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3.3.1函数的单调性与导数(正式)


1.3.1函数的单 调性与导数
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、复习回顾:基本初等函数的导数公式
(1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数);

(2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1
(3).三角函数 :

(c

os x)? ? ? sin x ( 1) (sin x)? ? cos x (2)
1 (log a x)? ? . x ln a

(4).对数函数的导数: 1 (1) (ln x )? ? . (2) x (5).指数函数的导数:
x ? (1) (e ) ? e . x
x

x ? ( 2) (a ) ? a ln a(a ? 0, a ? 1).

二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; G=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在G上是增函数或减函数, 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。

a

b

x

G 称为单调区间

观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10的图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) ? ?9.8t ? 6.5的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到
h
v

(1)
O t O a b

(2)
a
t b

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,v(t ) ? h?(t ) ? 0.

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t ) ? h?(t ) ? 0.

新课讲解
yy?x y
y ? x2

y
y ? x3

y
y ? 1 x

o

x

o

x

o

x

o

x

函数在R上

(-∞,0) (0,+∞)

函数在R上

(-∞,0)

?2 f '( x) ? 1 ? 0 f '( x) ? 2 x ? 0 f '( x) ? 3x 2 ? 0 f '( x) ? ? x ? 0

(0,+∞)
f '( x) ? ? x ?2 ? 0

f '( x) ? 2 x ? 0

动态 演示 函数及图象
y
o y
y ? f ( x)

单调性

切线斜率 导数的正负 k 的正负

f ( x) ? x2

在(??,0)上递减
在(0, ??)上递增

x

k<0 k>0
k>0

+
+ -

递增
b x
y ? f ( x)

o a
y

递减

o a

b x

k<0

在某个区间(a , b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0
注意:

? f ( x )在(a, b)内单调递减

如果恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数.

应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间.

题型:应用导数信息确定函数大致图象 例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时 , 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区
y

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

练习:

(04浙江理工类)

y ? f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y ? f ( x)
1 2 x

y

y ? f '( x )
2 x

o y

(A)

(B)
y

o

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

练习

2.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 试画出导函数 f ?( x)图象 的大致形状

y

y? ? f ? ? x ?

O

a

b

c

x

题型:求函数的单调性、单调区间
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
3 2

(1) f ( x) ? x ? 3x; (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1. 3 (1) 因为 f ( x) ? x ? 3x , 所以 解: 2 2 ? f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0. 3 因此, 函数 f ( x) ? x ? 3x 在 x ? R 上单调递增. 2 (2) 因为 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , 所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1). 2 ? 当 f ( x) ? 0 , 即 x ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递增; 2 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 1时, 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3单调递减.

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x3 ? 3x; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1. 解: (3) 因为 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) , 所以 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0. 因此, 函数 f ( x) ? sin x ? x 在 x ? (0, ? ) 上单调递减. (4) 因为 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1 , 所以 2 ? f ( x) ? 6 x ? 6 x ? 24
? 1 ? 17 ? 1 ? 17 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 时, 函 或x ? 2 2 数 f ( x) 单调递增; ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 当 f ?( x) ? 0 , 即 时, 函数 f ( x) ?x? 2 2 单调递减.

总结提炼
1.利用导数确定函数的单调性的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求出函数的导数; ( 3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区 间. (4)下结论. 3.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:
(1)求f′(x) (2)确认f′(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论

理解训练:
求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间.
1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 2 2 1 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ?? , ) 2 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3

2

练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 2 x ? 4;
2 3

(2) f ( x) ? e ? x;
x 3 2

(3) f ( x) ? 3x ? x ; (4) f ( x) ? x ? x ? x. (1)单调递增区间:(1, ??),单调递减区间:(-?,1)
(2)单调递增区间:(0, ??),单调递减区间:(-?,0)
(3)单调递增区间:(?1,1), 单调递减区间:(-?,1),(1,+?) 1 (4)单调递增区间:(1, ??),(-?,- ) 3 1 单调递减区间:(- ,1) 3

练习

(04年全国理)

函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B )

? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

解: y ' ? x 'cos x ? x(cos x )'? (sin x )'

? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x y y ? sin x
o

?

2?

3?

x

如图,当x ? (? , 2? )时, sin x ? 0,?? x sin x ? 0,

即:y ' ? 0

? 该函数在(? , 2? )上为增函数。

2. 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入 下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的 水的高度h与时间t的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

t (B)

O

t
(C)

O

t (D)

解:() 1 ? (B),(2) ? ( A),(3) ? ( D),(4) ? (C)

通过函数图像,不仅可以看出函数的增或减,还可 以看出其变化的快慢,结合图像,从导数的角度解 释变化快慢的情况.
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数

的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得
快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在 (b,??) 或 (??, a)

内的图象“平

练习

3.讨论二次函数 f ( x) ? ax 2

? bx ? c(a ? 0) 的单调区间.

解:

? f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) ? 2ax ? b.
2

(1) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 (? ,??); 相应地, 函数的递减区间是 (??,? ) 2a 2a (2) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ? , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ??,? ) ; 相应地, 函数的递减区间是 (? ,??) 2a 2a

练习
4.求证: 函数

f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7在 (0,2) 内是减函数.
3 2

解:

? f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7
3 2

? f ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

x ? 2 , 所以函数 f ( x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f ( x) 在 (0,2) 内是减
函数.

由 f ?( x) ? 0, 解得 0 ?

题型:根据函数的单调性求参数的取值范围
例1:求参数的范围 若函数f(x) ? ax 3 - x 2 ? x - 5在(-?,+?)上单调递增, 求a的取值范围

解:f ( x ) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

? f '( x ) ? 3ax - 2 x ? 1 ? 0在(-?,+?)上恒成立。
2

?a ? 0 ?? ?? ? 4 ? 12a ? 0

1 ?a ? 3

1 例2:已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若( f x)在 x x ?(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
2 解:f '(x) ? 2a ? 3 x

∵函数在(0,1]上单调递增 ? f '(x)? 0,

1 即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x 3 (? g'(x) ? 4 >0在(0, 1]上恒成立) x
? g(x)max ? g(1)=-1

? a ? -1 所以a的范围是[-1,+?)

f '(x)>0(或<0) ,f(x)在 注: 在某个区间上, 这个区间上单调递增(递减);

但由f(x)在这个区间上单调递增(递减) 而仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
本题用到一个重要的转化:

m≥f(x)恒成立 ? m ? f (x)max m ? f (x)恒成立 ? m ? f (x )min

练习2 若f (x )在(0, 1]上是增函数,求a的取值范围。

已知函数f (x )= 2ax - x 3,x ?(0, 1],a ? 0,

解:f (x)=2ax - x3在(0, 1]上是增函数, ? f '(x)=2a - 3x ? 0在(0, 1]上恒成立,
2

3 2 即:a ? x 在(0, 1]上恒成立, 2 3 2 3 而g( x ) ? x 在(0, 1]上的最大值为 , 2 2 3 ?a ? 。 3 2 [ , ?? )

2

练习:
已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。 解:f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, ∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立, ∴a<0且△=36+12a≤0, ∴a ≤-3

例3:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 解:f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ??, ?? ) 2 1 ? f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f ( x )在(? ?, ? ?)上是单调函数,
而当x ? 0时,( f x)=0

1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2


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