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高一考试试题卷及答案


安阳一中 2015-2016 第一学期第一阶段考试 高一数学试题卷 命题人 :朱立军审题人:李学涛
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 0 A. x x ? 0 C. x x ? ?1 2. 函数 f ? x ? ?

/>?

?, B ? ?y

y ? 2x

? ,则 A ? B =

(

)

?

?

B. x x ? 1 D. ?

?

?

?

?

x?2 ?

A. ?2,??? B.

?x x ? R, x ? 3?

1 的定义域是 x?3

(

)

C. ?2,3? ∪ ?3,???

D. ?2,3? ∪ ?3,??? )

3.下列各组中的函数 f ( x) 与 g ( x) 相等的是 ( A.

f ( x) ? x , g ( x) ? ( x ) 2 B. f ( x) ? x 0 , g ( x) ? x
x
2

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 C. f ( x) ? x , g ( x) ? x D. f ( x) ? x ?1
4.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列 结论正确的是 A. f ( x ) g ( x) 是偶函数 B.| f ( x ) | g ( x) 是奇函数 C. f ( x ) | g ( x) |是奇函数 D. | f ( x ) g ( x) |是奇函数
? 5. 设 集 合 U ? x 0 ? x ? 10, x ? N

(

)

?

?,若

A ? B ? ?2,3? ,

A ? CU B ? ?1,5,7? ,
( )

CU A ? CU B ? ?9?,则集合 B =
A. {2,3,4} B. {2,3,4,6}

C. {2,4,6,8} 6.若函数

D. {2,3,4,6,8} ( )

f ( x) ? a x2 ? x ? a ?1 在 (??, 2) 上单调递减,则 a 的取值范围是
1? 4? ? 1? ? 4?

A. ? 0, ? B. ?0, ? C.

? ?

?2, ???

D.

? 1? 0, ? ? 2? ?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 7.设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是() ? x ? 6, x ? 0
A. (?3,1) ? (2,??) B. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3) 8.已知

f ?x? ? 2 x ? 2 ? x , 若 f ?a ? ? 3, 则 f ?2a ? ? ()
C. 7 D. 5 )

A. 11 B. 9

9. f ( x ) 是偶函数,在 (0, ??) 内是减函数,又 f (?3) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集( A. x | ?3 ? x ? 0或x ? 3 C.

?

?

B. D.

?x | x ? ?3或x ? 3? ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3?
满 足 对 任 意 x1 ? x2 , 都 有

?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?
?a x ( x ? 0)

10. 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? (a ? 3) x ? 4a( x ? 0)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 a 的范围是 x1 ? x2
A. (0, ] B. (0,1) C. [ ,1) D. (0, 3) 11.已知函数 设 H1

(

)

1 4

1 4

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8.

? x? ? max ? f ? x? , g ? x??, H2 ? x? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中 ? p, q? 表示 p, q 中的较小值 ? ,记 H1 ? x ? 的最小值为 A, H2 ? x ? 的最小
?
D. a 2 ? 2a ? 16 ( )

的较大值, min

值为 B ,则 A ? B

A. ?16 B. 16 C. a 2 ? 2a ? 16

12. 函 数

f ( x ) 在 [ a, b] 上 有 定 义 , 若 对 任 意

x1 , x2 ?[a, b]

, 有

f(

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f ( x ) 在 [ a, b] 上具有性质. P 设 f ( x ) 在 [1,3] 上 2 2

具有性质 P ,现给出如下命题: ① f ( x ) 在 [1,3] 上的图像是连续不断的;②

f ( x2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P ;

③若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x) ? 1 , x ? [1, 3] ; ④对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ?[1,3] , 有 f(

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] . 2 4
) B.①③ C.②④ D.③④

其中正确的序号是( A.①②

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分
13.函数

f ( x) ? a x?1 ? 3 ? a ? 0, a ? 1? 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是_______.

14.已知 y

? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ?

f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? .

15.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x ) =________________.

1 16 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 减 函 数 , 且 满 足 f ( ) ? 1 , 3
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,则 x 的取值范围为__________.

三、解答题:写出必要的文字说明、证明过程或演算过程
17.(本小题 10 分)设全集 U ? R ,集合 A ?

?x x

2

? 2x ? 3 ? 0

?, B ? ?x 0 ? x ? 4?,

C ? ?x a ? x ? a ? 1?。
(1)求 A ? B , (CU A) ? (CU B) ; (2)若 C ? ( A ? B) 求实数 a 的取值范围.

18. (本小题 12 分) 用单调性定义证明: 函数

f ( x) ? 3x ? x3 在 ? ??, ??? 上是增函数.

19. (本小题 12 分)设 f ( x) ?

9x , 9x ? 3

(1)若 0 ? a ? 1 ,求 f (a) ? f (1 ? a) 的值;

1 2 3 999 (2)求 f ( )? f( )? f( ) ?? f ( ) 的值. 1000 1000 1000 1000
20. (本小题 12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器

ì 1 ? ? 400 x - x 2 , 0 #x 400 ? 需要增加投入 100 元,已知总收益满足函数: R( x) = í ,其中 2 ? ? x > 400 ? ? 80000,

x 是仪器的月产量.
(1)将利润 y 元表示为月产量 x 台的函数; (2) 当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润是多少? (总收益=总成本+利润) . 21 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 且 对 任 意 a, b ? R , 都 有

x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立。 ,且当 f ( a ? b) ? f ( a) ? f ( b )
(1)判断函数 y ? f ( x) 在 R 上的单调性,并证明。 (2)讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (3)若

f ( x 2 ? 2) ? f ( x) ? 0 ,求 x 的取值范围.

22. (本小题 12 分)已知二次函数 有唯一的交点 (?1,0) 。 (1)求 f ( x) 的表达式;

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象过点 (0,1) 且与 x 轴

(2)在(1)的条件下,设函数 F ( x) ? f ( x) ? mx ,若 F ( x)在区间 [?2, 2] 上是单调函 数, 求实数 m 的取值范围; (3) 设函数 g ( x) ? f ( x) ? kx, x ?[?2, 2] , 记此函数的最小值为 h(k ) , 求 h(k ) 的解析式.

安阳一中 2015-2016 第一学期第一次阶段考试 高一数学 参考答案
一、选择题: BCBCDBBCDA 二、填空题 13.(1,4) 14. ?1 15. ? 三、解答题
17.解: (1) A ? (?1,3) , A ? B ? (?1,4] ; (CU A) ? (CU B) ? (??,?1] ? (4,??) (2)可求 A ? B ? (0,3) ? C ? ( A ? B)

AD

x ( x ? 1) 2

16. 1 ?

2 2 2 2 ? x ? 1? 3 3

? a?0 ?? ?0?a?2 ?a ? 1 ? 3

故实数 a 的取值范围为: 0 ? a ? 2 。

18.证明函数的单调性:任取 x1 , x2 ?

? ??, ?? ? , x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 3x1 ? x13 ? ? ? 3x2 ? x23 ? ? ? 3 x1 ? 3 x2 ? ? ? x13 ? x23 ? ? 3 ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x12 ? x1 x2 ? x2 2 ?
2 ?? x2 ? 3 2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? x ? x1 x2 ? x2 ? 3? ? ? x1 ? x2 ? ?? x1 ? ? ? x2 ? 3? 2? 4 ? ? ?? ?
2 1 2

x2 ? 3 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 又 ? ? x1 ? ? ? 0, x2 ? 0 ? 2? 4 x ? 3 ? ?? x1 ? 2 ? ? x2 2 ? 3 ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 即f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2? 4 ?
2

2

? f ? x ? 在? ??, ??? 上是增函数

9 a a 9a 91?a 9 ? 1?a ? 9 19.解析:(1) f (a) ? f (1 ? a) = a = a 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9a
=

9a 9 9a ? 3 ? = =1 9a ? 3 9 ? 3 ? 9a 9 a ? 3
1 2 3 999 (2 f ( )? f( )? f( ) ?? f ( ) 1000 1000 1000 1000

1 999 499 501 1 1 999 [f( )? f( )] ? ? ? [ f ( )? f( )] ? f ( ) =499×1+ ? 1000 1000 1000 1000 2 2 2
20.解: (1)由题设,总成本为 20000 ? 100 x ,

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 则y?? 2 ? x ? 400 ?60000 ? 100 x,
(2)当 0 ? x ? 400 时, y ? ? 当 x ? 300 时, ymax

1 ( x ? 300) 2 ? 25000 , 2

? 25000 ;

当 x ? 400 时, y ? 60000 ? 100 x 是减函数, 则 y ? 60000 ? 100 ? 400 ? 20000 ? 25000 . 所以,当 x ? 300 时,有最大利润 25000 元. 21.(1)证明:设 x1 ∴

? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ?

f (a) ? f (b)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ((x1 ? x2 ) ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

又当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数 (2)解:由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。

(3)解:由

f ( x 2 ? 2) ? f ( x) ? 0 得 f ( x 2 ? 2) ? ? f ( x)

又 y ? f ( x) 是奇函数 即

f ( x 2 ? 2) ? f (?x) 又 y ?

f ( x) 在 R 上是减函数

所以 x 2 ? 2 ? ? x 解得 x ? 1 或 x ? ?2 22、 解: (1)依题意得 c ? 1 , ?

b ? ?1 , b 2 ? 4ac ? 0 2a

解得 a ? 1 , b ? 2 , c ? 1 ,从而 (2) F ( x) ? x (3) F ( x) ? 当
2

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ;
2
或m ? 6

? (2 ? m) x ?1 m ? 2 ? ?2 或 m ? 2 ? 2 , m ? ?2
2 2

x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 ,对称轴为 x ? k ? 2 ,图象开口向上

k ?2 ? ?2 即 k ? ?2 时, F ( x) 在 [?2,2] 上单调递增, 2

此时函数 F ( x ) 的最小值 h(k ) ? F (?2) ? 2k ? 1 当? 2 ?

k ?2 k ?2 k ?2 ? 2 即 ? 2 ? k ? 6 时, F ( x) 在 [ ?2, ] 上递减,在 [ ,2] 上递增 2 2 2

此时函数 F ( x ) 的最小值 h(k ) ? F ( 当

k ?2 k 2 ? 4k )?? ; 2 4

k ?2 ? 2 即 k ? 6 时, F ( x) 在 [?2,2] 上单调递减, 2

此时函数 F ( x ) 的最小值 h(k ) ? F (2) ? 9 ? 2k ;

2k ? 1, k ? ?2 ? ? 2 ? k ? 4k , ?2 ? k ? 6. 综上,函数 F ( x ) 的最小值 h(k ) ? ? ? 4 ? ? ?9 ? 2k , k ? 6


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