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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 6.1 数列的概念及简单表示法


§ 6.1

数列的概念及简单表示法

1. 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 按其他标准 分类 3. 数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{an }的第 n 项与序号 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an =f (n), 那么这 个式子叫作这个数列的通项公式. 5.已知数列{an }的前 n 项和 Sn ,则 an =?
? ?

类型 有穷数列

满足条件 项数有限 项数无限 an +1 __>__an an +1 __<__an an +1 =an 存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起, 有些项大于它的前一项, 有些项小 其中 n∈N+

递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

于它的前一项的数列

S1

?n=1? ?n≥2?

?Sn -Sn -1 ?

.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达. (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. 1+?-1? (3)数列:1,0,1,0,1,0,?,通项公式只能是 an = 2
n +1

( ( ( (

× √ × √ √

) ) ) ) )

.

(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn ,则对任意 n∈N+,都有 an +1 =Sn +1 -Sn .

(5)在数列{an}中,对于任意正整数 m,n,am +n =amn +1,若 a1 =1,则 a2 =2. (

1 (6)若已知数列{an}的递推公式为 an +1 = ,且 a2 =1,则可以写出数列{an }的任何一 2an -1 项. 2. 设数列{an }的前 n 项和 Sn =n2 ,则 a8 的值为 A.15 答案 解析 A ∵Sn =n ,∴a1 =S1 =1.
2

( ( D.64

√ )

)

B.16

C.49

当 n≥2 时,an =Sn -Sn- 1 =n2 -(n-1)2 =2n-1. ∴an =2n-1,∴a8 =2×8-1=15. 3. 已知数列{an }的前 n 项和 Sn 满足:Sn +Sm =Sn +m ,且 a1 =1,那么 a10 等于 A.1 答案 解析 A ∵Sn +Sm =Sn+ m ,a1 =1,∴S1 =1. B.9 C.10 D.55 ( )

可令 m=1,得 Sn+ 1 =Sn +1,∴Sn +1 -Sn =1. 即当 n≥1 时,an+ 1 =1,∴a10 =1. 2 1 4. (2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an }的前 n 项和 Sn = an + , 则{an }的通项公式是 an =________. 3 3 答案 解析 (-2)n -1 当 n=1 时,a1 =1;当 n≥2 时,

2 2 an =Sn -Sn- 1 = an - an -1 , 3 3 故 an =-2,故 an =(-2)n -1 . an - 1

当 n=1 时,也符合 an =(-2)n -1 . 综上,an =(-2)n- 1.

5. (2013· 安徽)如图,互不相同的点 A 1 ,A 2 ,?,A n ,?和 B 1 , B 2 ,?,Bn ?分别在角 O 的两条边上,所有 An B n 相互平行, 且所有梯形 A nB n Bn +1 An +1 的面积均相等. 设 OA n =an , 若 a1 =1, a2 =2,则数列{an }的通项公式是________. 答案 解析 an = 3n-2 由已知 S梯形A B B
n n n ?1 An ?1

? S梯形An?1Bn?1Bn?2 An?2

S?OBn?1An?1 ? S?OBn An ? S?OBn?2 An?2 ? S?OBn?1An?1 ,
即 S△OBnAn + S?OBn?2 An?2 ? 2S?OBn?1An?1
2 2 2 2 2 由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA2 n +OA n + 2=2OA n + 1,即 an +a n + 2=2an + 1, 2 2 因此{a2 n} 为等差数列且 an=a1 +3( n-1) =3n-2,

故 an = 3n-2.

题型一 例1

由数列的前几项求数列的通项 写出下面各数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?. 思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,

项与前后项之间的关系. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an =2n+1.
1, 2, 3, 4

2n -1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 2 2 2 ,?,所以 an = n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2+?-1?n 2-1,偶数项为 2+1,所以 an =(-1)n· . n ,n为正奇数, ? -1 n 也可写为 a =? 3 ?n,n为正偶数.
n

9 99 999 9 999 2 3 (4)将数列各项改写为 , , , , ?, 分母都是 3, 而分子分别是 10-1,10 -1,10 3 3 3 3 -1,104 -1,?, 1 所以 an = (10n -1). 3 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时, 需仔细观察分析, 抓住其几方面的特征:

分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征, 应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想. (1)数列-1,7,-13,19,?的一个通项公式是 an =________________. 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公式是 an =________. 2 10 17 答案 解析 (1)(-1)n · (6n-5) 2n+1 (2) 2 n +1

(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+ 1 表示, 其各项的绝对值的排列规律为后面的数

的绝对值总比前面的数的绝对值大 6,故通项公式为 an =(-1)n (6n-5). 2×1+1 2×2+1 2×3+1 2×4+1 2n+1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 2 ,故 an = 2 . 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 n +1 题型二 例2 由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项 已知下面数列{an }的前 n 项和 Sn ,求{an }的通项公式: (1)Sn =2n -3n; (2)Sn =3n +b. 思维启迪 当 n=1 时,由 a1 =S1 ,求 a1 ;
2

当 n≥2 时,由 an =Sn -Sn- 1 消去 Sn ,得 an + 1 与 an 的关系.转化成由递推关系求通项. 解 (1)a1 =S1 =2-3=-1,

当 n≥2 时,an =Sn -Sn- 1 =(2n2 -3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an =4n-5. (2)a1 =S1 =3+b, 当 n≥2 时,an =Sn -Sn- 1 =(3n +b)-(3n -1 +b)=2· 3n -1 . 当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an =2· 3n- 1 ; 当 b≠-1 时,an =?
? ?3+b, ?2· 3 ?
n -1

n=1, n≥2.



思维升华

数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an =?

? ?S1 ,n=1, ?Sn -Sn -1 ,n≥2. ?

当 n=1 时,a1

若适合 Sn -Sn - 1 ,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an ;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn -Sn - 1 ,则用分段函数的形式表示. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn = 3n2 - 2n + 1 , 则 其 通 项 公 式 为 ________________. 答案 解析 an =?
? ?2,n=1 ?6n-5,n≥2 ?
2

当 n=1 时,a1 =S1 =3×1 -2×1+1=2;

当 n≥2 时, an =Sn -Sn- 1 =3n2 -2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式. 故数列的通项公式为 an =? 题型三 例3
? ?2,n=1, ?6n-5,n≥2. ?

由数列的递推关系求数列的通项公式 (1)设数列{an }中,a1 =2,an +1 =an +n+1,则通项 an =________.

(2)数列{an}中,a1 =1,an +1 =3an +2,则它的一个通项公式为 an =________. n+2 (3)在数列{an}中,a1 =1,前 n 项和 Sn = a . 则{an }的通项公式为________. 3 n 思维启迪 答案 解析 观察递推式的特点,可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式. (2)2×3
n -1

n?n+1? (1) +1 2

-1

n?n+1? (3)an = 2

(1)由题意得,当 n≥2 时,

an =a1 +(a2 -a1 )+(a3 -a2 )+?+(an -an- 1) ?n-1??2+n? n?n+1? =2+(2+3+?+n)=2+ = +1. 2 2 1×?1+1? 又 a1 =2= +1,符合上式, 2 n?n+1? 因此 an = +1. 2 (2)方法一 (累乘法)

an + 1 =3an +2,即 an+ 1 +1=3(an +1), 即 an + 1 +1 =3, an +1 a2 +1 a3 +1 a4 +1 an + 1 +1 =3, = 3, =3,?, =3. a1 +1 a2 +1 a3 +1 an +1

所以

an + 1 +1 n 将这些等式两边分别相乘得 =3 . a1 +1 an + 1 +1 n 因为 a1 =1,所以 =3 , 1+1 即 an +1 =2×3n -1(n≥1), 所以 an =2×3
n- 1

-1(n≥2),

又 a1 =1 也满足上式, 故数列{an }的一个通项公式为 an =2×3 方法二 (迭代法)
n- 1

-1.

an + 1 =3an +2, 即 an +1 +1=3(an +1)=32 (an -1 +1)=33(an- 2 +1) =?=3 (a1 +1)=2×3 (n≥1), 所以 an =2×3n- 1 -1(n≥2), 又 a1 =1 也满足上式, 故数列{an }的一个通项公式为 an =2×3 (3)由题设知,a1 =1. n+2 n+1 当 n>1 时,an =Sn -Sn- 1 = an - an -1 . 3 3 ∴ ∴ an n+1 = . an - 1 n-1 an n+1 a 5 = ,?, 4 = , an - 1 n-1 a3 3
n- 1 n n

-1.

a 3 4 a2 = , =3. a 2 2 a1 a n?n+1? 以上 n-1 个式子的等号两端分别相乘,得到 n = , a1 2 n?n+1? 又∵a1 =1,∴an = . 2 思维升华 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.

当出现 an =an- 1 +m 时,构造等差数列;当出现 an =xan -1 +y 时,构造等比数列;当出 a 现 an =an- 1 +f(n)时,用累加法求解;当出现 n =f (n)时,用累乘法求解. an - 1 n- 1 (1)已知数列{an}满足 a1 =1,an = an -1 (n≥2),则 an =________. n (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn =2an -1(n∈N+),则 a5 等于 A.-16 答案 1 (1) (2)B n B.16 C.31 D.32 ( )

解析

n-1 (1)∵an = a - (n≥2), n n 1

n-2 1 ∴an - 1 = an -2 ,?,a2 = a1 . n-1 2 以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a 1 12 an =a1 ··· ?· = 1 = . 23 n n n (2)当 n=1 时,S1 =2a1 -1,∴a1 =1. 当 n≥2 时,Sn- 1 =2an -1 -1, ∴an =2an -2an- 1 , ∴an =2an -1 . ∴{an }是等比数列且 a1 =1,q=2, 故 a5 =a1 ×q4 =24 =16.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an }. (1)若 an =n2 -5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an =n2 +kn+4 且对于 n∈N+,都有 an +1 >an . 求实数 k 的取值范围. 思维启迪 (1)求使 an <0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项

公式可以看作相应的解析式 f (n)=n2 +kn+4.f (n)在 N+ 上单调递增,但自变量不连续.从 二次函数的对称轴研究单调性. 规范解答 解 (1)①由 n2 -5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N+ ,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2 ,a3. [4 分]

5 2 9 5 2 ②∵an =n -5n+4=?n- ? - 的对称轴方程为 n= . 又 n∈N+ ,∴当 n=2 或 n=3 时, ? 2? 4 2 an 有最小值,其最小值为 a2 =a3 =-2. [8 分]

(2)由 an+ 1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an =n2 +kn+4,可以看作是关 k 3 于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+ ,所以- < ,即得 k >-3. 2 2 温馨提醒 [12 分]

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N+上的二次函数,

因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实数 k 的取值范围,使问题得到 解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取. (3)易错分析:本题易错答案为 k >-2. 原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是 正整数.

方法与技巧 1. 求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n 或(-1)n +1 来区分奇偶 项的符号); 已知数列中的递推关系, 一般只要求写出数列的前几项, 若求通项可用归纳、 猜想和转化的方法. 2. 强调 an 与 Sn 的关系:an =?
?S1 ? ?Sn -Sn -1 ?

?n=1? ?n≥2?

.

3. 已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有两种常见 思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式. 失误与防范 1. 数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数 列 an =f (n)和函数 y=f (x)的单调性是不同的. 2. 数列的通项公式不一定唯一.

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 1. 数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,?的一个通项公式是 an 等于 A. ?-1?n +1 2 n+1 π 2 B.cos D.cos nπ 2 n+2 π 2 ( )

C.cos 答案 解析

D 令 n=1,2,3,?逐一验证四个选项,易得 D 正确.

2.数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 a1 =1,an +1 =3Sn (n≥1),则 a6 等于 A.3×4 C.45 答案 解析 A 当 n≥1 时,an+ 1 =3Sn ,则 an+ 2 =3Sn +1 ,
4

(

)

B.3×4 +1 D.45 +1

4

∴an + 2 -an +1 =3Sn+ 1 -3Sn =3an +1 ,即 an+ 2 =4an +1 , ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列. 又 a2 =3S1 =3a1 =3,∴an =?
? ?1? n=1?, ? ? 3×4
n- 2

?n≥2?.

∴当 n=6 时,a6 =3×46 -2 =3×44 . 3. 若数列{an }的通项公式是 an =(-1)n (3n-2),则 a1 +a2 +?+a10 等于 A.15 答案 解析 A 由题意知,a1 +a2 +?+a10
10

(

)

B.12

C.-12

D.-15

=-1+4-7+10+?+(-1) ×(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+?+[(-1) × (3 × 9 -2)+(-1) × (3 × 10 -2)] =3×5=15. 4 n -1 2 n -1 4.已知数列{an }的通项公式为 an =( ) -( ) ,则数列{an } 9 3 A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 答案 解析 C 4 2 ∵数列{an }的通项公式为 an =( )n -1 -( )n -1 , 9 3 ( )
9 10

2 令 t=( )n -1 ,t∈(0,1],t 是减函数, 3 12 1 2 则 an =t -t=(t- ) - , 2 4 由复合函数单调性知 an 先递增后递减. 故有最大项和最小项,选 C. n 1 5.若 Sn 为数列{an }的前 n 项和,且 Sn = ,则 等于 n+1 a5 A. 5 6 B. 6 5 C. 1 30 D.30 ( )

答案 解析

D n-1 n 1 当 n≥2 时,an =Sn -Sn- 1 = - = , n+1 n n?n+1?

1 所以 =5×6=30. a5 二、填空题 6.已知数列{ 答案 解析 7 n2 49 =0.98= ,∴n=7. 2 n +1 50 n },则 0.98 是它的第________项. n +1
2 2

7. 数列{an }中, a1 =1, 对于所有的 n≥2, n∈N+, 都有 a1 · a2· a3· ?· an =n2 , 则 a3 +a5 =________. 答案 解析 61 16 由题意知:a1 · a2· a3 · ?· an- 1 =(n-1) ,
2

n 2 ∴an =( ) (n≥2), n-1 3 5 61 ∴a3 +a5 =( )2 +( )2 = . 2 4 16 8.已知{an }是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an =n2 +λn 恒成立,则实数 λ 的取值范围是 ________. 答案 解析 (-3,+∞) 方法一 (定义法)

因为{an }是递增数列,所以对任意的 n∈N+ ,都有 an +1 >an , 即(n+1)2 +λ(n+1)>n2 +λn,整理,得 2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1). 因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需 λ>-3. 方法二 (函数法) (*)

λ 2 设 f (n)=an =n +λn,其图像的对称轴为直线 n=- , 2 要使数列{an }为递增数列,只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数, 故只需满足 f (1)<f(2),即 λ>-3. 三、解答题 9.数列{an }的通项公式是 an =n2 -7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?



(1)当 n=4 时,a4 =42 -4×7+6=-6.
2

(2)令 an =150,即 n -7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an =n -7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故数列从第 7 项起各项都是正数. 9n ?n+1? 10.已知数列{an }的通项公式为 an = ,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最 10n 大,最大项是多少?若没有,说明理由. 解 9n + 1?n+2? 9n ?n+1? 9n 8-n an + 1 -an = - = n· , 10n + 1 10n 10 10
2

当 n<8 时,an+ 1 -an >0,即 an +1 >an ; 当 n=8 时,an+ 1 -an =0,即 an+ 1 =an ; 当 n>8 时,an+ 1 -an <0,即 an +1 <an. 则 a1 <a2 <a3 <?<a8 =a9 >a10 >a11 >?, 故数列{an }有最大项,为第 8 项和第 9 项, 98 ×9 99 且 a8 =a9 = 8 = 8. 10 10 B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) 1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格, 那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( )

A.8 种 答案 解析 C

B.13 种

C.21 种

D.34 种

设跳到第 n 个格子的方法种数有 an ,则到达第 n 个格子的方法有两类:

①向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an -1 ; ②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an -2 ,则 an =an -1 +an- 2 , 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21. 故选 C. 1 2.数列{an }满足 an +an +1 = (n∈N+),a2 =2,Sn 是数列{an }的前 n 项和,则 S21 为( 2 A.5 答案 B B. 7 2 C. 9 2 D. 13 2 )

解析

1 ∵an +an +1 = (n∈N+ ), 2

1 1 1 ∴a1 = -a2 = -2,a2 =2,a3 = -2,a4 =2,?, 2 2 2 1 故 a2 n =2,a2n -1 = -2. 2 1 1 7 ∴S21 =10× +a1 =5+ -2= . 2 2 2 2n 3. 若数列{n(n+4)( ) }中的最大项是第 k 项,则 k =________. 3 答案 4

解析

?k ?k +4??3? ≥?k +1??k +5??3? 由题意得? 2 2 ?k ?k +4??3? ≥?k -1??k +3??3?
2
k

2

k+ 1


k- 1

k

2 ? ?k ≥10 ? 所以 2 ,由 k ∈N+ 可得 k =4. ?k -2k -9≤0 ?

2 4. 已知数列{an }满足前 n 项和 Sn =n2 +1,数列{bn }满足 bn = ,且前 n 项和为 Tn ,设 an +1 cn =T2 n +1 -Tn . (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn }的增减性. 解 (1)a1 =2,an =Sn -Sn- 1 =2n-1(n≥2). 2

?3?n=1? ∴b =? 1 ?n?n≥2?
n

.

(2)∵cn =bn+ 1 +bn+ 2 +?+b2 n+ 1 = 1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n+1

1 1 1 ∴cn + 1 -cn = + - 2n+2 2n+3 n+1 = -1 1 1 - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?

∴{cn }是递减数列. 5. 设数列{an }的前 n 项和为 Sn . 已知 a1 =a,an +1 =Sn +3n ,n∈N+. (1)设 bn =Sn -3 ,求数列{bn }的通项公式; (2)若 an +1 ≥an ,n∈N+,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+ 1 -Sn =an +1 =Sn +3n ,
n

即 Sn +1 =2Sn +3n , 由此得 Sn +1 -3
n+ 1

=2(Sn -3 ).

n

即 bn +1 =2bn ,又 b1 =S1 -3=a-3, 因此,所求通项公式为 bn =Sn -3 =(a-3)2
n n n- 1

,n∈N+ .
n- 1

(2)由(1)知 Sn =3 +(a-3)2 于是,当 n≥2 时,

,n∈N+ ,

an =Sn -Sn- 1 =3n +(a-3)2n- 1 -3n -1 -(a-3)2n -2 =2×3
n- 1

+(a-3)2

n- 2



an + 1 -an =4×3n- 1 +(a-3)2n- 2 3 =2n - 2[12( )n -2 +a-3], 2 3 n -2 当 n≥2 时,an+ 1 ≥an ?12( ) +a-3≥0?a≥-9. 2 又 a2 =a1 +3>a1 . 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).


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