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立体几何练习题


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立体几何
一.选择题 1. 某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )

A. 圆柱

B. 圆锥

C. 四面体

D. 三棱柱

2. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的

个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

3. 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

4 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的 表面积是 A. 90 cm
2

B. 129 cm

2

C. 132 cm

2

D. 138 cm

2

5. 一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(



1

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6 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.54 B.60 C.66 D.72 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ?



? C. 8 ? 2

? D. 8 ? 4

8.石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最 大球的半径等于( A.1 B.2 ) C.3 D.4

2

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9.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为

(A) 21? 3

(B) 18 ? 3

(C)21

(D)18

10. 在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是( 0,0,2 ) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图 和俯视图分别为( )

3

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A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

11.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ? , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂足, CD ? ? , C ? l ,

?ACD ? 135? ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为
( A. )

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2


12. 已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

13. 若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l 4 ,则下列结论一定 正确的是 A. l1 ? l4 不确定 14、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围 是( ) B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系

A1

D1

B1

C1 P C

D
6 ,1] B、 [ 3
D、 [

3 ,1] A、 [ 3
C、 [

A

O

B

6 2 2 , ] 3 3

2 2 ,1] 3

15.已知底面边长为 1,侧棱长为 2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积

4

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为(



A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3

16.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积 为 A. ( ) B. 16? C. 9? D.

81? 4

27? 4

17.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有 (A)24 对 (B)30 对 (C)48 对 (D)60 对 18.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有 系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成 一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ? 际上是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? 积公式中的 ? 近似取为( A. ) C.

1 2 L h. 它实 36

2 2 L h 相当于将圆锥体 75 355 113

22 7

B.

25 8

157 50

D.

19 .如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱, Pi (i ? 1,2,...) 是上
底 面 上 其 余 的 八 个 点 , 则 AB? AP i (i ? 1,2...) 的 不 同 值 的 个 数 为 (
? ?



(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

20 .在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? , D 1,1, 2 , 若 S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形 的 面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

?

?

5

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21.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )

A. D.

1 10

B. 2

5

C.

30 10

2 2

22 .如右图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =11, AD =7, AA1 =12,一质点从顶点 A 射向点 E ? 4, ,将 i ? 1 次到第 i 次反射点 312 , ? ,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理) 之间的线段记为 Li ? i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上, 则大致的图形是( )

二.填空题 1. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且
S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2

.

2 .三棱锥 P ? ABC 中, D , E 分别为 PB , PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 ,

P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

6

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3 .已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_______ m .
2

3

4

2 4

2 4

正视图
4 、底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC , 其表面展开图是三角形

侧视图

p1 p2 p3 ,如图,求△ p1 p2 p3 的各边长及此三棱锥的体积 V .
俯视图

5 (2014 上海)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用 反三角函数值表示) 。 三.解答题 1.如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,D , E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PA ? AC , PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5. 求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC .

P

D

A F

E B (第 16题)

C

2 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形, ?DAB ? 60 ,

AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.
7

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(Ⅰ)求证: C1M // A 1 ADD 1; (Ⅱ) 若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 ? 3 , 求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐 角)的余弦值.

3. 如图, 正方形 AMDE 的边长为 2,B, C 分别为 AM , MD 的中点, 在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

8

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4.

如图(19) ,四棱锥 P ? ABCD ,底面是以 O 为中心的菱形, PO ? 底面 ABCD ,

AB ? 2, ?BAD ?

?
3 , M 为 BC 上一点,且

BM ?

1 , MP ? AP 2 .

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值。

5. 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 , AB ? BCD, CD ? BD .将 ? ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图. (1)求证: CD ? CD ; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

9

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6.四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分

DC, CA 于点 F , G, H. 别交四面体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值.

10

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7.如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, A1A ? 底面 ABCD. 四边形 ABCD 为梯形, AD∥BC, 且 AD=2BC. 过 A1,C,D 三点的平面记为 ? ,BB1 与 ? 的交点为 Q.

(I)证明:Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 ? 与底面 ABCD 所成二面角的大 小.

7. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

11

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8.如图三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 BB 1C1C 为菱形, AB ? B 1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

12


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