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河北省保定市定兴第三中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文 新人教A版


2014—2015 学年第二学期期中考试 高二文科数学试卷
(考试时间:120 分钟;分值:150 分; ) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)

z?
1、复数

5?i 1 ? i 的虚部为 ( ) A.2 B.
a b

C. )

r />
D.

2、若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是( A.6 B. 3 C.2 D. 4

3、若曲线 y=x2+ax+b 在点(0, b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a= -1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1

)

y?
4、已知 a>O,b>0, a+b=2,则

1 4 ? a b 的最小值是

(

)

7 9 A. 2 B.4 C. 2

D.5

? x ? 2s ? 1 ? x ? at l1 : ? l2 : ? y?s ? y ? 2t ? 1 5、在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 ? (s 为参数)和直线
(t 为参数)平行,则常数 a 的值为( A.8 B.6 C. 2 D.4 )

6、某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表根据上表可得回归方程

? ? bx ? a 中的 b 为 9.4, y 据此模型预报广告费用为 6 万元是, 销售额为 65.5, 则 a,m 为 (
A.a=9.1,m=54 B. a=9.1,m=53 C. a=9.4,m=52 D. a=9.2,m=54 7、若不等式|x+1|-|x-2|>a 在 R 上有解,则实数 a 的取值范围是( A.a< 3 B.a>3 C.a<1 D.a>1 8、极坐标系内曲线 ? ? 2cos ? 上的动点 P 与定点 A. B. , C.
3 2

)



Q (1, ) 2 的最近距离等于(

?



C. 1

D. ”是假命题,则实数 的取值范围是( D. )

9、已知命题“ A. B.

1 0、若 a>0,b>0,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( ) A.2 B.9 C.6 D.3

-1-

。 ? ? x ? 2 ? t sin 30 ? 。 ? y ? ?1 ? t sin 30 (t 为参数) 与曲线 ? =2 2 相交于 B,C 两点, 11、若曲线 ? 则|BC|的值为 ( )

A.

B.

C.

D.

f ( x) ?
12、已知函数

ln a ? ln x x 在 [1, ??) 上为减函数, 则实数 a 的取值范围是(
C. a ? e D. 0 ? a ? e



0?a?
A.

1 e

B. a ? e

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分).

? x ? sin ? ? y ? sin 2 ? ( ? 为参数)与直线 y=x+2 的交点坐标为 13、曲线 ?



14、设常数

,若 9x+

a+1 对一切正实数 成立, 则 的取值范围为_______.

? x ? ?1 ? 3cos ? ? y ? 2 ? 3sin ? ( ? 为参数)有公共点,则实 ? cos ? ? ? sin ? ? a ? 0 15、直线 与圆 ?
数 a 的取值范围是_____________ . 16 、已知函数 y ? f ( x) 在 R 上可导,且满足 f (1) ? 1 , f ( x) 的导函数

f / ( x) ?

1 2 ,则

f ( x) ?

x 1 ? 2 2 的解集为__________.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围. 18、 (本小题满分 12 分)吸烟的危害很多,吸烟产生的烟雾中有近 2000 种有害物质,如尼古 丁、氰氢酸、氨、一氧化碳、二氧化碳、吡啶、砷、铜、铅等,还有 40 多种致癌物,如苯并 芘、朕苯胺及煤焦油等。它们随吸烟者吞咽烟雾时进入体内,对机体产生危害。为了解某市 心肺疾病是否与吸烟有关,某医院随机对入院的 50 人进行了问卷调查,得到了如下的列联表. 患心肺疾病 吸烟患者 不吸烟患者 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

-2-

(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽 3 人,其中吸烟患者抽到多少人? (2)在上述抽取的 3 人中选 2 人,求恰有一名不吸烟患者的概率; (3)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与吸烟有关? 附: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6. 635 7.879 10.828

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? ?y ? 2 t ? 2 19、(本小题满分 12 分) 已知直线 的参数方程为 ? (其中 t 为参数) ,曲线
,以坐标原点为极点, 种坐标系中取相同长度单位。 (1)求直线 的普通方程及曲线 (2)在曲线 上是否存在一点 的直角坐标方程; ,使点



轴正半轴为极轴,建立极坐标系,两

到直线 的距离最大? 若存在,求出距离最大值及点

.若不存在,请说明理由.

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 (1)当 (2)若 时,解不等式 时, ; ,求 的取值范围.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R) . (1)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的 取值范围.

22、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

-3-

已知曲线 C:

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? (a>0), 过点 P(-2, -4)的直线 的参数方程为 ?

2 t 2 2 t 2

(t 为参数), 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

-4-

2014—2015 学年第二学期期中考试 高二文科数学试卷答案 1—5 BAACD 6—10 AAACB 11—12

DB

13.(-1,1)

14.

15.

16.(1,+ )

17、 (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 或 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 解得 2
即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} (Ⅱ)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4 5分

?| a ? 1 |? 4

? a ? ?3, or

a?5

10 分

18.(Ⅰ)在患心肺疾病人群中抽 3 人,则抽取比例为

,

∴吸烟患者应该抽取

人;

4分 ;不吸烟患者 1 人,记为 c. 则从 共 3 种情况.

(Ⅱ)在上述抽取的 3 名患者中, 吸烟患者有 2 人, 记为: 3 名患者任取 2 名的所有情况为: 其中恰有 1 名不吸烟患者情况有: 、 、 、

,共 2 种情况 .

故上述抽取的 3 人中选 2 人,恰有一名不吸烟患者的概率概率为 Z(Ⅲ)∵ ,且 ,所以有

.

8分

的把握认为是否患心肺 12 分

疾病与吸烟有关系。 19、 (1) :



……5 分

-5-

(2)由题意可知

(其中

为参数)

……6 分

到 得距离为

……8 分

……10 分

此时





……11 分



.

……12 分

20、 (本小题满分 12 分,第一问 6 分,第二问 6 分)

21、解析:
-6-

( Ⅰ)

f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x ,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f ( x) 在 (0,??) 单

调递减,∴ f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点;
? 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 得

0? x?

1 1 x? ? f ( x ) ? 0 a, a, 得

? 1? ?1 ? 1 ,?? ? ? 0, ? x? ? f ( x ) f ( x ) a a ? ? ? ? a 处有极小值. ∴ 在 上递减,在 上递增,即 在

∴当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上有一个极值点. 6 分
f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? ? ?b x x (Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 ,∴ , g ( x) ? 1 ? 1 ln x



1nx ? 2 1 ln x g ' ( x) ? ? 2 2 x2 x x , 可得 g ( x) 在 0, e 上递减,在 e ,?? 上递增,

?

?

?

?



g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1 e ,即
2

b ? 1?

1 e 2 . 12 分

22、(Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0 (Ⅱ)将 直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t2-2(4+a) t+8(4+a)=0 (*)

4 分

△=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有 12 分

8分

(4+a)2-5(4+ a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0, 所以 a=1

-7-


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