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标准整式的乘除与因式分解


学大教育个性化教学辅导教案
学科: 数学 姓名 李凌涛 年级 任课教师: 蒋老师 初二 性别 男 授课时间: 学校 2014 年 10 月 周南中学 24 日 (星期六 ) 总课时____第___课

知识与技能目标:理解和掌握整式的乘法、乘法公式、整式的除法的种类及解题技巧,学会
教学 目标

使用提公因式和公式法进行因式分解。 情感与态度目标:讲、练、讨论相结合

难点 重点

平方差公式和完全平方差公式的应用及因式分解。

课前 检查

作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

知识点回顾:
整式的有关概念 1、代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字 母也是代数式。 2、单项式:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意: 单项式是由系数、 字母、 字母的指数构成的, 其中系数不能用带分数表示, 如 ? 4 a b,
2

1 3

课 堂 教 学 过 程 过 程

这种表示就是错误的,应写成 ?
3 2

13 2 a b 。一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项 3

式的次数。如 ? 5a b c 是 6 次单项式。 多项式 1、多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不含字母 的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 ①单项式和多项式统称整式。 ②用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。 ③注意: (1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。 (2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧, “整体”代入。 2、同类项:所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同 类项。 3、去括号法则 ①括号前是“+” ,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。 ②括号前是“﹣” ,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法: (1)去括号; (2)合并同类项。
1

整式的乘法: a m ? a n ? a m?n (m, n都是正整数 )
n (a m) ? a mn (m, n都是正整数 )

(ab) n ? a n b n (n都是正整数 ) (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2
整式的除法: a m ? a n ? a m?n (m, n都是正整数 , a ? 0) 注意: (1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 (2)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同。 (3)计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号, 同时还要注意单 项式的符号。 (4)多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项。 (5)公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式。 (6) a ? 1(a ? 0); a
0 ?p

?

1 (a ? 0, p为正整数 ) ap

(7)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加,单项式除以多项式是不能这么计算的。

因式分解
1、因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这 个多项式分解因式。 2、因式分解的常用方法 (1)提公因式法: ab ? ac ? a(b ? c) (2)运用公式法: a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b)

a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2
(3)分组分解法: ac ? ad ? bc ? bd ? a(c ? d ) ? b(c ? d ) ? (a ? b)(c ? d ) (4)十字相乘法: a ? ( p ? q)a ? pq ? (a ? p)(a ? q)
2

3、因式分解的一般步骤: (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。
2

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:二项式可以尝试 运用公式法分解因式;3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4 项式及 4 项式 以上的可以尝试分组分解法分解因式 (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

例题讲解:
一、整式的乘除: 1、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 例如: 3a ? a ? _______ ; a 2 ? a 2 ? ________ ; 3a ? 5b ? 2a ? 8b ? ________

3x 2 y ? 2xy ? xy 2 ? 4x 2 y ? 2x 3 ? 10xy ? 2x 3 ? __________ ________
2、同底数幂的乘法法则:a ·a =a (m,n 是正整数). 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 例如: a 3 ? a ? ________ ; a ? a 2 ? a 3 ? ________ 3、幂的乘方法则:(a ) =a (m,n 是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘. 例如: (a 2 ) 3 ? _________ ; ( x 5 ) 2 ? _________ ; (a 4 ) 3 ? (a 3 ) () 4、积的乘方的法则:(ab) =a b (m 是正整数). 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 例如: (ab) 3 ? ________ ; (?2a 2 b) 3 ? ________ ; (?5a 3b 2 ) 2 ? ________ 5、同底数幂的除法法则:a ÷a =a (a≠0,m,n 都是正整数,并且 m>n). 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 规定: a ? 1
0
m n m-n m m m m n mn m n m+n

例如: a 3 ? a ? ________ ; a10 ? a 2 ? ________ ; a 5 ? a 5 ? ________ 6、单项式乘法法则

2x ? 3y

(?2x 2 y)(5xy 2 )

(3xy) 2 ? (?2 xy 2 )

(?a 2 b) 3 ? (a 2 b) 2

7、单项式除法法则 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则 连同它的指数作为商的一个因式.

4x 3 y ? 2x 2 y

24x 2 y ? ?? 6 xy?

?6 ? 10 ? ? ?3 ? 10 ?
8 5

8、单项式与多项式相乘的乘法法则: 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

m(a ? b ? c)

2 x(?2 x ? 3 y ? 5)
3

? 3ab(5a ? ab ? 2b 2 )

9、多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项,再把所得的积相加.

( x ? 2)(x ? 6)

(2 x ? 3 y)(x ? 2 y ? 1)

(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

10、多项式除以单项式的除法法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项 式, 再把所得的商相加.

?6 xy ? 5 x? ? x ;

?8a

2

? 4ab ? ?? 4a?

?

?20a b ? 45a b ? ? 5a b
4 2 3 2
2 2

? 2 1 2 ? 1 ? 2a c ? b c ? ? c 2 ? ? 2

11、整式乘法的平方差公式:(a+b)(a-b)=a -b . 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 例如:(4a-1) (4a+1)=___________; (3a-2b) (2b+3a)=___________;

?mn ? 1??mn ? 1?=

; (?3 ? x)(?3 ? x) ?
2 2 2 2 2 2



12、整式乘法的完全平方公式:(a+b) =a +2ab+b ,(a-b) =a -2ab+b . 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍. 例如: ?2a ? 5b? ? __________ __ ;
2

?x ? 3y?2 ? __________ _____ ?? 2m ? 1?2 ? __________ ____

?? ab ? 2?2 ? __________ ___;
二、因式分解: 1、提公因式法: 4 xy ? y

x 2 ? x3

x2+12x3+4x

m(a ? 1) ? n(a ? 1)

2、公式法.: (1)、平方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? b)
2 2

x2 ?1

4a 2 ? 9b 2

16x 2 ? ( y ? z) 2

(a ? 2b) 2 ? (2a ? b) 2

(2)、完全平方公式: a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

m 2 ? 4m ? 4

9x 2 ? 6xy ? y 2

16x 2 ? 24x ? 9

(a ? b) 2 ? 12(a ? b) ? 36

4

3、分组分解法: a ? b ? ab ? 1

ab-c+b-ac

a2-2ab+b2-c2

4、“十字相乘法”:即式子 x +(p+q)x+pq 的因式分解. x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). x2+7x+6 (2) 、x2-5x-6 (3) 、x2-5x+6

2

2

综合练习:
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1、 (?5a 2 ? 4b 2 )(______) ? 25a 4 ? 16b 4 括号内应填( A、 5a ? 4b
2 2


2

B、 5a ? 4b
2

2

C、 ? 5a ? 4b
2

D、 ? 5a ? 4b
2

2

2、下列计算正确的是(

) B、 (? x ? 2 y) 2 ? x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 D、 (?3x ? 2 y) 2 ? 9 x 2 ? 12xy ? 4 y 2

A、 ( x ? y)( y ? x) ? x 2 ? y 2 C、 (2 x ?

1 2 1 y ) ? 4 x 2 ? xy ? y 2 2 4

3、在 (1) x 2 ? (?5) 2 ? ( x ? 5)(x ? 5), (2) x 2 ? y 2 ? ( x ? y) 2 , (3)(?a ? b) 2 ? (a ? b) 2 (4) (3a ? b)(b ? 2a) ? 3ab ? 2ab ? ab 中错误的有( A、1 个 B、2 个 C、3 个 ) ) D、4 个

4、下列各式中,能用平方差公式计算的是( A、 (?a ? b)(a ? b) C、 (?a ? b ? c)(?a ? b ? c)

B、 (?a ? b)(a ? b) D、 (?a ? b)(a ? b) ) D、

5、如果: x 2 ? 8xy ? 16y 2 ? 0, 且x ? 5, 则( 2 x ? 3 y) 2 ? ( A、

25 4

B、

625 16

C、 )

3025 16

225 16

6、计算:1.992-1.98×1.99+0.992 得( A、0
2

B、1

C、8.8804

D、3.9601 )

7、如果 x ? 8x ? k 可运用完全平方公式进行因式分解,则 k 的值是( A、8
2

B、16
2 3

C、32

D、64 ) D、p=–3,q=1

8、(x2+px+8)(x -3x+q)乘积中不含 x 项和 x 项,则 p,q 的值 ( A、p=0,q=0 B、p=3,q=1 C、p=–3,–9

5

9、对于任何整数 m ,多项式 (4m ? 5) 2 ? 9 都能( A、被 8 整除 B、被 m 整除

) D、被(2 m -1)整除 )

C、被 m -1 整除

10.已知多项式 A ? x 2 ? 2 y 2 ? z 2 , B ? ?4x 2 ? 3 y 2 ? 2z 2 且 A+B+C=0,则 C 为( A、 5 x 2 ? y 2 ? z 2 B、 3x 2 ? 5 y 2 ? z 2 C、 3x 2 ? y 2 ? 3z 2 D、 3x 2 ? 5 y 2 ? z 2

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 11、 9x 2 ? 12xy ? 12、2012= , =(3 x + 48×52= )
2



13、 4x 2 ? 9 y 2 ? (2x ? 3 y) 2 ? __________ ? (2x ? 3 y) 2 ? _____。 14、 x 2 ? y 2 ? 48, x ? y ? 6, 则x ? _________, 。 y ? ________ 15、 ? 7ab ? 14abx ? 49aby ? ?7ab(________) , 。 mn(m ? n) 2 ? n(n ? m) 3 ? n(m ? n) 2 (________)

2 3 m ?1 3 1 x y 与 ? x 5 y 2 n ?1 是同类项,则 5m+3n 的值是 3 4 1 1 1 2 17、如果 a ? k ? (a ? )( a ? ), 则k ? 。 3 2 2
1.已知 为 19、写一个代数式 。



18、把边长为 12.75cm 的正方形中,挖去一个边长为 7.25cm 的小正方形,则剩下的面积

,使其至少含有三项,且合并同类项后的结果为 3ab

2

20、有一串单项式: ? x, 2x2 , ?3x3 , 4 x4 , ??, ?19 x19 , 20 x20 (1)你能说出它们的规律是 (3)第(n+1)个单项式是 三、解答题(共 60 分) 21、 (本题 6 分)计算下列各题: (1) (?4 x ? 3 y ) 3 y ? 4 x ;
2 2

吗?(2)第 2006 个单项式是 .



?

?

(2) ? 3a ?
2

? ?

1 ?? 2 1 ?? 4 1 2 ? b ?? 3a ? b ?? 9a ? b ? 2 ?? 2 ?? 4 ?

6

(3) a?a ? b? ? 2b?a ? b??a ? b? ;
2

(4) (a 2 ? ab ? b 2 ) a 2 ? ab ? b 2

?

?

22、 (本题 6 分)化简求值:
2 2 ?? 1 ? ? 1 ? ?? 1 ?? 1 ?? 1 2 2? ?? a ? b ? ? ? a ? b ? ?? 2a ? b ?? b ? 2a ?? b ? 4a ? (其中 a ? ?1, b ? 2 ) 2 ? ? 2 ? ? 2 ?? 2 ?? 4 ? ?? ?? ?

23、(本题 7 分)试说明:无论 x,y 取何值时,代数式 (x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x3)-(4x2y-x3-3xy2+7y3)的值是常数.

24、 (本题 7 分)找规律:1×3+1=4=22, 2×4+1=9=32, 3×5+1=16=42, 4×6+1=25=52 ??

请将找出的规律用公式表示出来。

7

25、 (本题 8 分)计算: ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ?? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? 2 ??1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ??1 ? 1? 2 ?? 2 ?? 2 ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? 2002 ?? 2003 ?

26、 (本题 8 分)某工地为了存放水泥,临时建筑一个长方体的活动房,活动房的高度一定,为 m 米, 活动房的四周周长为 n 米, 要想使活动房的体积最大, 则如何搭建?最大的体积是多少?

27、 (本题 9 分)为节约用水,某市规定三口之家每月标准用水量为 15 立方米,超过部分加价收 费,假设不超过部分水费为 1.5 元/立方米,超过部分水费为 3 元/立方米. (1)请用代数式分别表示这家按标准用水和超出标准用水各应缴纳的水费; (2)如果这家某月用水 20 立方米,那么该月应交多少水费?

8

28、 (本题 9 分)如图是 L 形钢条截面,是写出它的面积公式。并计算:

a ? 36mm, b ? 32mm, c ? 8.5mm 时的面积。

课堂 听课及知识掌握情况反馈: _______________________________________________________。 检测 测试题(累计不超过 20 分钟)_____道;成绩______;教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后 巩固 签字 后记 教学组长签字: 学习管理师:

9


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