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2013届高三课堂新坐标广东专版数学(文)一轮课时知能训练2-11


课时知能训练
一、选择题 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) D.(2,+∞) 2.(2012· 梅州调研)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A.(0,1) ) B.(-∞,1) B.(0,3) )

1 C.(0,+∞) D.(0,2) 3

.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) )

C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a) 4.(2011· 浙江高考)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下列图象不可能 为 y=f(x)的图象是( ... )

5.(2012· 东莞调研)函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则 f?x? 函数 g(x)= x 在区间(1,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 二、填空题 1 6.函数 f(x)=x(ex-1)-2x2 的单调增区间是________. 7.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处取极值 10,则 f(2)=________. 8.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′,若 f″(x)<0 B.有最大值 D.是增函数 )

π 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0,2)上是凸函数的 是________.(把你认为正确的序号都填上) ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若 存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 1 10.(2012· 肇庆调研)已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值2. (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. 11.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇 函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.

答案及解析
1. 【解析】 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2. 【答案】 2. 【解析】 D f′(x)=3x2-6b,且 f(x)在(0,1)内有极小值.

∴f′(x)=0 在(0,1)内有解, 1 易知 b>0 且 0< 2b<1,解之得 0<b<2. 【答案】 D

3. 【解析】

由(x-a)f′(x)≥0 知,

当 x>a 时,f′(x)≥0;当 x<a 时,f′(x)≤0. ∴当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值,则 f(x)≥f(a). 【答案】 4. 【解析】 A 设 h(x)=f(x)ex,则

h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex =(ax2+2ax+bx+b+c)ex. 由 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点. 因此 ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,∴c=a. ∴f(x)=ax2+bx+a. 若方程 ax2+bx+a=0 有两根 x1,x2,则 a x1x2=a=1,D 中图象一定不满足该条件. 【答案】 5. 【解析】 D 由函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,可得 a

的取值范围为 a<1, f?x? a a ∴g(x)= x =x+x -2a,则 g′(x)=1-x2. 易知在 x∈(1,+∞)上 g′(x)>0,所以 g(x)为增函数. 【答案】 6. 【解析】 D 易知 f′(x)=ex-1+xex-x=(x+1)(ex-1),

令 f′(x)>0,得 x>0 或 x<-1. 【答案】 7. 【解析】 (-∞,-1)和(0,+∞) f′(x)=3x2+2ax+b,

2 ?f?1?=10, ?1+a+b+a =10, 由题意? 即? ?f′?1?=0, ?3+2a+b=0,

消去 b,得 a=4 或 a=-3. 但当 a=-3 时,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故不存在极值. ∴a=4,b=-11,f(2)=18. 【答案】 18

π 8. 【解析】 在定义域(0,2)内,由 f″(x)=-sin x-cos x<0,得①是凸函 数; 1 由 f″(x)=-x2<0,得②是凸函数; 由 f″(x)=-6x<0,得③是凸函数; 由 f″(x)=2ex+xex>0,得④不是凸函数. 【答案】 9. 【解】 ①②③ (1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.

∵f(x)在 R 上单调递增 ∴f′(x)=ex-a≥0 恒成立,即 a≤ex,x∈R 恒成立. ∵x∈R 时,ex∈(0,+∞),∴a≤0. (2)由已知 f(x)在(-∞, 0]上单调递减, 在区间[0, +∞)上单调递增可知, f(0) 是 f(x)的极小值. ∴f′(0)=e0-a=0?a=1,经检验,a=1 符合要求. ∴存在 a=1 满足条件. 10. 【解】 b 1 (1)f′(x)=2ax+ ,又 f(x)在 x=1 处有极值 . x 2 1 ? ?a= , 即? 2 ? ?2a+b=0. 1 解之得 a=2且 b=-1.

1 ? ?f?1?= , 2 ∴? ? ?f′?1?=0,

1 (2)由(1)可知 f(x)=2x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 1 ?x+1??x-1? 且 f′(x)=x-x = . x 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) +

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). 11. 【解】 (1)由 f′(x)=3ax2+2x+b.得

g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 又 g(x)是奇函数,则 g(-x)=-g(x). ∴-ax3+(3a+1)x2-(b+2)x+b =-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b], 从而 3a+1=0 且 b=0, 1 ∴b=0,a=-3, 1 因此 f(x)=-3x3+x2. 1 (2)由(1)知,g(x)=-3x3+2x ∴g′(x)=2-x2=( 2+x)( 2-x), 当 x∈[1,2]时,令 g′(x)=0,x= 2是极值点. 4 2 5 4 又 g( 2)= 3 ,g(1)=3,g(2)=3. 4 2 4 因此 g(x)在[1,2]上的最大值为 g( 2)= 3 ,最小值 g(2)=3.


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