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5. 2013年全国高中数学联赛吉林预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛吉林省预赛
一.选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() . (A) 2π ? 3π

高中竞赛

8 (B) π 3
2

(C) 4 π ?

2 3 π

3

(D) 2 π ?

3 π 3

2

2 2 正(主)视图 2.

2 2 侧(左)视图 俯视图

π? π? ? ? 已知函数 f ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? (? > 0) 的最小正周期为 π ,则 ? 的值为() . 3? 6? ? ?

(A) 4 3.

(B) 2

(C)

1 2

(D)

1 4

1]) ,则“ a ? 2b > 0 ”是“ f ( x) > 0 恒成立”的() 已知函数 f ( x) ? ax ? b ( x ? [0 , .

(A)充分非必要条件 (C)充要条件 4.

(B)必要非充分条件 (D)既不是充分条件,也不是必要条件

若函数 y ? f ( x) 图像上的任意一点 P 的坐标 ( x ,y ) 满足条件 x 那么下列函数中具有性质 S 的是() . (A) f ( x) ? e x ? 1 (C) f ( x) ? sin x

> y ,则称函数 f ( x) 具有性质 S ,

(B) f ( x) ? ln( x ? 1) (D) f ( x) ? tan x

5.

在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有 1 点和 6 点,2 点和 5 点, 3 点和 4 点) .开始时,骰子如图 1 那样摆放,朝上的点数是 2,最后翻动到如图 2 所示位置.现要 求翻动次数最少,则最后骰子朝上的点数为 3 的概率为( (A) ) (D)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

1 6

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中竞赛
6. 7.

预赛试题集锦(2014)

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)
π? π ? 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ?) ( A >0) 在 ? 0 , ? 上是减函数,则 ? 的最大值是_______. 8? 4 ?
?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 ? ,AC ? 2 , SB ? 29 . 三棱锥 S ? ABC 中, 则直线 SC 与 AB BC ? 13 ,

所成角的余弦值为_______. 8. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a > b > 0) 的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ,若菱形 ABCD 的内切圆半径等于椭圆 a 2 b2

9.

6 ,则椭圆的离心率为_______. 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 设 a 、b 为两个非零向量,且 a ? 2 , a ? 2b ? 2 ,则 a ? b ? b 的最大值是_______.

焦距的

10. 对于数列 {an } ,如果存在一个数列 {bn } ,使得对于任意的 n ? N? ,都有 an ≥ bn ,则把 {bn } 叫做 {an } 的 “弱数列” . 设 an ? n3 ? n2 ? 2tn ? t 2 ,bn ? n3 ? 2n2 ? n ? 则实数 t 的取值范围是_______. 11. 圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形(实线所示,正方形的顶点

5 ,(n ? N? ) , 且 {bn } 是 {an } 的 “弱数列” , 4

A 与点 P 重合)沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过
的路径的长度为_______________.
D D C A (P) A B C

三.解答题(第 12 题 15 分,第 13、14、15 题每题 25 分,共 90 分)
2 ? an ? 2Sn ? 0 , cn ? anbn , 12. 已知正数数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

2bn ? bn?1 ? 0 (n ≥ 2 , n ? N* ), (2)若 b1 ? 1, 求:数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ;
(3)是否存在整数 m 、M ,使得 m <Tn < M 对任意正整数 n 恒成立,且 M ? m ? 4 ?说明理由. 13. 已知 a 、b 、c 分别为 △ ABC 三个内角 A ,B ,C 的对边, b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (1)求证 A ,B ,C 成等差数列; (2)若 b ? 3 ,求 2a ? c 的最大值.

2

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能力的飞跃

预赛试题集锦(2014)
3 14. (1)已知 0 ≤ x ≤1 ,求证: x ? ≤ 2x4 ≤ 2x ; 8

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(2)已知 x ,y ,z ≥ 0 且 x ? y ? z ? 1 ,求 f ( x ,y ,z) ? 2x4 ? y 2 ? z 的最大值和最小值. 15. 求方程 x3 ? y3 ? x2 y 2 ? ( x ? y)2 z ? 0 的所有非负整数解.

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3


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