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广州市玉岩中学高三第一轮单元测试(3)


广州市玉岩中学 广州市玉岩中学 2010 届高三第一轮复习单元测试卷 集合与函数 集合与函数
3x 2 + lg(3x + 1) 的定义域是(B ) 1? x 1 1 1 1 1 B. (? ,1) C. (? , ) D. (?∞, ? ) A. (? , +∞) 3 3 3 3 3

20092009-9-15

一、选择题 选择题(下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的,请将正确答案前的字 选择题 母填入答题卡的表格中,每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1、函数 f ( x) =

2.已知 log 1 b < log 1 a < log 1 c ,则(
2 2 2

A )

A. 2 b > 2 a > 2 c B.2 a > 2 b > 2 c C.2 c > 2 b > 2 a D. 2 c > 2 a > 2 b 3.设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0,0) ,其反函数过点(1, 2) , 则 a+b 等于( B ) B.4 C.5 D.6 A.3 4.若 a = log 3 π,b = log 7 6,c = log 2 0.8 ,则( A )
(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>a>b (D)b>c>a ?4 x ? 4, x ≤ 1, 5.函数 f ( x) = ? 2 的图象和函数 g ( x) = log 2 x 的图象的交点个数是 ? x ? 4 x + 3,x > 1 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1

?1? 6.设函数 y = x 与 y = ? ? 的图象的交点为 ( x0,y0 ) , x0 所在的区间是 B ) 则 ( ?2? A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4) 7. 若函数 f ( x) = log a ( x + 1)(a > 0, a ≠ 1) 的定义域和值域都是[0, 则 a= D ) 1], (
3

x ?2

1 2 (B) 2 (C) (D)2 3 2 8. f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f ( x) 在(0,3)内单调递减, y = f ( x) 设 且 . 的图象关于直线 x = 3 对称,则下面正确的结论是( B ) B. f (3.5) < f (1.5) < f (6.5) A. f (1.5) < f (3.5) < f (6.5) C. f (6.5) < f (3.5) < f (1.5) D. f (3.5) < f (6.5) < f (1.5) 9.若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (?∞,0] 上是减函数,且 f (2) = 0 , 则使得 f ( x) < 0 的 x 的取值范围是( D ) A. (?∞,2) B. (2,+∞) C. ( ?∞,?2) ∪ (2,+∞ ) D. (-2,2) 10. 下列四个命题: ①函数 f ( x ) 在 x > 0 时是增函数,x < 0 也是增函数, 所以 f (x) 是
(A) 增函数;②若函数 f ( x) = ax 2 + bx + 2 与 x 轴没有交点,则 b2 ? 8a < 0 且 a > 0 ; ③
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y = x 2 ? 2 x ? 3 的递增区间为 [1, +∞ ) ;④ y = 1 + x 和 y = (1 + x) 2 表示
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相同函数 A 0
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其中正确命题的个数是( A B 1 C 2
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) D
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1

(第Ⅱ卷 非选择题共 100 分) 二、填空题(将下列各小题的正确答案填在答题卡的横线上,每小题 5 分,4 填空题
小题共 20 分) 11.已知(x,y)在映射 f 下的象为(3x,x-y),则(1,2)在 f 下的原象 12.若函数 f ( x) = log a ( x + x + 2a ) 是奇函数,则 a=
2 2





13.若函数 f(x) =

2 x + 2 ax ?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为___________. ?2 ? x , x ∈ (- ∞,1] 1 14.设函数 f(x)= ? ,则满足 f(x)= 的 x 值为____________. 4 ?log 81 x, x ∈ (1,+∞)
2

11. ? , ? -

?1 ?3

5? 3?

12

2 2

13

[- 1.0]

14

3

三、解答题(将下列各小题的解答或证明过程写在答题卡的相应位置上,6 解答题
小题共 80 分) 15、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = x 2 + 2ax + 2, x ∈ [ ?5, 5] ① 当 a = ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y = f ( x) 在区间 [? 5,5] 上是单调函数
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解: (1) a = ?1 , f ( x) = x 2 ? 2 x + 2 其对称轴为 x = 1 f ( x) min = f (1) = 1

f ( x) max = f (5) = 37

∴ f ( x) max = 37 , f ( x) min = 1

(2)法一:对称轴 x = ?a ,当 ? a ≤ ?5 或 ? a ≥ 5 时, f ( x) 在[-5,5]上单调 ∴ a ≥ 5 或 a ≤ ?5 法二: f ' ( x ) = 2 x + 2a ≥ 0 或 f ' ( x ) = 2 x + 2a ≤ 0 恒成立 即 a ≥ ? x 或 a ≤ ? x 在 x ∈ [? 5,5] 内恒成立 ∴ a ≥ 5 或 a ≤ ?5 16. 已知二次函数 f ( x) 的二次项系数为 a, 且不等式 f ( x) > ?2 x 的解集为 (1, . 3) (1)若方程 f ( x) + 6a = 0 有两个相等的根,求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) + 2 x > 0的解集为(1,3). f ( x) + 2 x = a( x ? 1)( x ? 3), 且a < 0.因而
f ( x) = a ( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x = ax 2 ? (2 + 4a ) x + 3a. ①

由方程 f ( x) + 6a = 0得ax 2 ? (2 + 4a ) x + 9a = 0.
2



因为方程②有两个相等的根,所以 ? = [?(2 + 4a )] ? 4a ? 9a = 0 , 1 即 5a 2 ? 4 a ? 1 = 0. 解得a = 1或a = ? . 5
2

1 由于 a < 0, 舍去a = 1.将a = ? 代入①得 f (x ) 的解析式 5 1 2 6 3 f ( x) = ? x ? x ? . 5 5 5 1 + 2a 2 a 2 + 4a + 1 (Ⅱ)由 f ( x) = ax 2 ? 2(1 + 2a) x + 3a = a( x ? ) ? a a 2 a + 4a + 1 及 a < 0, 可得f ( x)的最大值为 ? . a 由 ??
? a 2 + 4a + 1 > 0, a ? ?a < 0, ?

解得 a < ?2 ? 3或 ? 2 + 3 < a < 0.

故当 f (x ) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是
(?∞,?2 ? 3 ) ∪ ( ?2 + 3 ,0). 1 1+ x 17 已知函数 f ( x) = ? log 2 ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和 x 1? x 单调性.

?x ≠ 0 1+ x ? 解:x 须满足 ?1 + x ,由 > 0得 ? 1 < x < 1, ?1 ? x > 0 1 ? x ? 所以函数 f (x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1+ x f (? x) = ? ? log 2 = ?( ? log 2 ) = ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1+ x x 1? x 法一:研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = =( 由 1 + x1 1 1 + x2 1 ? log 2 ? + log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 1 1 2 2 ? ) + [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? > 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) > 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1 得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 法二: 1 1+ x 1 1? x f ( x ) = ? log 2 = + log 2 x 1? x x 1+ x 2 ? 1 ? = + log 2 ?? 1 + x 1+ x? ? ? 减函数的和为减函数 , 所以 f (x) 在(0,1)(-1,0)内单调递减,

3

18.为了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地长方形 ABCD 上 规划出一块长方形地面建造公园,公园一边落在 CD 上,但不得越过文物保护区 △AEF 的 EF.问如何设计才能使公园占地面积最大,并求这最大面积. 其中 AB=200m,BC=160m,AE=60m,AF=40m.#

解:如图所示,设 PH=x,由△FKP∽△FAE,则

FK 200 ? x = ,故 FK= 40 60

2 2 (200-x),PG=DF=1 20+ (200-x).? 3 3 设公园占地面积为 y,则? 2 2 760 2 2 =- x2+ x=- (x-190)2+ ×1902 y=x 〔120+ (200-x)〕 3 3 3 3 3 ≤x≤200. 72200 因此当 x=190 时,y 最大值为 . 3

并且 140

19.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),又当-1≤x ≤1 时,f(x)=x3. (Ⅰ)证明直线 x=1 是函数 f(x)的图像的一条对称轴; (Ⅱ)求当 x∈[1,5]时,f(x)的解析式.

解:(Ⅰ)法一:由 f(x+2)=-f(x),又 f(x)是奇函数,故 f(x+2)=f(-x).于是 f(1-x)=f[-(x-1)]=f[(x-1)+2]=f(x+1)= f(1+x),? 法二:由 f (? x ) = ? f ( x ) 及 f ( x + 2) = ? f ( x ) 得:

f (? x ) = f ( x + 2) 令 ? x = t 得 f (t ) = f (2 ? t ) 即 f ( x ) = f (2 ? x )
故 f(x)的图像关于直线 x=1 对称. (Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)的图像关于直线 x=1 对称,故当 1≤x≤3 时, ? 1 ≤ 2 ? x ≤ 1 ,
f ( x ) = f (2 ? x ) = (2 ? x ) .?
3

4

又当 3<x≤5 时-1<x-4≤1,由 f (? x ) = f ( x + 2) 得周期 T = 4
f ( x ) = f ( x ? 4 ) = ( x ? 4 ) 于是有
3

?(2 ? x) 3 (?1 ≤ x ≤ 3) ? f(x)= ? ?( x ? 4) 3 (3 < x ≤ 5) ?

20.已知 a 是实数,函数 f ( x) = 2ax 2 + 2 x ? 3 ? a .如果函数 y = f ( x ) 在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 3 解:当a=0时,函数为f (x)=2x -3,其零点x= 不在区间[-1,1]上。 2 当a≠0时,函数f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时 ?? = 4 ? 8a (?3 ? a ) = 0 ?f (?1) = 0 ?f (1) = 0 ? f (?1)f (1) < 0 或 ? 或? 或 ? 1 ?af (1) < 0 ?af (?1) < 0 ?? 1 ≤ ? 2a ≤ 1 ?
3+ 7 2 ②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时 ?? = 8a 2 + 24a + 4 > 0 ? ?? 1 < ? 1 < 1 3+ 7 ? 解得a ≥ 5或a< ? 2a ? 2 ?af (?1) ≥ 0 ? ?af (1) ≥ 0 ?

解得1≤a<5或a= ?

综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数a的取值范围为(-∞, 3+ 7 ? ]∪[1, +∞) 2 (别解: 2ax 2 + 2 x ? 3 ? a = 0 ? (2 x 2 ? 1)a = 3 ? 2 x ,题意转化为知 x ∈ [ ?1,1] 求 3 ? 2x 的值域, a= 2 2x ?1 2 令 t = 3 ? 2 x ∈ [1,5] 得 a = , t ∈ [1,5] ,转化为求该函数的值域问题. 7 t + ?6 t

5


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