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11.1


11.1 随机事件的概率

随机事件的概率,一般可以通过大量重复试验求得其近 似值.但这种重复试验次数多,又复杂。对于某些随机事件, 也可以不通过重复试验,而只通过对一次试验中可能出现的 一次试验 结果的分析来计算其概率. 例如:① 掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有: 正面向上, 反面向上 这2个.

由于硬币是均匀的,可以认为出现这2种结果的可能性是相等 的.即可以认为出现“正面向上”的概率是0.5 ,出现“反面 向上”的概率也是0.5.这与大量重复试验的结果是一致的. 又如:② 抛掷一个骰子,它落地时向上的数的可能是

1, 2, 3, 4 , 5,

6

之一,

即可能出现的结果有 6 种.由于骰子是均匀的,可以认为 这 6 种结果出现的可能性都相等,即出现每一种结果的概率 都是1/6 .这种分析与大量重复试验的结果也是一致的.

1. 等可能性事件的意义:
( 1 )对于每次随机试验来说,只可能出现有限个 不同的试验结果. ( 2 )对于上述所有不同的试验结果,它们出现的 可能性是相等的. 对于满足上面特点的随机事件叫做等可能性事件: 对②进一步问:骰子落地时向上的数是3的倍数的概 率是多少? 由于向上的数是3,6这2种情形之一出现时,“向上 的数是3的倍数”这一事件(记作事件A)发生,因此 事件A的概率 2 1 . P(A)= = 3 6

2.等可能性事件的概率的计算方法
(1)一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基 本事件.通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.
( 2 )如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试 验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都 1 相等,那么每一个基本事件的概率都是 .如果某个 n 事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率

m P( A) ? . n

在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个 集合I,这n个结果就是集合I的n个元素.各基本事 件均对应于集合I的含有1个元素的子集,包含m个 结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A. 从集合角度看,事件A的概率可解释为子集A的元素 个数与集合I的元素个数的比值,

card ( A) m P ( A) ? ? 即: card ( I ) n

等可能性事件的概率可以用上面的公式计算. 例如:上面掷一个骰子落地时向上的数是3 的倍数 这一事件A的概率 card ( A) 2 1 ? ? P ( A) ? card ( I ) 6 3

计算等可能性事件的概率的一般步骤 :

(l)计算所有基本事件的总结果数n.
(2)计算事件A所包含的结果数m.
m (3)计算 P ( A) ? n

⑷答

事件A包含基本事件数m card ( A) m P( A) ? ? ? card ( I ) n 基本事件总数n

例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3 个黑球,从中摸出2个球. (1)共有多少种不同的结果? (2)摸出2个黑球有多少种不同的结果?

(3)摸出2个黑球的概率是多少?
解(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球,共有:
2 C4 ?6

答:共有6种不同的结果.
2 C (2)从3个黑球中摸出2个球,共有: 3 ? 3

答:从口袋中摸出2个黑球有3种不同的结果.

(3)由于口袋内4个球的大小相等,从中摸出2个球 的6种结果 是等可能的,又在这 6种结果中,摸出2个黑球的结果有3种所以 从中摸出2个黑球的概率:P ( A) ? 3 ? 1 . 6 2 1 答:从口袋中摸出2个黑球的概率是 .

2

例3 将骰子先后抛掷2次.计算: (1)一共有多少种不同的结果?

(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的数之和是5的概率是多少? 解:(1)将骰子抛掷1次,它落地时向上的数有6种结果. 根据分步计数原理,先后将这种玩具抛掷2次,一共有: 6×6=36 种不同的结果. (2)在上面的结果中,向上的数之和是5的结果有: (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 4种.

(3)由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果是等可能 出现的,记“向上的数之和是5”为事件A,则: P( A) ? 4 ? 1 . 36 9

例3 将骰子先后抛掷2次.计算: (4) 出现向上的数之和为5的倍数的概率是多少? 分析:出现向上的数之和为 5的倍数,就是和为 5或 10 .其中 和为5的结果有4种,和为10的结果有3种.总之,出现向上的 数之和为5的倍数的结果有7种. 7 所以,出现向上的数之和为5的倍数的概率是 36 . 1 (5) 出现向上的数是3的倍数的概率是多少? 3 (6) 出现向上的数之和为几的概率最大? 7 (7) 至少出现一次5或6的概率? 思考: 1“将骰子先后抛掷2次”改为3次的数都不出现6的概率呢?
53 125 P ( A) ? 3 = 6 216

5 9

2“将骰子先后抛掷2次”改为3次的数各不相同的概率呢?
P( B) ? 6? 5? 4 5 = 63 9

2 “将骰子先后抛掷2次”改为同时抛掷2次?

课本练习: 1
1.

答:

(3) 2 ? 1 . 4 2

例4 在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取2 件,计算: (1)2件都是合格品的概率;(2)2件都是次品的概率; (3)l件是合格品,1件是次品的概率. 2 解:从100件产品中任取2件,可能出现的结果为 C100 种. 由于是任意抽取,这些结果出现的可能性都相等 .
2 (l)从95件合格品中取到2件的结果为 C 95 种,记“任取2件都是 2 C95 合格品”为事件A1,则 893

P ( A1 ) ?

C

2 100

?

990
.

.

2 (2)从5件次品中取到2件的结果为 C5 种,记“任取2件都是次 2 C 品”为事件A2 ,则 5 1

495 C 1 C (3)取到1件合格品、1件次品的结果为 C1 种,记“任取2件,l 95 5 件是合格品,l件是次品”为事件 A3 ,则 1 1 C95C5 19 P ( A3 ) ? 2 ? . 198 C100

P ( A2 ) ?

2 100

?

例5 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码,每位上的数字可在 0到9这十个数字中选取. (l)使用储蓄卡时,如果随意按下一个四位数字号码,正好 按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少? (2)某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字,他在使用这 张卡时如果前三位号码仍按本卡密码,而随意按下密码的最后 一位数字,正好按对密码的概率是多少? 解:(1)由于储蓄卡的密码是一个四位数字号码,且每位上的数 字有0到9这10种取法.根据分步计数原理,这种号码共有 10 4 个. 又由于随意按下一个四位数字号码,按下其中哪一个号码的可能性 1 都相等. 所以正好按对这张储蓄卡的密码的概率 P . 1 ? 4 10 (2)按四位数字号码的最后一位数字,有10种按法.

由于最后一位数字是随意按下的,按下其中各个数字的可能性相等. 1 P ? . 所以按下的正好是密码的最后一位数字的概率 2 10

3 解: ( 1 )有 A3 ? 6 种不同的排列方法 .
3 A3 (2 )有 ? 3 种不同的排列方法 . 2 3?1. ( 3 )甲排在乙之前的概率是 6 2

解:记“取到长度超过30 mm 的纤维”为事件A

则 P( A) ? 12 ? 3 . 40 10

解: P ( A) ? 2 ? 1 .

4

2

解:

P ? 13 ? 1 . A3 6





⒈等可能性事件的概率是一种特殊的概率模型——古典概率,它 的特点是:
①对于每次随机试验来说,只可能出现有限个不同的结果;

②对于上述所有不同的试验结果,它们出现的可能性是相等的;
③由于上述两条,求事件的概率可以不通过大量的重复试验,而 只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可. m ⒉P(A)= n 既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概 率的基本方法,使用这个公式的关键在于正确地求出m和n的值.

⒊事件及其概率可以从集合的角度来理解.

作 业:
习题 11.1 1~ 6

习题 11.1

1

2 1 ? 20 10

1 4 4 1 ? 1000 250 1 6


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