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一次函数与几何图形综合题


一、填空题: x+1 1、若分式 的值为零,则 x= 3x—2 0.4x+ 2、不改变分式的值,把分式 。 1 y 5

1 x+0.2y 5

的分子、分母各基系数化为整数,则

为 1 3、计算: +(x—2)—1= x+2

。 。 ;0.000018= 。 。 。 。

4

、用科学数法表示—1350000= m—2n m—2n 5、计算: + 3mn = 3mn 6、计算: (a—b+ 4ab 4ab ) (a+b— )= a—b a+b

4x 2x+1 7、方程 = 的解是 2x—1 x—2

8、某市为了治理污水,需要铺设一段全长为 3000 米的污水排放管道,为了尽量减少施工 对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天的工作效率比原计划增加 25%,结果提前 20 天完成这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?设原计划每天铺设 x 米管道,根据 题意可列得方程 。

9、已知 x+

1 x2 =3,求 4 = x x ? x2 ? 1

1

。10、使分式 1 ? 1

有意义的条件为



x

11、若 a 是方程 x2-5x+1=0 的根,则 a4+

1 = a4



12、若实数 a,b 满足 二、选择题:

a b a 2 ? ab ? b 2 ? ? 2 ,则 2 的值为: b a a ? 4ab ? b 2



—x 9、下列分式中与分式 的值相等的是( x—y x A、 ; x+y x—1 A、 2 ; x B、 —x ; y—x C、 x ; y— x

) : D、— x ; y— x ) :

10、当 X 为任意实数时,下列各式中一定有意义的是( x—1 x—1 B、 2 ; C、 2 ; x —1 x +1 x—1 D、 ; x+1

a 1 11、化简:a÷ ? 的结果是( b a 1 1 12、计算: + 2 的结果是( a—1 a —1

) :A、1; ) :

b B、 ; a

C、ab;

D、

a ; b

a +a—2 A、 ; 2 (a—1)(a —1)

2

a+1 a+2 B、 2 ; C、 2 ; a —1 a —1 ) :

a—1 D、 2 ; a —1

1 1 4 13、分式方程 + = 2 的解是( x—3 x+3 x —9 A、无解; B、x=2; C、 x=—2;

D、x=2 或 x=—2; ) :

x 2 4 14、如果解方程 = + 出现增根,则增根只可能是( x—2 x x(x—2)

A、0 或者; B、4; C、0 或 4; D、不能确定; 15、炎炎夏日,甲安装队为 A 小区安装 66 台空调,乙安装队为 B 小区安装 60 台空调,两 队同时开工,恰好同时完成。甲队比乙队每天多安装 2 台,设乙队每天安装 x 台,依题 意,下面所列出的方程中正确性的是( ) : 66 60 A、 = ; x x—2 B、 66 60 = ; x—2 x 66 60 C、 = ; x x+2 66 60 D、 = ; x+2 x

16、一队学生去春游,预计共需费用 120 元,后来又有 2 人参加进来,总费用不变,于是 每人可少分摊 3 元,求这组学生原来的人数。设这队学生原来的人数为 X,则依题意可 列得方程为( ) : 120 120 A、 +3= ; x+2 x 三、解答题: x 17、当 x 为何值时,分式 的值为正数。 9—3x
2

120 120 B、 = —3; x x+2

120 120 C、 = +3; x—2 x

120 120 D、 = —3。 x—2 x

a a b 2 3 2 18、计算: (— ) ? 2 ) ÷( 2 ) ; ( b b a

2

2

x+2y 3y—x 3x—4y 19、计算: 2 2 + 2 2 — 2 2 ; x —y y —x x —y

2—x 1 20、解方程: + =1; x—3 3—x

2 3 7 ? ? x ? 3 2 2x ? 6

3 4 —2 1 —2 2 0 21、计算: ) ÷( ) —(π —3.14) —(—2 ) ; ( 4 3

四、知识的运用: 22、化简:

x?2 2x ? 2 1 ? 2 ? 2 x ? 1 x ? 2x ? 1 x ? 1

23、化简:

1?

a ?1 a 1 ?( ? 2 ) a a ? 2 a ? 2a

24、已知

1 1 2a ? 3ab ? 2b 的值. ? ? 3 ,求分式 a ? ab ? b a b

25、当 m 为何值时代 数式

2 3 7 + 与代数式 的值相等。 m+3 2 2m+6

A B 5x—4 26、如果 + = ,试求常数 A、B 的值。 x—5 x+2 (x—5)(x+2)4

27、有这样一道题: “计算

x —2x+1 x—1 ÷ 2 —x 的值,其中 x=1008, ”粗心的小刚错抄成 2 x —1 x +x

2

“x=1080” ,但他的结果也是正确的,你能解释这是怎么回事吗?

五、阅读与探究:

28、 将四个数 A、 C、 排成两行, B、 D 两列, 两边各加上一条竖线, 记作

a b a b , 定交 c d c d 2 1 x+2

3X =AD—BC,上述记号就叫二阶行列式,根据以上定义解方程: 1 2—x

=3

y x2 29、已知 P=x—y — ,Q=(x+y)—2y(x+y) ,小敏和小聪两人在 x=2,y=—1 的条件 x—y 下分别计算出了 P 值和 Q 值,小明说 Q 值大于 P 值,小聪说 P 值大于 Q 值。聪明的你去 判断一下谁的结论正确,并说明理由。

2

六、分式方程的应用: 30、在建设社会主义新农村中,某乡镇决定对一段公路进行改造,已知这项工程由甲工程 队单独做需要 40 天完成; 如果由乙队先单独做 10 天, 那么剩下的工程还需要两队合作 20 天才能完成。 (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数; (2)求两队合作完成这项工程所需的天数。

31、已知某项工程由甲、乙两队合做 12 天可以完成,共需工程费用 27720 元. 乙队单独完 成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的 1.5 倍,且甲队每天的工程费用比 乙队多 250 元. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程,从节约资金的角度考 虑,应选择哪个工程队?请说明理由. 1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OB

y Q B x

o C
(1) 求 AC 的解析式;

A

P

(2) 在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQ⊥BP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系, 并 证明你的结论。 (3) 在(2)的前提下,作 PM⊥AC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:①(MQ+AC)/PM 的值不 变;②(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。

y

Q B M o C A P x

2.(本题满分 12 分)如图①所示,直线 L: y ? mx ? 5m 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别交 于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

第 2 题图①

第 2 题图②

(2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分 别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。 (3)当 m 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角

顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE,连 EF 交 y 轴于 P 点,如图③。 问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值, 若不是,说明理由。

第 2 题图③

一次函数与几何图形综合专题讲座
思想方法小结 : (1)函数方法. 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型, 进而解决有关问题的方法. 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系, 灵活运用函数方法 可以解决许多数学问题. (2)数形结合法. 数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在 解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用. 知识规律小结 : (1)常数 k,b 对直线 y=kx+b(k≠0)位置的影响. ①当 b>0 时,直线与 y 轴的正半轴相交; 当 b=0 时,直线经过原点; 当 b﹤0 时,直线与 y 轴的负半轴相交. ②当 k,b 异号时,即当 b=0 时,即-

b >0 时,直线与 x 轴正半轴相交; k

b =0 时,直线经过原点; k b 当 k,b 同号时,即- ﹤0 时,直线与 x 轴负半轴相交. k
③当 k>O,b>O 时,图象经过第一、二、三象限; 当 k>0,b=0 时,图象经过第一、三象限;

当 b>O,b<O 时,图象经过第一、三、四象限; 当 k﹤O,b>0 时,图象经过第一、二、四象限; 当 k﹤O,b=0 时,图象经过第二、四象限; 当 b<O,b<O 时,图象经过第二、三、四象限. (2)直线 y=kx+b(k≠0)与直线 y=kx(k≠0)的位置关系. 直线 y=kx+b(k≠0)平行于直线 y=kx(k≠0) 当 b>0 时,把直线 y=kx 向上平移 b 个单位,可得直线 y=kx+b; 当 b﹤O 时,把直线 y=kx 向下平移|b|个单位,可得直线 y=kx+b. (3)直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2(k1≠0 ,k2≠0)的位置关系. ①k1≠k2 ? y1 与 y2 相交; ②?

?k1 ? k 2 ; ? y1 与 y2 相交于 y 轴上同一点(0,b1)或(0,b2) ?b1 ? b2 ? k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 平行; ?b1 ? b2 ? k1 ? k 2 , ? y1 与 y2 重合. ?b1 ? b2

③?

④?

例题精讲: 1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,C 在 y 轴的负半轴上,且 OC=OB

y

Q B x

o C
(4) 求 AC 的解析式;

A

P

(5) 在 OA 的延长线上任取一点 P,作 PQ⊥BP,交直线 AC 于 Q,试探究 BP 与 PQ 的数量关系, 并 证明你的结论。 (6) 在(2)的前提下,作 PM⊥AC 于 M,BP 交 AC 于 N,下面两个结论:①(MQ+AC)/PM 的值不 变;②(MQ-AC)/PM 的值不变,期中只有一个正确结论,请选择并加以证明。

y

Q B M o C A P x

2.(本题满分 12 分)如图①所示,直线 L: y ? mx ? 5m 与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别交 于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

第 2 题图①

第 2 题图②

(2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两点分 别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=4,BN=3,求 MN 的长。 (3)当 m 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直角 顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE,连 EF 交 y 轴于 P 点,如图③。 问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请求出其值, 若不是,说明理由。

第 2 题图③

考点:一次函数综合题;直角三角形全等的判定. 专题:代数几何综合题.

分析:(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;
(2)由 OA=OB 得到启发,证明∴△AMO≌△ONB,用对应线段相等求长度; (3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求 PB 的长.

解答:解:(1)∵直线 L:y=mx+5m,
∴A(-5,0),B(0,5m), 由 OA=OB 得 5m=5,m=1, ∴直线解析式为:y=x+5. (2) 在△AMO 和△OBN 中 OA=OB, ∠OAM=∠BON, ∠AMO=∠BNO, ∴△AMO≌△ONB. ∴AM=ON=4, ∴BN=OM=3. (3)如图,作 EK⊥y 轴于 K 点. 先证△ABO≌△BEK, ∴OA=BK,EK=OB. 再证△PBF≌△PKE, ∴PK=PB. ∴PB=

1 1 5 BK= OA= . 2 2 2
B

y l1

点评:本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂
直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
A

0

x

3、如图,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线 l2 与直线 l1 关于 x
C

轴对称,已知直线 l1 的解析式为 y ? x ? 3 , (1)求直线 l2 的解析式; 分) (3 (2)过 A 点在△ABC 的外部作一条直线 l3 ,过点 B 作 BE⊥ l3 于 E,过点 C 作 CF⊥ l3 于 F 分别,请画出图形并求证:BE+CF=EF (3)△ABC 沿 y 轴向下平移,AB 边交 x 轴于点 P,过 P 点的直线与 AC 边 的延长线相交于点 Q, y 轴相交与点 M, BP=CQ, 与 且 在△ABC 平移的过程中,①OM 为定值;②MC 为定值。在这两个结论中, 有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。 (6 分)
A
0

l2

y B

x

y
C

B P
0

x

考点:轴对称的性质;全等三角形的判定与性质.

A M C Q

分析:(1)根据题意先求直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标,再根据轴对称的性质
求直线 l2 的上点 C 的坐标,用待定系数法求直线 l2 的解析式; (2)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA≌△AFC,再根据全等三角形的性质,结 合图形证明 BE+CF=EF; (3)首先过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,证明△QCH≌△PBO,然后根据全等三角形的性质和 △QHM≌△POM,从而得 HM=OM,根据线段的和差进行计算 OM 的值.

解答:解:(1)∵直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,
∴A(-3,0),B(0,3), ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称, ∴C(0,-3) ∴直线 l2 的解析式为:y=-x-3; (2)如图 1. 答:BE+CF=EF. ∵直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称, ∴AB=BC,∠EBA=∠FAC, ∵BE⊥l3,CF⊥l3 ∴∠BEA=∠AFC=90° ∴△BEA≌△AFC ∴BE=AF,EA=FC, ∴BE+CF=AF+EA=EF; (3)①对,OM=3 过 Q 点作 QH⊥y 轴于 H,直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称 ∵∠POB=∠QHC=90° ,BP=CQ, 又 AB=AC, ∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ, 则△QCH≌△PBO(AAS), ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM≌△POM ∴HM=OM ∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ∴OM=

1 BC=3. 2

点评:轴对称的性质:对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被
对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相 等.

4.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且 a、

b 满足

.

(1)求直线 AB 的解析式; (2)若点 M 为直线 y=mx 上一点,且△ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形,求 m 值;

(3)过 A 点的直线

交 y 轴于负半轴于 P,N 点的横坐标为-1,过 N 点的直线

交 AP 于点 M,试证明

的值为定值.

考点:一次函数综合题;二次根式的性质与化简;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数
法求正比例函数解析式;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

专题:计算题. 分析:(1)求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标,设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,代入得到
方程组,求出即可; (2)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N,证△BMN≌△ABO(AAS), 求出 M 的坐标即可;②当 AM⊥BA,且 AM=BA 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,同法求出 M 的坐标; ③当 AM⊥BM, AM=BM 时, M 作 MN⊥X 轴于 N, 且 过 MH⊥Y 轴于 H, 证△BHM ≌△AMN,求出 M 的坐标即可. (3)设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点, 求出 H、G 的坐标,证△AMG≌△ADH,△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案.

解答:解:(1)要使 b=
必须(a-2)2=0, b - 4 =0, ∴a=2,b=4, ∴A(2,0),B(0,4), 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b, 代入得:0=2k+b,4=b, 解得:k=-2,b=4, ∴函数解析式为:y=-2x+4, 答:直线 AB 的解析式是 y=-2x+4. (2)如图 2,分三种情况:

有意义,

①如图(1)当 BM⊥BA,且 BM=BA 时,过 M 作 MN⊥Y 轴于 N, △BMN≌△ABO(AAS), MN=OB=4,BN=OA=2, ∴ON=2+4=6, ∴M 的坐标为(4,6 ), 代入 y=mx 得:m=

3 , 2 1 , 3

②如图 (2) AM⊥BA, AM=BA 时, M 作 MN⊥X 轴于 N, 当 且 过 △BOA≌△ANM (AAS) , 同理求出 M 的坐标为(6,2),m=

③当 AM⊥BM,且 AM=BM 时,过 M 作 MN⊥X 轴于 N,MH⊥Y 轴于 H,则△BHM≌△ AMN, ∴MN=MH, 设 M(x,x)代入 y=mx 得:x=mx,(2) ∴m=1, 答:m 的值是

3 1 或 或 1. 2 3

(3)解:如图 3,结论 2 是正确的且定值为 2, 设 NM 与 x 轴的交点为 H,分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G,HD 交 MP 于 D 点, 由 y=

k k x- 与 x 轴交于 H 点, 2 2

∴H(1,0),

由 y=

k k x- 与 y=kx-2k 交于 M 点, 2 2

∴M(3,K), 而 A(2,0), ∴A 为 HG 的中点, ∴△AMG≌△ADH(ASA), 又因为 N 点的横坐标为-1,且在 y=

k k x- 上, 2 2

∴可得 N 的纵坐标为-K,同理 P 的纵坐标为-2K, ∴ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1 ∴N 与 D 关于 y 轴对称, ∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC, ∴PN=PD=AD=AM, ∴

PM - PN =2. AM

点评:本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形性质,用待定系数法
求正比例函数的解析式, 全等三角形的性质和判定, 二次根式的性质等知识点的理解和掌握, 综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键. 5.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0)、B 两点, 过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C,且 OB:OC=3:1。

(1)求直线 BC 的解析式: (2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是否存在这样的 直线 EF,使得 S△EBD=S△FBD?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由? (3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点,BP 为腰在第一象限内作 等腰直角△BPQ,连接 QA 并延长交y轴于点 K,当 P 点运动时,K 点的位置是否发现变化? 若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。

考点:一次函数综合题;一次函数的定义;正比例函数的图象;待定系数法求一次函数解析
式.

专题:计算题. 分析:代入点的坐标求出解析式 y=3x+6,利用坐标相等求出 k 的值,用三角形全等的相等
关系求出点的坐标.

解答:解:(1)由已知:0=-6-b,
∴b=-6, ∴AB:y=-x+6. ∴B(0,6) ∴OB=6 ∵OB:OC=3:1, OC=

OB =2, 3

∴C(-2,0) 设 BC 的解析式是 Y=ax+c,代入得;6=0?a+c, 0=-2a+c, 解得:a=3, c=6, ∴BC:y=3x+6. 直线 BC 的解析式是:y=3x+6; (2)过 E、F 分别作 EM⊥x 轴,FN⊥x 轴,则∠EMD=∠FND=90° . ∵S△EBD=S△FBD, ∴DE=DF. 又∵∠NDF=∠EDM, ∴△NFD≌△EDM, ∴FN=ME. 联立 y=kx-k, y=-x+6 得 yE=

5k , k ?1 9k . k -3

联立 y=kx-k,y=3x+6 得 yF=

∵FN=-yF,ME=yE, ∴

5k - 9k = . k ?1 k -3

∵k≠0, ∴5(k-3)=-9(k+1), ∴k=

3 ; 7

(3)不变化 K(0,-6). 过 Q 作 QH⊥x 轴于 H, ∵△BPQ 是等腰直角三角形, ∴∠BPQ=90° ,PB=PQ, ∵∠BOA=∠QHA=90° , ∴∠BPO=∠PQH, ∴△BOP≌△HPQ, ∴PH=BO,OP=QH, ∴PH+PO=BO+QH, 即 OA+AH=BO+QH, 又 OA=OB, ∴AH=QH,

∴△AHQ 是等腰直角三角形, ∴∠QAH=45° , ∴∠OAK=45° , ∴△AOK 为等腰直角三角形, ∴OK=OA=6, ∴K(0,-6).

点评:此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.
6. 如图,直线 AB 交 X 轴负半轴于 B(m,0) ,交 Y 轴负半轴于 A(0,m) ,OC⊥

AB 于 C(-2,-2) 。 (1)求 m 的值;

过G作OB的垂线,垂足为 G ? OB ? OA ? ?AOB为等腰直角三角形 ? ?CBO ? 45? ? ?CGB, ?CGO, ?OCB都是等腰直角三角形 ? GB ? OG ? CG ? 2 ? m ? -4
(2)直线 AD 交 OC 于 D,交 X 轴于 E,过 B 作 BF⊥AD 于 F,若 OD=OE,求 值;
BF 的 AE

?HBO ? ?FAH(同角的余角相等) ? OE ? OD ? ?OED ? ?ODE ? ?FEB ? ?OED,?ADC ? ?ODE(对顶角相等) ? ?ADC ? ?FEB ? ?HBO ? ?CAD ? ?CAD ? ?FAH 在?AFB和?AFH中 ??AFB ? ?AFH ? 90? ? ?AF ? AF(公共边) ??BAF ? ?FAH (已证) ? ? ?AFB ? ?AFH(ASA) ? BF ? HF (全等三角形对应边相等 ) 在?BOH和?AOE中, ??HBO ? ?EAO(已证) ? ?BO ? AO(已知) ??BOH ? ?AOE ? 90? ? ? ?BOH ? ?AOE(ASA) ? BH ? AE(全等三角形对应边相 等) ? BH ? BF ? BH ? 2 BF ? BF BF BF 1 ? ? ? AE BH 2BF 2

(3)如图, 为 x 轴上 B 点左侧任一点, AP 为边作等腰直角△APM, P 以 其中 PA=PM, 直线 MB 交 y 轴于 Q,当 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 长是否发生变化?若不变, 求其值;若变化,说明理由。

7.在平面直角坐标系中, 一次函数 y=ax+b 的图像过点 B (-1, ) 与 x 轴交于点 A , (4,0) , 与 y 轴交于点 C,与直线 y=kx 交于点 P,且 PO=PA

(1)求 a+b 的值;

(2)求 k 的值;

(3)D 为 PC 上一点,DF⊥x 轴于点 F,交 OP 于点 E,若 DE=2EF,求 D 点坐标.

考点:一次函数与二元一次方程(组). 专题:计算题;数形结合;待定系数法.

分析:(1)根据题意知,一次函数 y=ax+b 的图象过点 B(-1,

5 )和点 A(4,0),把 2

A、B 代入求值即可; (2)设 P(x,y),根据 PO=PA,列出方程,并与 y=kx 组成方程组,解方程组; (3)设点 D(x,-

1 1 1 x+2),因为点 E 在直线 y= x 上,所以 E(x, x),F(x,0), 2 2 2

再根据等量关系 DE=2EF 列方程求解. 解答:解:(1)根据题意得:

5 =-a+b 2
0=4a+b 解方程组得:a= ∴a+b=-

1 , b=2 2

1 3 3 +2= ,即 a+b= ; 2 2 2 1 x+2, 2

(2)设 P(x,y),则点 P 即在一次函数 y=ax+b 上,又在直线 y=kx 上, 由(1)得:一次函数 y=ax+b 的解析式是 y=又∵PO=PA, ∴x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=

1 x+2, 2 1 , 2

解方程组得:x=2,y=1,k= ∴k 的值是

1 ; 2 1 1 x+2),则 E(x, x),F(x,0), 2 2

(3)设点 D(x,∵DE=2EF, ∴-

1 1 1 x+2- x=2× x, 2 2 2

解得:x=1,

1 1 3 x+2=- ×1+2= , 2 2 2 3 ∴D(1, ). 2
则-

点评:本题要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐
标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系. 8. 在直角坐标系中,B、A 分别在 x,y 轴上,B

的坐标为(3,0) ,∠ABO=30°,AC 平分∠OAB 交 x 轴于 C; (1)求 C 的坐标;

解:∵ ∠AOB=90° ∠ABO=30° ∴ ∠OAB=30° 又 ∵AC 是∠OAB 的角平分线 ∴ ∠OAC=∠CAB=30° ∵ OB=3
∴ OA= 3

OC=1

即 C(1,0) (2)若 D 为 AB 中点,∠EDF=60°,证明:CE+CF=OC 证明:取 CB 中点 H,连 CD,DH
∵AO=

3

CO=1

∴ AC=2 又∵D,H 分别是 AB,CD 中点 ∴ DH= ∵DB=

1 AC 2

AB=2 3

1 AB= 3 BC=2 ∠ABC=30° 2 ∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60° CD=1=DH ∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60° ∴ ∠EDC=∠FDH ∵ AC=BC=2 ∴ ⊥ ADC=90° CD AB ∵ CBA=30° ∠ ∴ ECD=60° ∠ ∵ HD=HB=1 ∴ ∠DHF=60°
在△DCE 和 △DHF 中

∠EDC=∠FDH ∠DCE=∠DHF
DC=DH ∴ DCE≌△DHF(AAS) △ ∴ CE=HF ∴ CH=CF+FH=CF+CE=1 ∴ CH=OC ∴ OC=CE+CF

OC=1

(3)若 D 为 AB 上一点,以 D 作△DEC,使 DC=DE,∠EDC=120°,连 BE, 试问∠EBC 的度数是否发生变化;若不变,请求值。 解:不变 ∠EBC=60° 设 DB 与 CE 交与点 G ? DC=DE ∠EDC=120° ∴ ∠DEC=∠DCE=30° 在△ DGC 和△ DCB 中

∠CDG=∠BDC ∠DCG=∠DBC=30
∴ DGC ∽ △ DCB △ ∴

DC DB = DG DC
DC=DE



DE DB = DG DE

在 EDG 和 BDE 中

DE DB = DG DE ∠EDG=∠BDE
∴ EDG ∽△BDE △ ∴ DEG=∠DBE=30° ∠ ∴ EBD=∠DBE+∠DBC=60° ∠ 9、如图,直线 AB 交 x 轴正半轴于点 A(a,0) ,交 y 轴正半轴于点 B(0, b) ,且 a 、b 满足 a ? 4 + |4-b|=0 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)D 为 OA 的中点,连接 BD,过点 O 作 OE⊥BD 于 F,交 AB 于 E,求证∠BDO=∠EDA;
y B

E F

O

D

A

x

(3)如图,P 为 x 轴上 A 点右侧任意一点,以 BP 为边作等腰 Rt△PBM,其中 PB=PM,直线

MA 交 y 轴于点 Q,当点 P 在 x 轴上运动时,线段 OQ 的长是否发生变化?若不变,
求其值;若变化,求线段 OQ 的取值范围.
y

考点:全等三角形的判定与性质;非负数的性质:
绝对值;非负数的性质:算术平方根.
B

M

专题:证明题;探究型.
O A P x

Q

分析:①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于 a、b 的方程,解方程组即可求出 a,b
的值,也就能写出 A,B 的坐标; ②作出∠AOB 的平分线,通过证△BOG≌△OAE 得到其对应角相等解决问题; ③过 M 作 x 轴的垂线,通过证明△PBO≌△MPN 得出 MN=AN,转化到等腰直角三角形中 去就很好解决了.

解答:解:①∵ a ? 4 +|4-b|=0
∴a=4,b=4, ∴A(4,0),B(0,4); (2)作∠AOB 的角平分线,交 BD 于 G, ∴∠BOG=∠OAE=45° ,OB=OA, ∠OBG=∠AOE=90° -∠BOF, ∴△BOG≌△OAE, ∴OG=AE. ∵∠GOD=∠A=45° ,OD=AD, ∴△GOD≌△EDA. ∴∠GDO=∠ADE. (3)过 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N. ∵∠BPM=90° , ∴∠BPO+∠MPN=90° . ∵∠AOB=∠MNP=90° , ∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN. ∵BP=MP, ∴△PBO≌△MPN, MN=OP,PN=AO=BO, OP=OA+AP=PN+AP=AN, ∴MN=AN,∠MAN=45° . ∵∠BAO=45° , ∴∠BAO+∠OAQ=90° ∴△BAQ 是等腰直角三角形. ∴OB=OQ=4. ∴无论 P 点怎么动 OQ 的长不变.

点评:(1)考查的是根式和绝对值的性质.
(2)考查的是全等三角形的判定和性质. (3)本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角 形的性质. 10、如图,平面直角坐标系中,点 A、B 分别在 x、y 轴上,点 B

的坐标为(0,1), ∠BAO=30°. (1)求 AB 的长度; (2) AB 为一边作等边△ABE, OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D. 以 作 求证: =OE. BD

y

M

E

y

E

B O A x

B O F A x

N

D

D

(3)在(2)的条件下,连结 DE 交 AB 于 F.求证:F 为 DE 的中点.

考点:全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质;含 30 度角
的直角三角形.

专题:计算题;证明题. 分析:(1)直接运用直角三角形 30° 角的性质即可.
(2)连接 OD,易证△ADO 为等边三角形,再证△ABD≌△ AEO 即可. (3)作 EH⊥AB 于 H,先证△ABO≌△AEH,得 AO=EH,再 证△AFD≌△EFH 即可.

解答:(1)解:∵在 Rt△ABO 中,∠BAO=30° ,
∴AB=2BO=2; (2)证明:连接 OD, ∵△ABE 为等边三角形, ∴AB=AE,∠EAB=60° , ∵∠BAO=30° 作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D, , ∴∠DAO=60° . ∴∠EAO=∠NAB 又∵DO=DA, ∴△ADO 为等边三角形. ∴DA=AO. 在△ABD 与△AEO 中, ∵AB=AE,∠EAO=∠NAB,DA=AO ∴△ABD≌△AEO. ∴BD=OE.

(3)证明:作 EH⊥AB 于 H. ∵AE=BE,∴AH= ∵BO=

1 AB, 2

1 AB,∴AH=BO, 2

在 Rt△AEH 与 Rt△BAO 中, AH=BO ,AE=AB ∴Rt△AEH≌Rt△BAO, ∴EH=AO=AD. 又∵∠EHF=∠DAF=90° , 在△HFE 与△AFD 中, ∠EHF=∠DAF,∠EFH=∠DFA,EH=AD ∴△HFE≌△AFD, ∴EF=DF. ∴F 为 DE 的中点.

点评:本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合,来证明角相等和线段相等.

1 11.如图,直线 y= x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点,在 y 轴的负半轴上截取 3 OC=OB. (1)求直线 AC 的解析式; 1 解:∵ 直线 y= x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点 3 ∴ 可得点 A 坐标为(-3,0) ,点 B 坐标为(0,1) ∵ OC=OB ∴ 可得点 C 坐标为(0,-1) 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A(-3,0) ,C(0,-1)代入解析式 1 -3k+b=0 且 b=-1 可得 k=- ,b=-1 3 1 ∴ 直线 AC 的解析式为 y= x-1 3 (2)在 x 轴上取一点 D(-1,0) ,过点 D 做 AB 的垂线,垂足为 E,交 AC 于 点 F,交 y 轴于点 G,求 F 点的坐标; 解:∵ GE⊥AB
∴ ∴

k EG ? k AB ? ?1

k GE = ?11 = ? 3
3

设直线 GE 的解析式为 y=-3x+b

'

将点 D 坐标(-1,0)代入,得 y=-3????? ? b ? 0
'
' ∴ b ? ?3

∴ 直线 GE 的解析式为 y=-3x-3 3 1 联立 y= x-1 与 y=-3x-3,可求出 x ? ? 4 , 3
将其代入方程可得 y=
3

?3, 4
3

∴ F 点的坐标为( ? 4 , ? 4 ) (3)过点 B 作 AC 的平行线 BM, 过点 O 作直线 y=kx (k>0) 分别交直线 AC、 , AH ? BI BM 于点 H、I,试求 的值。 AB 解:过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N ∵BM//AC
OI OH ∴ OB ? OC

∵OB=OC ∴OI=OH ∴O 为 IH 的中点 ∵BM//AC
NB ∴ NA OI = OH

∵ ∴ ∴ ∴ ∴

OI=OH NB=NA N 为 AB 中点 ON 是四边形 ABIH 的中位线 AH+BI=2ON

∵ N 是 AB 的中点, ? AOB 是直角三角形 ∴ AB=2ON(直接三角形斜边的中线等于斜边的一半) ∴ AH+BI=AB AH ? BI ∴ =1 AB 12.如图,直线 AB:y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A(6,0) 两点,过点 B 的直 、B 线交 x 轴负半轴于 C,且 OB:OC=3:1. (1)求直线 BC 的解析式;
解: (1)因为直线 AB:y=-x-b 过点 A(6,0). 带入解析式 就可以得到 b=-6 即直线 AB:y=-x+6 ∵B 为直线 AB 与 y 轴的交点 ∴点 B (0,6) ∵OB:OC=3:1 ∴OC=2 点 C(-2,0) 已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为 y=kx+m

带入 B、C 的坐标。可以算出 k=3 ,m=6 所以 BC 的解析式为:y=3x+6

(2)直线 EF:y=kx-k(k≠0)交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是否 存在这样的直线 EF,使得 S△EBD=S△FBD?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明 理由?
(2) 假设 存在满足题中条件的 k 值 因为直线 EF: y=kx-k(k≠0)交 x 轴于点 D。 所以 D 点坐标为(1,0) 在图中标出点 D,且过点 D 做一直线,相交与直线 AB,BC 分别与点 E,F 然后观察△EBD 和 △FBD 则 S△EBD=

1 DE?h 2

S△FBD=

1 DF?h 2

两个三角形的高其实是一样的 要使这两个三角形面积相等,只要满足 DE=DF 就可以了 ∵点 E 在直线 AB 上,∴设点 E 的坐标为(p,-p+6) ∵点 F 在直线 BC 上,∴设点 F 的坐标为(q,3q+6) 而上面我们已经得到点 D 的坐标为(1,0) 点 E、 又关于点 D 对称, F 所以我们就可以得到两个等式, 即: (p+q)/2=1 (-p+6+3q+6)/2=0

9 5 ,q=2 2 9 3 5 3 点 E 的坐标即为( , ) ,点 F 的坐标即为(- ,- ) 2 2 2 2 3 把点 E 代入直线 EF 的解析式,得到 k= 7 3 所以存在 k,且 k= 7 (3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点,BP 为腰在第一象 限内作等腰直角△BPQ,连接 QA 并延长交 y 轴于点 K,当 P 点运动时,K 点的 位置是否发生变化?若不变,请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。
这样就可以求得:p= (3) K 点的位置不发生变化 理由:首先假设直线 QA 的解析式为 y=ax+b,点 P 的坐标 为(p,0)过点 Q 作直线 QH 垂直于 x 轴,交点为 H 这样图中就可以形成两个三角形,分别是△BOP 和△PHQ, 且两个三角形都是直角三角形。 ∵△BPQ 为等腰直角三角形,直角顶点为 P ∴BP=PQ,∠BPO+∠QPH=180?—90?=90? 又∵在直角三角形中,∴∠QPH+∠PQH=90? ∴根据上面两个等式,我们可以得到∠BPO=∠PQH 且 PB=QP 所以在△BOP 和△PHQ 中 ∠BOP=∠PHQ ∠BPO=∠PQH PB=QP

∴△BOP≌△PHQ(AAS) ∴OP=HQ=p OB=HP=6 (全等三角形的对应边相等) ∴点 Q 的坐标为(p+6,p) 然后将点 A 和点 Q 的坐标代入直线 QA 的解析式:y=ax+b 中,得到: a=1,b=-6 也就是说 a,b 为固定值,并不随点 P(p,0)的改变而改变 这样直线 QA:y=x-6 的延长线交于 Y 轴的 K 点也不会随点 P 的变化而变化了。 求得点 K 的坐标为(0,-6) 实战练习:

1.已知,如图,直线 AB:y=-x+8 与 x 轴、y 轴分别相交于点 B、A,过点 B 作 直线 AB 的垂线交 y 轴于点 D. (1)求直线 BD 的解析式;

(2)若点 C 是 x 轴负半轴上的任意一点,过点 C 作 AC 的垂线与 BD 相交于点 E,请你判断:线段 AC 与 CE 的 大小关系?并证明你的判断;

(3)若点 G 为第二象限内任一点,连结 EG,过 点 A 作 AF⊥FG 于 F,连结 CF,当点 C 在 x 轴的 负半轴上运动时, ∠CFE 的度数是否发生变化?若 不变,请求出∠CFE 的度数;若变化,请求出其变化范围.

2.直线 y=x+2 与 x、y 轴交于 A、B 两点,C 为 AB 的中点. (1)求 C 的坐标;

(2)如图,M 为 x 轴正半轴上一点,N 为 OB 上一点,若 BN+OM=MN,求∠ NCM 的度数;

(3)P 为过 B 点的直线上一点,PD⊥x 轴于 D,PD=PB,E 为直线 BP 上一点, F 为 y 轴负半轴上一点,且 DE=DF,试探究 BF-BE 的值的情况.

3.如图,一次函数 y=ax-b 与正比例函数 y=kx 的图象交于第三象限内的点 A,与

y 轴交于 B(0,-4)且 OA=AB,△OAB 的面积为 6. (1)求两函数的解析式; (2)若 M(2,0) ,直线 BM 与 AO 交于 P,求 P 点的坐标;

(3)在 x 轴上是否存在一点 E,使 S△ABE=5,若存在,求 E 点的坐标;若不存 在,请说明理由。

一次函数测试题
(总分100分)

一.选择题(每题 3 分) 1.已知:一次函数 y ? (a ? 1) x ? b 的图象如图所示,那么,a 的取值范围是(
y



A、 a ? 1

B、 a ? 1

C、 a ? 0

D、 a ? 0

2.下列函数中,自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是( A.y= 2 ? x B.y=
1 x?2

) D.y= x ? 2 · x ? 2

O

x

C.y= 4 ? x2

3..函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(



A B. C. D. 4.如果直线 y=x+m 与两坐标轴围成的三角形面积等于 2,则 m 的值是( A、±3 B、3 C、±4 D、4 5.无论 m 为何实数,直线 y ? x ? 2m 与 y ? ? x ? 4 的交点不可能在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )



(-5,y1) (-4,y2) 6.已知点A 和点B 都在直线 y ? ?7 x ? b 上,则 y1 与 y2 的大小关系
为( A. y1 ? y2 ) B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D.不能确定

3 3 7.要得到 y=- 2 x-4 的图像,可把直线 y=- 2 x(

) .

(A)向左平移 4 个单位 (C)向上平移 4 个单位

(B)向右平移 4 个单位 (D)向下平移 4 个单位

8.已知一次函数 y =(m+2)x+(1-m) ,若 y 随 x 的增大而减小,且此函数图象 与 y 轴的交点在 x 轴的上方,则 m 的取值范围是( ) A. m>-2 B. m <1 C. m <-2 D. m <1 且 m≠-2 9.已知两点 M(3,5) ,N(1,-1) ,点 P 是 x 轴上一动点,若使 PM+PN 最短, 则点 P 的坐标应为
1 2 A. ( 2 ,-4) B. ( 3 ,0) 4 C. ( 3 ,0)D. 3 ( 2 ,0)

10.某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用4小时,调 进物资 2 小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均 保持不变) .储运部库存物资 S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关 系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是( A、4 小时 B、4.4 小时 C、4.8 小时 D、5 小时

) s
30

10

二,填空题(每题 4 分)

O

2

4

t

1.已知函数 y=(k-1)x+k2-1,当 k_______时,它是一次函数,当 k=_______? 时,它是正比例函数. 2..一次函数 y=kx+3 与 y=3x+6 的图像的交点在 x 轴上,则 k= 。 3.已知一次函数 y=(m-2)x+m-3 的图像不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ________. 4. 等腰三角形的周长为 10cm,将底边长 y (cm)表示为腰长 x (cm)的函数关 系式为( ),其中 x 的取值范围是
-2

y y=2x+b y=ax-3

5. 如图,已知函数 y ? 2 x ? b 和 y ? ax ? 3 的图像交于点 P(?2, 5) ,则 ?
根据图像可得不等式 2 x ? b ? ax ? 3 的解集是 .
O

x

三,解答题(8+10+10+10+12)
1.

y = (6 + 3m) x + (n - 4), 求: 已知一次函数

-5

(1) (2) (3)

m 为何值时, y 随 x 的增大而减小;
m, n 分别为何值时,函数的图象与 y
轴的交点在

x 轴的下方?

m, n 分别为何值时,函数的图象经过原点?

(4)当

m = - 1, n = - 2 时,设此一次函数与 x 轴交于 A,与 y

轴交于 B,试求三角形

AOB 的面积。

2. 小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距 2400m 的邮局办事,小明出发的 同时,他的爸爸以 96m/min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局 停留 2min 后沿原路以原速返回,设他们出发后经过 t min 时,小明与家之间的 距离为 S1 m ,小明爸爸与家之间的距离为 S2 m,,图中折 s(m) 线 OABD,线段 EF 分别是表示 S1、S2 与 t 之间函数关 系的图像. A B E 2400 (1)求 S2 与 t 之间的函数关系式: (2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸 C 爸?这时他们距离家还有多远?
O 10 12 D F t(min)

3. 健身运动已成为时尚,某公司计划组装 A、B 两种型号的健身器材共 40 套, 捐赠给社区健身中心.组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个, 组装一套 B 型健身器材需甲种部件 3 个和乙种部件 6 个.公司现有甲种部件 240 个,乙种部件 196 个. (1)公司在组装 A、B 两种型号的健身器材时,共有多少种组装方案; (2) 组装一套 A 型健身器材需费用 20 元, 组装一套 B 型健身器材需费用 18 元. 求总组装费用最少的组装方案,最少组装费用是多少?

4.某商业集团新进了 40 台空调机,60 台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个 连锁店销售,其中 70 台给甲连锁店,30 台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种 电器每台的利润(元)如下表: 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170

乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店 x 台空调机,集团卖出这 100 台电器的总利润为 y(元) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 的取值范围; (2)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利 a 元销售,其他的销 售利润不变, 并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱 的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大?

5.直线 AB: y ? ? x ? b 分别与 x、y 轴交于 A (6, 0) 、B 两点,过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C,且 OB : OC ? 3:1 ; (1)求直线 BC 的解析式;

(2)直线 EF: y ? kx ? k ( k ? 0 )交 AB 于 E,交 BC 于点 F,交 x 轴于 D,是 否存在这样的直线 EF,使得 S?EBD ? S?FBD ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说 明理由?
y

B

C O A

x

(3)如图,P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点,以 P 为直角顶点、BP 为腰在第一象 限内作等腰直角三角形△BPQ,连结 QA 并延长交 y 轴于点 K。当 P 点运动时, K 点的位置是否发生变化?如果不变请求出它的坐标;如果变化,请说明理由。
y
Q

B

O

A

P

x

K


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