11= 答案:44 例 3.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从 8 月 1 号开始,每个月的 1 号都存入 100 元,存 期三年: (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7‰,问到期时,李先生一次可支取本息共多少元? (“教育储蓄”不需缴利息税) (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725‰,问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取” 多收益多少元?(“零存整取”需缴 20%的利息税) 为 解: (1)100 元“教育储蓄” 存款的月利息是 第 1 个 100 元存 36 个月,得利息 0.27× 36 元 …… 第 36 个 100 元存 1 个月,得利息 0.27× 1元 因此,到期时李先生获得利息 0.27× (36+35+…………+1)=179.82 元 本息和为 3600+179.82=3779.82 元 答:李先生一次可支取本息共 3779.82 元. (2)100 元“零存整取”的月利息是 存三年的利息是 故李先生多收益 答:李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益 87.912 元. 变式练习: 一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层 放 120 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个 V 形架上共放着 120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔数 组成等差数列,记为 ?an ? .

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因为 a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120, 所以 S120 ?

120 ? (1 ? 120) ? 7 260. 2

答:V 形架上共放着 7260 支铅笔. 例 4.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 【思路探究】 (1)已知 Sn 如何求通项公式 an? (2)用 an=Sn-Sn-1 时应注意什么问题? 【自主解答】 (1)当 n=1 时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则 an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5 =4n-5. 此时若 n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=31-2=1; - 当 n≥2 时,Sn-1=3n 1-2, - - n 则 an=Sn-Sn-1=(3 -2)-(3n 1-2)=3n-3n 1 - - - =3· 3n 1-3n 1=2· 3n 1. - - 此时若 n=1,an=2· 3n 1=2· 31 1=2≠a1, ?1,n=1, ? 故 an=? n-1 ? 3 ,n≥2. ?2· 规律方法:若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 与 an 存在如下关系: ?S1, n=1, ? an=? ? n≥2. ?Sn-Sn-1, 一定要注意分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,当 n=1 时,也适合 an=Sn-Sn-1,最后的结论可以合二为 ?S1, n=1 ? 一,若不适合,必须写成分段函数 an=? 的形式. ? n≥2 ?Sn-Sn-1, 变式训练: 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n2+n+2. (1)求{an}的通项公式; (2)判断{an}是否为等差数列? 【解】 (1)∵Sn=-2n2+n+2, ∴当 n≥2 时,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2 =-2n2+5n-1, ∴an=Sn-Sn-1 =(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1) =-4n+3. 又 a1=S1=1,不满足 an=-4n+3, ?1,n=1, ? ∴数列{an}的通项公式是 an=? ? ?-4n+3,n≥2. (2)由(1)知,当 n≥2 时, an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4, 但 a2-a1=-5-1=-6≠-4, ∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列. 例 5.数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)从第几项开始有 an<0;

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(2)求此数列的前 n 项和的最大值. 【思路探究】 (1)怎样求 an?an<0 的含义是什么?不等式的解集的含义是什么? (2)能否用二次函数的方法处理前 n 项和的最值问题?由 an 的变化可以推测吗? 【自主解答】 (1)∵a1=50,d=-0.6, ∴an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. 50.6 令-0.6n+50.6≤0,则 n≥ ≈84.3. 0.6 * 由于 n∈N ,故当 n≥85 时,an<0, 即从第 85 项起以后各项均小于 0. n?n-1? (2)法一 Sn=50n+ ×(-0.6) 2 503 5032 n- ?2+ =-0.3n2+50.3n=-0.3? 6 ? 120 . ? 503 当 n 取接近于 的正整数, 6 即 n=84 时,Sn 达到最大值 S84=2 108.4. 法二 ∵d=-0.6<0,a1=50>0, 由(1)知 a84>0,a85<0, ∴S1<S2<…<S84,且 S84>S85>S86>…. 84×83 ∴(Sn)max=S84=50×84+ ×(-0.6)=2 108.4. 2 规律方法:等差数列前 n 项和的最值问题 (1)利用 an:当 a1>0,d<0 时,前 n 项和有最大值,可由 an≥0,且 an+1≤0,求得 n 的值;当 a1<0, d>0 时,前 n 项和有最小值,可由 an≤0,且 an+1≥0,求得 n 的值. d? d (2)利用 Sn:二次函数 Sn= n2+? ?a1-2?n 由配方法求得 Sn 取最值时 n 的值. 2 1 1 1 例 6.等差数列{an}中,a1=3,公差 d=2,Sn 为前 n 项和,求 + +…+ . S1 S2 Sn 1 1 【思路探究】 (1)由 a1,d 能否求出 Sn? 为多少?(2) 能否为裂项成为正负相消的项? Sn Sn 【自主解答】 ∵等差数列{an}的首项 a1=3,公差 d=2, n?n-1? n?n-1? ∴前 n 项和 Sn=na1+ d=3n+ ×2=n2+2n(n∈N*), 2 2 1 ? 1 1 1 1 1 ∴ = 2 = = ? - , Sn n +2n n?n+2? 2?n n+2? 1 1 1 1 ? 1? ?1 1? 1- + - + ∴ + +…+ = ? S1 S2 Sn 2?? 3? ?2 4? ?1-1?+…+? 1 - 1 ?+?1- 1 ??=1?1+1- 1 - 1 ?=3- 2n+3 . ?3 5? ?n-1 n+1? ?n n+2?? 2? 2 n+1 n+2? 4 2?n+1??n+2? 规律方法: 1 1 1 1 1.若数列{an}是等差数列,公差为 d(d≠0),则和式 Tn= + + +…+ 可用裂项法求和, a1a2 a2a3 a3a4 an-1an 具体过程如下: 1 1 1 1 - ?, ∵ = ? an-1· an d?an-1 an? 1 1 1 1 1? ?1 1? - ?? - + - +…+? ∴Tn= ?? d??a1 a2? ?a2 a3? ?an-1 an?? 1 1 1 ? n-1 - = = ? . d?a1 an? a1an 2.常用到的裂项公式有如下形式:

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1 1 1 1 (1) = ?n-n+k?; k ? ? n?n+k? 1 1 (2) = ( n+k- n). n+k+ n k

●课堂小结
1.等差数列前 n 项和公式的推导过程----倒序相加法; 2.等差数列前 n 项和公式的两种形式:

3.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 与 an 存在如下关系: ? n=1, ?S1, an=? ?Sn-Sn-1, n≥2. ? 4.等差数列前 n 项和的最值问题 5.裂项相消法求数列的和 六.板书设计

等差数列的前 n 项和

学习目标
1.了解等差数列前 n 项和公式 的推导过程, 掌握等差数列五个 量 a1,n,d,an,sn 之间的关 系. 2.掌握等差数列前 n 项和公式、 性质及其应用.(重点) 3. 能熟练应用公式解决实际问 题,并能体会方程思想.(难点)

思考 1 思考 2. 思考 3. 思考 4. 公式: 前 n 项和最值问题 裂项相消求数列的和

典例分析 例1 例2 变式训练 例3 例4 例5 例6 学生练习

小结:

作业

当堂检 测反馈

七.当堂检测
1.在等差数列{an}中,d=1,S98=137,则 a2+a4+a6+…+a98 等于( A.91 B.92 C.93 D.94 )

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2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S30=12S10,S10+S30=130,则 S20=( A.40 B.50 C.60 D.70

)

4.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N+ , 且m ? 100? 的元素个数,并求这些元素的和.

参考答案: 1.C 2.B 3.C

4.解: 所以集合 M 中的元素共有 14 个.将它们从小到大列出,得 7,14,21,28,…,98. 这个数列是等差数列,记为 ?an ? ,

因此集合 M 共有 14 个元素,它们的和等于 735.

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