当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(五)


提能专训(五) 三角恒等变换、解三角形及其应用
一、选择题 1.(2013· 安徽淮北模拟)已知 ( ) A.-8 B.8 cos 2α
? π? 2sin?α+ ? ? 4?

cos 2α

? π? 2sin?α+ ? ? 4?



5 1 ,则 tan α+ = 2 t

an α

1 C. 8

1 D.- 8

A 解题思路:∵

cos 2α-sin2α = ? 2 ? 2 2? sin α+ cos α? ?2 2 ? =cos α-sin α= 5 , 2

5 1 ∴ 1- 2sin αcos α= ,即 sin αcos α=- . 4 8
2 2 1 sin α cos α sin α+ cos α 1 则 tan α+ = + = = =- 8.故选 A. tan α cos α sin α sin αcos α 1 - 8

2.在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值 为( ) A.- 1 C. 2 2 2 B. 2 2

1 D.- 2

tan A+ tan B B 解题思路: 由 tan Atan B= tan A+ tan B+ 1, 可得 1- tan A· tan B

3π =- 1,即 tan(A+B)=- 1,又因为 A+B∈ (0,π),所以 A+B= , 4 π 2 则 C= ,cos C= . 4 2
? π? ?π ? 3. (郑州一次质量预测)已知曲线 y=2sin?x+ ? · cos? -x? 与直线 y ? 4? ?4 ?

1 = 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,?, 2 则|P→ 1P 5|等于( A.π C.3π ) B.2π D.4π

B 命题立意:本题考查三角恒等变换及向量的坐标运算,难度 较小.
?π ? 1-cos2? + x? ?π ? ?4 ? 解题思路: 由于 f(x)= 2sin2? + x?= 2× = 1+sin 2x, ?4 ? 2

1 π 5π 据题意令 1+sin 2x= ,解得 2x= 2kπ- 或 2x= 2kπ- (k∈ Z),即 x 2 6 6 π 5π ?7π 1 ? ?31π 1 ? = kπ- 或 x= kπ- (k∈ Z),故 P1? , ?,P5? , ?,因此 |P→ 1P 5| 12 12 ?12 2? ? 12 2 ? =
?31π 7π? 2 ? - ? + 0= 2π. ? 12 12?

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示 1 △ABC 的面积,若 acos B+bcos A=csin C,S= (b2+c2-a2),则∠B 4 等于( ) B.60° D.30°

A.90° C.45° C

解题思路:由正弦定理和已知条件知 sin Acos B+sin Bcos A

π 1 1 =sin2C, 即 sin(A+ B)=sin2C, ∴ sin C= 1, C= , 从而 S= ab= (b2 2 2 4 1 + c2-a2)= (b2+b2),解得 a=b,因此∠B= 45° . 4 2sin2θ+sin 2θ π 5 . (2013· 银 川 一 中 二 模 )已 知 = k,0 < θ < , 则 4 1+tan θ
? π? sin?θ- ? 的值( ? 4?

)

A.随着 k 的增大而增大 B.有时随着 k 的增大而增大,有时随着 k 的增大而减小 C.随着 k 的增大而减小 D.是一个与 k 无关的常数 2sin2θ+ sin 2θ 2sin θcos θ?sin θ+ cos θ? A 解题思路: k= = = 2sin 1+ tan θ sin θ+ cos θ π ? π? θcos θ=sin 2θ,因为 0< θ< ,所以 sin?θ- ? =- 4 ? 4? =- 1-sin 2θ =- 2
? π? 1-cos?2θ- ? ? 2? 2

1- k ? π? 为增函数,所以 sin?θ- ? 的值随着 k 的 2 ? 4?

增大而增大. 6. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 4sin2 7 -cos 2C= ,且 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为( 2 A. C. 3 3 2 3 4 B. D. 3 2 3 3 4 ) A+B 2

A 命题立意:本题主要考查余弦定理及三角形面积的求解,意 在考查考生对余弦定理的理解和应用能力.

解题思路:∵ 4sin2

A+B 7 - cos 2C= ,∴ 2[1- cos(A+ B)]- 2 2

7 7 1 2cos 2C+ 1= , 2+ 2cos C- 2cos 2C+ 1= ,cos 2C-cos C+ = 0,解 2 2 4
2 2 1 3 1 a +b - 7 得 cos C= ,故 sin C= .根据余弦定理有 cos C= = ,ab 2 2 2 2ab

=a2+b2- 7, 3ab=a2+b2+ 2ab- 7= (a+b)2- 7= 25- 7= 18, ab= 6, 1 1 3 3 3 ∴ S= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 二、填空题
?π ? 1 7.(2013· 忻州一中期中)若 sin? +α?= ,则 sin 2α=__________. ?4 ? 3



7 9

? π? ? ? π?? 解 题 思 路 : sin 2α = - cos ?2α+ ? = - cos ?2?α+ ?? = ? 2? ? ? 4??

?π ? ?1? 7 2sin2 ? +α?- 1= 2×? ? 2- 1=- . ?4 ? ? 3? 9

8.在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3 3 且 3a=2csin A,c= 7,△ABC 的面积为 ,则 a+b=________. 2 5 命题立意:本题考查解三角形的基本知识,包括三角形面积 公式、正弦定理、余弦定理等,考查考生对知识的整合能力. a 2sin A sin A 解题思路: 由 3a= 2csin A 及正弦定理得 = = , ∵ sin c sin C 3 A≠0,∴ sin C= 3 π .∵ △ ABC 是锐角三角形,∴ C= ,∴ S△ ABC 2 3

1 π 3 3 = ab· sin = , 即 ab= 6, ∵ c= 7, 由余弦定理得 a2+b2- 2abcos 2 3 2 π = 7,即 a2+b2-ab= 7,解得(a+b)2= 25,故 a+b=5. 3 9.(2013· 江西师大附中联考)有这样一道题:“在△ABC 中,已

?A+C? ? =( 2-1)cos B,求角 A.”已知该 知 a= 3,________ ,2cos 2? ? 2 ?

题的答案是 A=60° ,若横线处的条件为三角形中某一边的长度,则 此条件应为________ . c= 6+ 2 2
?A+ C? ?= ( 2- 1)cos B 得 1-cos 解题思路: 由 2cos 2? ? 2 ?

B= ( 2- 1)cos B,即 cos B=

2 ,所以 B=45° ,则 C= 180° - 45° - 2

6+ 2 a c 60° = 75° ,由正弦定理得 = ,所以 c= . sin 60° sin 75° 2 10.(2013· 山西康杰中学四校联考)已知△ABC 中,角 A,B,C tan A 2c a2 所对边分别为 a,b,c,若 1+ = ,则 的最小值为________. tan B b bc 1 解题思路:因为 A,B,C 为△ABC 的内角,角 A,B,C 所 sin B sin A + tan A tan B+ tan A cos B cos A 对边分别为 a, b, c,又 1+ = = = tan B tan B sin B cos B sin C , sin Bcos A sin C c tan A c 由正弦定理得 = ,所以 1+ = ,而 1 sin Bcos A bcos A tan B bcos A tan A 2c 1 π + = ,所以 cos A= ,又 A 为△ ABC 中的内角,所以 A= . tan B b 2 3 1 由余弦定理得 a2=b2+ c2- 2bccos A=b2+ c2- 2bc× ≥2bc-bc 2 a2 =bc.(当且仅当 b=c 时取“=”),所以 的最小值为 1. bc 三、解答题 11.(2013· 宁夏育才中学一模)如图,在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°

方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度,从 B 处向北偏 东 30° 方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船? 并求出所需时间.

解析:设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获走私船 (在 D 点), 则 CD=10 3t 海里,BD=10t 海里. 在△ABC 中,由余弦定理 ,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos A =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120° =6, ∴ BC= 6海里. BC AC 由正弦定理知 = , sin A sin ∠ABC AC· sin A 2sin 120° 2 ∴ sin ∠ABC= = = , BC 2 6 ∴ ∠ABC=45° ,∴ B 点在 C 点的正东方向上, ∴ ∠CBD=90° +30° =120° . BD CD 在△BCD 中,由正弦定理得 = , sin ∠BCD sin ∠CBD BD· sin ∠CBD 10t· sin 120° 1 ∴ sin ∠BCD= = = , CD 2 10 3t

∴ ∠BCD=30° ,∴ 缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , ∴ ∠D=30° , 6 ∴ BD=BC,即 10t= 6,∴ t= 小时≈15 分钟. 10 故缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大 约需要 15 分钟.
? ?π ?? 12. (2013· 山东淄博一模)已知向量 m=?sin?A-B?,sin? -A??, n ? ?2 ??

=(1,2sin B),m· n=sin 2C,其中 A,B, C 分别为△ABC 的三边 a,b, c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A+sin B=2sin C,且 S△ABC= 3,求边 c 的长. 解析:(1)∵ m· n=sin(A-B)+2cos Asin B =sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B), 在△ABC 中,A+B=π-C 且 0<C<π, ∴ sin(A+B)=sin C, 又∵ m· n=sin 2C, ∴ sin C=sin 2C=2cos Csin C, 1 π ∴ cos C= ,∴ C= . 2 3 (2)∵ sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得 a+b=2c, 1 3 S△ABC= absin C= ab= 3,得 ab=4, 2 4 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4c2-12, ∴ c=2. 13.(2013· 衡水二中六模)在△ABC 中,a,b,c 分别是三内角 A,

B,C 所对的三边,已知 b2+c2=a2+bc. (1)求角 A 的大小; B C (2)若 2sin2 +2sin2 =1,试判断△ABC 的形状. 2 2 b2+c2-a2 bc 1 解析:(1)b +c =a +bc, 所以 cos A= = = ,又 A 2bc 2bc 2
2 2 2

π ∈(0,π),得到 A= . 3 B C (2)∵ 2sin2 +2sin2 =1, 2 2 ∴ 1-cos B+1-cos C=1, ∴ cos B+cos C=1,
?2π ? ? π? 即 cos B+cos? -B?=1,得到 sin?B+ ? =1, ?3 ? ? 6?

2π π π 5π π π ∵ 0<B< ,∴ <B+ < ,∴ B+ = , 3 6 6 6 6 2 π ∴ B= ,∴ △ABC 为等边三角形. 3 14.(2013· 辽宁大连一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B, C 的对边,4sin2 B+C 7 -cos 2A= . 2 2

(1)求∠A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b,c 的值. B+C π A 解析:(1)∵ B+C=π-A,即 = - , 2 2 2 由 4sin2 B+C 7 -cos 2A= , 2 2

A 7 得 4cos 2 -cos 2A= , 2 2

7 即 2(1+cos A)-(2cos 2A-1)= , 2 整理得 4cos 2A-4cos A+1=0,即(2cos A-1)2=0. 1 ∴ cos A= ,又 0° <A<180° ,∴ A=60° . 2 b2+c2-a2 b2+c2-a2 (2)由 A=60° ,根据余弦定理 cos A= ,得 = 2bc 2bc 1 , 2 ∴ b2+c2-bc=3,① 又 b+c=3,② ∴ b2+c2+2bc=9.③ ①-③得 bc=2.④
? ? ?b =1, ?b =2, 解②④得? 或? ?c=2 ?c=1. ? ?


相关文章:
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(五)
提能专训(五) 三角恒等变换、解三角形及其应用一、选择题 1.(2013· 安徽淮北模拟)已知 ( ) A.-8 B.8 cos 2α ? π? 2sin?α+ ? ? 4? cos 2...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(六)
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(六)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(六)_数学...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(七)
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(七)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(七)_数学...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(八)
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(八)_数学_高中教育_教育专区。提能专训(八) 一、选择题 与数列交汇的综合问题 1.(2013· 石家庄市一模)已知等比数列...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(二十一)
提能专训(二十一) 坐标系与参数方程(选修 4- 4) 1.(2013· 福建省毕业班质检)如图,在极坐标系中,圆 C 的圆心 坐标为(1,0),半径为 1. (1)求圆 C...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(二十)
提能专训(二十) 几何证明选讲(选修 4-1) 1.(2013· 哈尔滨高考质检)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB,CD 是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE 交 CD 于 E,...
2014高考数学(理科专用)名师指导提能专训(二十二)
提能专训(二十二) 2≤x≤1}. (1)求 a 的值; 不等式选讲(选修 4-5) 1 .已知 f(x) = |ax + 1|(a ∈ R) ,不等式 f(x)≤3 的解集为 {...
2014高考数学(理)名师指导提能专训5 三角恒等变换、解三角形及其应用]
2014高考数学()名师指导提能专训5 三角恒等变换、...提能专训(五) 三角恒等变换、解三角形及其应用一...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考理科数学新课...
2014高考数学(理)名师指导提能专训19 导数的综合应用]
2014高考数学()名师指导提能专训19 导数的综合应用...3.(2013· 哈尔滨第九中学第五次月考 )已知定义...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考理科数学新课...
2014高考数学(理)名师指导提能专训1 集合与常用逻辑用语]
2014高考数学()名师指导提能专训1 集合与常用逻辑...·辽宁五校高三年级考试 ) 已知集合 A = 2x-y+...2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考理科数学新课...
更多相关标签:
高中视频教学理科名师 | 名师指导 | 名师现场进行指导 | 作文名师指导 | 趣味作文名师指导 | 名师工作室指导思想 | 最佳阵容 名师指导 | 小学数学竟赛名师指导 |