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2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套讲义:专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型


高考导航 圆锥曲线是平面解+析几何的核心部分,也是每年高考必考的一道解 答题,常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问 题为主.这些试题的命制有一个共同的特点,就是起点低,但在第(2)问或第(3)问 中一般都伴有较为复杂的运算, 对考生解决问题的能力要求较高, 通常作为压轴 题的形式出现. 热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重 点,求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型. x2 y2 【例 1】 (1)(2015· 天津卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2, 0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( x2 y2 A. 9 -13=1 x2 C. 3 -y2=1 x2 y2 B.13- 9 =1 y2 D.x2- 3 =1 ) x2 y2 (2)若点 M(2,1),点 C 是椭圆16+ 7 =1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则|AM| +|AC|的最小值为________. x2 y2 (3)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)与抛物线 y2=2px(p>0)有相同的焦点 F, P, Q是 x2 y2 椭圆与抛物线的交点, 若直线 PQ 经过焦点 F, 则椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心 a b 率为________. x2 y2 解+析 (1)双曲线a2-b2=1 的一个焦点为 F(2,0), 则 a2+b2=4,① b 双曲线的渐近线方程为 y=± ax, 1 由题意得 2b = 3,② a2+b2 联立①②解得 b= 3,a=1, y2 所求双曲线的方程为 x2- 3 =1,选 D. (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M(2,1)在椭圆内,那么|BM| + |AM|+ |AC|≥|AB|+ |AC|= 2a,所以|AM|+ |AC|≥2a - |BM|, 而 a=4,|BM|= (2+3)2+1= 26,所以(|AM|+|AC|)最小= 8- 26. ?p ? (3)因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 为?2,0?,设椭圆另一焦 ? ? p 点为 E.如图所示,将 x=2代入抛物线方程得 y=± p,又因为 PQ ?p ? 经过焦点 F,所以 P?2,p?且 PF⊥OF. ? ? 所以|PE|= ?p p?2 ?2+2? +p2= 2p, ? ? |PF|=p,|EF|=p. 2c 故 2a= 2p+p,2c=p,e=2a= 2-1. 答案 (1)D (2)8- 26 探究提高 (3) 2-1 (1)在椭圆和双曲线中,椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦 点的距离联系在一起, 可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点 的距离,也可以结合三角形的知识,求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物 线中, 利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再利用 数形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数 之间的关系, 或者求出圆锥曲线方程中的各个系数, 再根据圆锥曲线的几何性质 通过代数方法进行计算得出结果. x2 y2 【训练 1】 (2017· 衡水金卷)已知椭圆 4 + 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,以下结论:①△ABF2 的周长 2 8 为 8;②原点到 l 的距离为 1;③|

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