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2.2.1向量的加法3.18


普通高中课程标准实验教科书(必修4)数学第二章第二节

向量的加法 2.2.1向量的加法

由于大陆和台湾没有直航,因此2006年春节探亲, 乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,则飞机的 位移是多少?

上海

上海

? b

? c

台北
香港 香港

? a

台北

? ? ??? ? ??? ? ? ? 已知向量a和b, 在平面内任取一点O, 作OA ? a, AB ? b, ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 则向量OB叫做a和b的和, 记作a ? b.即a ? b=OA+ AB =OB

向量的加法:

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

A
a
b a b

B a+b

O

首 尾 顺 次 相 连

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为

向量加法的三角形法则。

两种特例(两向量平行)
? a ? b ? a

? b
C A

A

? ? ??? ? a ? b ? AC

B

C

B

? ? ??? ? a ? b ? AC

方向相同

方向相反

如图,已知 a , b , c ,请作出 a + b , b a + ( b + c ) , ( a + b ) + c. a c

+

a ,b

+

c

b

a
b b a a+ b

? ? a?b
a?b?c

? ? c b?c

b+ a
b

a

向量加法的运算律
交换律: a ? b ? b ? a 结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 想一想
1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?

a ? ? a ? ? a ?? ? 0 ( )( ) a ?

2.零向量和任一向量

? ? ? ? ? ? 3.a ? b , a ? b 和 a ? b 的大小关系如何 ? ? ? ? ? ? ? a ? b ≦ a ? b ≦ a ? b 何时取得等号?

a 的和为什么? a?0 ? 0?a ? a

练一练
AD 1.化简 (1) AB ? CD ? BC ? ________
(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ MN

?

(3) AB ? BD ? CA ? DC ? ________ 0

?

??

?

?

2.根据图示填空
E
g

e

f

D d

(1)a ? b ? (2)c ? d ?

c f
f g

A
a

c
B

b

C

(3)a ? b ? d ? (4)c ? d ? e ?

练一练
a, b

a?b

(1)

a?b

如 图 , a 已 b 知 b

(2)

b

a?b
a

b

(3)

用 向 a?b 量 b a 加 法 b的 三

(4)
C

a b

B

a?b
O

b a
A

向量加法的平行四边形法则
A
a a a a a a a a a a a+b b a

C

共 起 点

b

b

b

b

O

B
b

向量加法的平行四边形法则

练一练
如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a ? b
(1)
b

a?b b a
a?b
a a

共 起 点

(2)

b

数学应用

例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? () ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE 1 OA

解:(1) ? OC ? OB ; OA
(2) ? FE ? AD; BC
(3) ? FE ? 0. OA

E

D

F A

O
B

C

数学应用
例2 如图,一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶,同时河水以2km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
??? ? 解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸 ??? ?
的速度,用向量 AB 表示水流的速度

C

D

???? 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD

就是船实际行驶的速度? ??? ? ???

???? ??? ??? ? ? ? AD ? AB ? BD
??? ? ? AD ? 4

在Rt ? ABD中, AB ? 2, BD ? 2 3

A

B

? tan ?DAB ? 3 ??DAB ? 60? 答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角 60.?

课堂小结:
向量加法的定义
三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律 向量加法的运算

课后思考
如图,一艘船从 A点出发能以 4km/h 的速度垂直 向对岸的方向行驶,同时河水以3km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。

C
A
B

作业:

课本P91 页 2 3

4 (1)~~~(5)


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