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对数与对数函数导学案


学案 8

对数与对数函数

导学目标: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自 然对数或常用对数, 了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念, 理解对数函数的 x 单调性与函数图象通过的特殊点, 知道指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0, a≠1),体会对数函数是一类

重要的函数模型.

自主梳理 1.对数的定义 如果________________, 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作__________, 其中____ 叫做对数的底数,______叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1) ①a
loga N

=____;

② loga 1 =____; ④ loga a =____.

③ loga a N =____;

(2)对数的重要公式 ①换底公式:logbN=________________(a,b 均大于零且不等于 1); ② loga b =

1 ,推广 loga b ? logb c ? logc d =________. logb a

(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=___________________________; M ②loga =______________________; N ③logaMn=__________(n∈R); n n ④ logam M = logaM. m 3.对数函数的图象与性质 a>1

0<a<1

图 象

性 质

(1)定义域:______ (2)值域:______ (3)过点______,即 x=____时,y=____ (4)当 x>1 时,______ (5)当 x>1 时,______ 当 0<x<1 时,______ 当 0<x<1 时,______ (6)是(0,+∞)上的 (7)是(0,+∞)上的 ______函数 ______函数

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数____________互为反函数, 它们的图象关于直线______对称. 自我检测 1.(2010· 四川)2log510+log50.25 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 1 1 a b 2.(2010· 辽宁)设 2 =5 =m,且 + =2,则 m 的值为 ( ) a b A. 10 B.10 C.20 D.100 1 ?x 3.(2009· 辽宁)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=? ?2? ;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 f(2+log23)的值为 ( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 24 12 8 8 1 4 . (2010· 安庆模拟 ) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在 [0 ,+∞ ) 上递增, f( ) = 0 ,则满足 3 ( ) f (log1 x) >0 的 x 的取值范围是
8

1 B.(0, )∪(2,+∞) 2 1 1 1 C.(0, )∪( ,2) D.(0, ) 8 2 2 5. (2011· 台州期末)已知 0<a<b<1<c, m=logac, n=logbc, 则 m 与 n 的大小关系是______. A.(0,+∞)

探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算:(1) log 2 ?
3

(2 ? 3 ) ;

1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 x-y (3)已知 2lg =lg x+lg y,求 log( 3? 2 2

2)

x . y

变式迁移 1 计算: 7 1 (1)log2 +log212- log242-1; 48 2 2 (2)(lg 2) +lg 2· lg 50+lg 25.

探究点二 含对数式的大小比较 例 2 (1)比较下列各组数的大小. 2 6 ①log3 与 log5 ; 3 5 ②log1.10.7 与 log1.20.7. 1 1 1 (2)已知 log b<log a<log c,比较 2b,2a,2c 的大小关系. 2 2 2

变式迁移 2 (1)(2009· 全国Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 1 1 (2)设 a,b,c 均为正数,且 2a= log 1 a ,( )b= log 1 b ,( )c=log2c,则 2 2
2 2

(

)

(

)

A.a<b<c C.c<a<b 探究点三 对数函数的图象与性质 例3

B.c<b<a0 D.b<a<c

1 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2]都有|f(x)|≤1 成立,试 3 求 a 的取值范围.

变式迁移 3 (2010· 全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的 取值范围是 ( ) A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)

分类讨论思想的应用 例 (12 分)已知函数 f(x)=loga(1-ax)(a>0,a≠1). (1)解关于 x 的不等式:loga(1-ax)>f(1); (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是 f(x)图象上的两点,求证:直线 AB 的斜率小于 0. 【答题模板】 (1)解 ∵f(x)=loga(1-ax), ∴f(1)=loga(1-a).∴1-a>0.∴0<a<1. ∴不等式可化为 loga(1-ax)>loga(1-a). x x ? ? ?1-a >0, ?a <1, ? ? ∴ ,即 x ∴0<x<1. x ?a >a. ?1-a <1-a. ? ? ∴不等式的解集为(0,1).[4 分]
2 (2)证明 设 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)= log a (1 ? a ) - loga (1 ? a x1 ) = loga

x

∵1-ax>0,∴ax<1. ∴a>1 时,f(x)的定义域为(-∞,0);[6 分] 0<a<1 时,f(x)的定义域为(0,+∞). x x 当 0<a<1 时,∵x2>x1>0,∴ a 2 < a 1 . ∴

1 ? a x2 . 1 ? a x1

1 ? a x2 1 ? a x2 log >1. ∴ <0. a 1 ? a x1 1 ? a x1

∴f(x2)<f(x1),即 y2<y1. 同理可证,当 a>1 时,也有 y2<y1.[10 分] y2-y1 综上:y2<y1,即 y2-y1<0.∴kAB= <0. x2-x1 ∴直线 AB 的斜率小于 0.[12 分] 【突破思维障碍】

解决含参数的对数问题,不可忽视对底数 a 的分类讨论,即 a>1 或 0<a<1,其次要看定 义域,如果将函数变换,务必保证等价性. 1.求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤: (1)确定定义域; (2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数 y= f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函 数,即“同增异减” . 2.用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如,比较 logaf(x)与 logag(x)的大小, 其中 a>0 且 a≠1.

①若 a>1,则 logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若 0<a<1,则 logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x). (2)同真数的对数值大小关系如图: 图象在 x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即 0<c<d<1<a<b. 3.常见对数方程式或对数不等式的解法 (1) 形 如 logaf(x) = logag(x)(a>0 且 a ≠ 1) 等 价 于 f(x) = g(x) , 但 要 注 意 验 根 . 对 于

? f ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? 0, ? ? logaf(x)>logag(x)等价于 0<a<1 时, ? g ( x ) ? 0, a>1 时, ? g ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? g ( x ); ? f ( x ) ? g ( x ). ? ?
(2)形如 F(logax)=0、F(logax)>0 或 F(logax)<0,一般采用换元法求解.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1.(2010· 北京市丰台区高三一调)设 M={y|y=( )x,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈ 2 (0,1]},则集合 M∪N 等于 ( ) A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1) 1 2.(2010· 全国Ⅰ)设 a=log32,b=ln 2,c=5- ,则 ( ) 2 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a log x,x>0, ? ? 2 3.(2010· 天津)若函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 ?log2?-x?,x<0, ?

( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 4.(2011· 济南模拟)设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x, 则有 ( ) 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3 5.(2011· 青岛模拟)已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和 为 loga2+6,则 a 的值为 ( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 2 4 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 2 6.2lg 5+ lg 8+lg 5· lg 20+lg22=________. 3 ax+a-2 7.(2011· 湖南师大附中检测)已知函数 f(x)=lg 在区间[1,2]上是增函数,则实数 x a 的取值范围是____________. 8.已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及 y 取最大值时 x 的值.

10.(12 分)(2011· 北京东城 1 月检测)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠ 1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

11.(14 分)(2011· 郑州模拟)已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求 y=f(x)的定义域; (2)在函数 y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a,b 满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

答案自主梳理

1 . ax = N(a>0 ,且 a≠1)

x = logaN

a

N

2.(1)①N

②0

③N

④1

(2)①

②logad (3)①logaM + logaN ②logaM - logaN ③nlogaM 3.(1)(0 ,+∞) (2)R 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0 (6)增 (7)减 4.y=logax y=x 自我检测 1.C 2.A 3. A [因为 3<2+log23<4, 故 f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23). 又 3+log23>4, 1 1 1 1 ?3+log23=? ?3· = .] 故 f(3+log23)=? ?2? ?2? 3 24 1 1 1 4. B [由题意可得: f(x)=f(-x)=f(|x|), f(|log x|)>f( ), f(x)在[0, +∞)上递增, 于是|log 8 3 8 1 1 x|> ,解得 x 的取值范围是(0, )∪(2,+∞).] 3 2 5.m>n m 解析 ∵m<0,n<0,∵ =logac· logcb=logab<logaa=1,∴m>n. n 课堂活动区 例 1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数 指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同 底和指数与对数互化. 解 (1)方法一 利用对数定义求值: 设 log ( 2?
3)

logaN logab (3)(1,0)

(2 ? 3 ) =x,

1 - 则(2+ 3)x=2- 3= =(2+ 3) 1, 2+ 3 ∴x=-1. 方法二 利用对数的运算性质求解:

log ( 2?

3)

(2 ? 3 ) = log( 2?
3)

1
3)

(2 ? 3 )

= log ( 2?

(2 ? 3 ) ?1 =-1.

1 4 1 (2)原式= (lg32-lg49)- lg8 + 2 3 2 1 1 4 3 1 lg245= (5lg2-2lg7)- × lg2+ (2lg7+lg5) 2 2 3 2 2 5 1 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5 2 2 1 1 = lg2+ lg5 2 2 1 1 1 = lg (2×5)= lg10= . 2 2 2 x-y 2 (3)由已知得 lg( ) =lgxy, 2 x-y 2 ∴( ) =xy,即 x2-6xy+y2=0. 2 x x x ∴( )2-6( )+1=0.∴ =3± 2 2. y y y x-y>0, ? ? ∵?x>0, ? ?y>0, ∴log(3-2
2)

x x ∴ >1,∴ =3+2 2, y y
2)(3+2

x =log(3-2 y

2)

=log?3-2

2?

1 =-1. 3-2 2

7 +log212-log2 42-log22 48 7×12 1 3 3 =log2 =log2 =log22- =- . 2 2 48× 42×2 2 2 (2)原式=lg2· (lg2+lg50)+lg25 =21g2+lg25=lg100=2. 例 2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型,解决此类问 题的方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数 相同,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;③若不同底,不 同真数,则可利用中间量进行比较. 2 解 (1)①∵log3 <log31=0, 3 6 2 6 而 log5 >log51=0,∴log3 <log5 . 5 3 5 ②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>log0.71.1>log0.71.2. 1 1 ∴ < , log0.71.1 log0.71.2 由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7. 变式迁移 1 解 (1)原式=log2

方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象, 如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7. 1 (2)∵y=log x 为减函数, 2 1 1 1 且 log b<log a<log c,∴b>a>c. 2 2 2 x 而 y=2 是增函数,∴2b>2a>2c. 1 1 1 1 变式迁移 2 (1)A [a=log3π>1,b= log23,则 <b<1,c= log32< ,∴a>b>c.] 2 2 2 2 (2)A [∵a,b,c 均为正, 1 1 1 ∴log a=2a>1,log b=( )b∈(0,1), 2 2 2 1c log2c=( ) ∈(0,1). 2 1 1 ∴0<a< , <b<1,1<c<2. 2 2 故 a<b<c.] 1 例 3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于 x∈[ ,2]时,|f(x)|恒小于等于 1, 3 恒成立问题一般有两种思路: 一是利用图象转化为最值问题; 二是利用单调性转化为最值问 题.由于本题底数 a 为参数,需对 a 分类讨论. 解 ∵f(x)=logax,

则 y=|f(x)|的图象如右图. 1 由图示,可使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga ≤1, 3 3 1 -1 即 logaa ≤loga ≤logaa, 3 1 - 亦当 a>1 时,得 a 1≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 - 当 0<a<1 时,得 a 1≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 1 综上所述,a 的取值范围是(0, ]∪[3,+∞). 3 变式迁移 3 C

[画出函数 f(x)=|lgx|的图象如图所示.∵0<a<b,f(a)=f(b),∴0<a<1,b>1,∴lga<0, lgb>0.由 f(a)=f(b), ∴-lga=lgb,ab=1. 1 2 ∴b= ,∴a+2b=a+ , a a 2 又 0<a<1,函数 t=a+ 在(0,1)上是减函数, a 2 2 ∴a+ >1+ =3,即 a+2b>3.] a 1 课后练习区 1 1.C [∵x≥0,∴y=( )x∈(0,1],∴M=(0,1]. 2 当 0<x≤1 时,y=log2x∈(-∞,0],即 N=(-∞,0]. ∴M∪N=(-∞,1].] 1 1 2.C [∵ =log23>1, =log2e>1,log23>log2e. a b 1 1 ∴ > >1,∴0<a<b<1. a b 1 1 ∵a=log32>log3 3= ,∴a> . 2 2 1 1 b=ln2>ln e= ,∴b> . 2 2 1 1 1 c=5- = < ,∴c<a<b.] 2 5 2 3.C [①当 a>0 时,f(a)=log2a,f(-a)= log 1 a ,
2

1 f(a)>f(-a),即 log2a> log 1 a =log2 , a
2

1 ∴a> ,解得 a>1. a ②当 a<0 时,f(a)= log1 (?a) ,f(-a)=log2(-a),
2

f(a)>f(-a),即 log1 (?a) >log2(-a)= log 1
2

2

1 , ?a

1 ∴-a< ,解得-1<a<0, -a 由①②得-1<a<0 或 a>1.] 2-x+x 4.C [由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称,又当 x≥1 时,f(x) 2 =lnx,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2 1 1 ∴f( )<f( )<f(2).] 2 3 5.C [当 x>0 时,函数 ax,logax 的单调性相同,因此函数 f(x)=ax+logax 是(0,+∞)上 的单调函数,f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 f(1)+f(2)=a2+a+loga2,由题意得 a2+ a+loga2=6+loga2.即 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3(舍去).] 6.3 7.(1,2) a-2 a-2? 解析 因为 f(x)=lg?a+ 在区间[1,2]上是增函数,所以 g(x)=a+ 在区间[1,2]上 x x ? ? 是增函数,且 g(1)>0,于是 a-2<0,且 2a-2>0,即 1<a<2. 8.2008 解析 令 3x=t,f(t)=4log2t+233, ∴f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)=4×(1+2+?+8)+8×233=4×36+1864=2008. 9.解 ∵f(x)=2+log3x, 2 ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=log2 3x+6log3x+6=(log3x+3) -3.……(4 分) ∵函数 f(x)的定义域为[1,9], ?1≤x2≤9, ? ∴要使函数 y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须? ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,(8 ? ?1≤x≤9, 分) ∴6≤(log3x+3)2-3≤13. 当 log3x=1,即 x=3 时,ymax=13. ∴当 x=3 时,函数 y=[f(x)]2+f(x2)取最大值 13.………………………………………(12 分) ?x+1>0, ? 10.解 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ? 故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. ………………………………………………(4 分) (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x),故 f(x)为奇函数.……………………………………………………………… (8 分) x+1 (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,所以 f(x)>0? >1. 1-x

解得 0<x<1.所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. …………………………………(12 分) a a 11.解 (1)由 ax-bx>0,得( )x>1,且 a>1>b>0,得 >1,所以 x>0,即 f(x)的定义域为 b b (0, +∞). …………………………………………………………………………………………(4 分) x x x x x x x x (2)任取 x1>x2>0,a>1>b>0,则 a 1 > a 2 >0, b 1 ? b 2 ,所以 a 1 ? b 1 > a 2 ? b 2 >0, 即 lg(a 1 ? b 1 ) > lg(a 2 ? b 2 ) .故 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0, +∞)上为增函数. ………………………………………………………(8 分) 假设函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),使直线平行于 x 轴,则 x1≠x2,y1=y2,这与 f(x)是增函数矛盾. 故函数 y=f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于 x 轴. …………(10 分) (3)因为 f(x)是增函数,所以当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).这样只需 f(1)=lg(a-b)≥0, 即当 a≥b+1 时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.……………………………………………(14 分)
x x x x


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