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北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练:立体几何


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练

立体几何
一、选择、填空题 1、(2015 年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,

则该三棱锥的表面积是 A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 D.5

2、(2014 年北京高考)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0

? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? ,

D 1,1, 2 ,若 S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投
影图形的 面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

?

?

3、(2013 年北京高考)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在 线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为__________.

4、(朝阳区2015届高三一模)将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,第 二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,如此下去,共进行了n(n∈N* ) 次,则第一次挖去的几何体的体积是____;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是_____。 5、(房山区 2015 届高三一模)一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视 图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 7

B.

22 3

C.

47 6

D.

23 3

6、(丰台区 2015 届高三一模)上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最 大值是

(A) 4

(B) 5

(C) 3 2

(D) 3 3

7、(海淀区 2015 届高三二模)若空间中有 n(n ? 5) 个点,满足任意四个点都不共面,且任意两点 的连线都与其它任意三点确定的平面垂直,则这样的 n 值( (A)不存在 (B)有无数个 ) (D)最大值为 8

(C)等于 5

8、(石景山区 2015 届高三一模)在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐 标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四 个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.③和④ D.④和② 9、(西城区 2015 届高三一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是 ( )

10、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是 A. 若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C. 若 ? / / ? , m ? ? ,则 m ? ? B. 若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?

11、 (朝阳区 2015 届高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是

A. 4 ? 2 6

B. 8

C.

4? 2 3

D. 4 3

12、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ②若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;③若 l ∥ m ,则 ? ? ? ;④若 l ? m ,则 ? ∥ ? . 以上命题中,正确命题的序号是

(A)①② (C)②④

(B)①③ (D)③④

13、(丰台区 2015 届高三上学期期末)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三 棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是

14、(石景山区 2015 届高三上学期期末)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

A. 2 2

B. 6

C. 2 3

D. 3

M ,N 分 15、(通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一))在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知
别是 A1B1 , BB1 的中点,过点 M , N , C1 的截面截正方体所得的几何体,如图所示,那么 该几何体的侧视图是
D1 C1 A1 M

D A

N B

C

二、解答题 1、(2015 年北京高考)如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, ?AEF 为等边三角形,平面 ?AEF ? 平面 EFCB,EF∥BC,BC=4, EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

2、(2014 年北京高考) 如图,正方形 AMDE 的边长为 2, B, C 分别为 AM , MD 的中点,在五 棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

3、 (2013 年北京高考) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形. 平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,AB=3,BC=5,

(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

4、 (朝阳区2015届高三一模) 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直, 已知 AB∥CD, AD⊥CD, AB = AD =

1 CD. 2

(1)求证: BF ∥平面CDE ; (2)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (3)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ?若存在,求出 说明理由.

EM 的值;若不存在, EC

5、(东城区 2015 届高三二模)如图,三棱柱 ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为 1 的正方形,侧
? 面 BEFC ? 侧面 ADEB , AB ? 4 , ?DEB ? 60 , G 是 DE 的中点.

(Ⅰ)求证: CE ∥平面 AGF ; (Ⅱ)求证: GB ? 平面 BEFC ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 ,若存在,求 BP 的长;若不存
?

在,说明理由.

6、(房山区 2015 届高三一模)在如图所示的多面体中, EA ⊥平面 ABC , DB ⊥平面 ABC, AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE ? 2 , M 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: CM ⊥ EM ; (Ⅱ)求平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 DC 上是否存在一点 N ,使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60 ? .若存在,指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由.

7、 (丰台区 2015 届高三一模) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形,PA ? 平面 ABCD , PA // BE ,AB=PA=4,BE=2. (Ⅰ)求证: CE //平面 PAD ; (Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得 平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在,求 如果不存在,说明理由.

AF 的值; AB

8、(海淀区 2015 届高三二模)如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD ,

AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 , M 是棱 PB 上一点.

(Ⅰ)若 BM ? 2MP ,求证: PD / / 平面 MAC ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

2 PM ,求 的值. 3 PB

9、 (石景山区 2015 届高三一模) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 平面 ADEF⊥平面 ABCD, 正方形 ADEF 的边长为 2,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 BDE; (Ⅱ)试在平面 CDE 上确定点 P,使点 P 到 直线 DC、DE 的距离相等,且 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30° . A F D B E

C

10、 (西城区2015届高三一模)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD是边长为 4 的正方形, EF∥AD ,平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD,且BC = 2EF , AE = AF ,点G 是EF 的中点。 (1)证明: AG ⊥平面ABCD 。 (2)若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为

6 ,求AG 的长。 9

(3)判断线段AC 上是否存在一点M ,使MG∥平面ABF ?若存在,求出 AM 的值;若不存在,

MC
说明理由。

11 、 ( 昌 平 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 如 图 , PD 垂 直 于 梯 形 A B C D所 在 的 平 面 ,

1 ?ADC ? ?BAD ? 90? . F 为 PA 中点, PD ? 2 , AB ? AD ? CD ? 1. 四边形 PDCE 为矩形, 2 线段 PC 交 DE 于点 N . (I) 求证: AC // 平面 DEF ; P E (II) 求二面角 A ? BC ? P 的大小; N (III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ,使得 BQ 与
平面 BCP 所成角的大小为 若不存在,请说明理由.

? ? 若存在,请求出 FQ 的长; 6
A

F D B C

12、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧 面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,点 F 在边 BC 上移动. (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ; (Ⅲ)若 PB ?

2 AB ,二面角 E ? AF ? B 的余弦值等于

11 ,试判断点 F 在边 BC 上的位置, 11
P E A F

并说明理由.

B

D

13、(海淀区 2015 届高三上学期期末)如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1B 1B 为正方形,

C

BB1C1C 为菱形, ?BB1C1 =60? ,平面 AA1B1B ? 平面 BB1C1C .
(Ⅰ)求证: B1C ? AC1 ; (Ⅱ)设点 E , F 分别是 B1C, AA1 的中点,试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)求二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值.

14 、 ( 石 景 山 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 如 图 , 在 四 面 体 A ? BCD 中 , AD ? 平 面

B C D, BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 ABC ? 平面 ADC ; (Ⅱ)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,求证: PQ // 平面 BCD ; (Ⅲ)若 ?BDC ? 60? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

15、(通州区 2015 高三 4 月模拟考试(一)) 如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面

A1 B1

C1

A1 ACC1 ? 底面 ABC ,且 ?A1 AC ?
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 AOB ; 1 (Ⅱ)求二面角 B1 ? AC ? B 的余弦值;

?

3

,点 O 为 AC 的中点.
A B O C

(Ⅲ)若点 B 关于 AC 的对称点是 D,在直线 A1 A 上是否存在点 P ,使 DP // 平面 AB1C .若存在, 请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择、填空题 1、C 解析:过 P 点做 AB 的垂线交于 D

S?ABC ?

1 ? 2? 2 ? 2 2

S?PBC ? S?PAC ?
S?PAB ?

1 5 ? 5 ?1 ? 2 2

BC ? 5, PC ? 1, PB ? PA ? 6 ?PD ? 5
表面积为 S ? 2 ? 2 ?

1 ? 2? 5 ? 5 2

5 ? 5 ? 2?2 5 2

2、D( S2 ? S3 且 S1 ≠ S3 )
D ? ABC 在 xOy 平面上的投影为 △ ABC ,故 S1 ? 2 ,

设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 D2 和 D3 ,则 D ? ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别
1 , 2 , D3 1 ,0 , 2 . 为 △OCD2 和 △OAD3 .∵ D2 0 ,

?

?

?

?

故 S2 ? S3 ? 2 .综上,选项 D 正确. 3、答案:

2 5 5

解析:过 E 点作 EE1 垂直底面 A1B1C1D1,交 B1C1 于点 E1, 连接 D1E1,过 P 点作 PH 垂直于底面 A1B1C1D1,交 D1E1 于点 H, P 点到直线 CC1 的距离就是 C1H,

故当 C1H 垂直于 D1E1 时,P 点到直线 CC1 距离最小, 此时,在 Rt△D1C1E1 中,C1H⊥D1E1,D1E1· C1H=C1D1· C1E1,∴C1H= 4、答案:

2 2 5 ? 5 5

5、D 6、D 9、答案:A 10、C 14、D

7、C 8、D

解析:几何体为正方体切去右后上方的一个角之后得到的几何体.
11、A 15、B 12、B 13、A

二、解答题 1、解析: (Ⅰ)因为 ?AEF 是等边三角形, O 为 EF 的中点. 所以 AO ? EF . 又因为平面 AEF ? 平面 EFCB , AO ? 平面 AEF . 所以 AO ? 平面 EFCB 所以 AO ? BE . (Ⅱ)取 BC 的中点 G ,连接 OG . 由题设知 EFCB 是等腰梯形. 所以 OG ? EF . 由(Ⅰ)知 AO ? 平面 EFCB , 又 OG ? 平面 EFCB , 所以 OA ? OG . 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz .



E (a,0,0)



A(0,0, 3a)



B(2, 3(2 ? a),0)



EA ? (?a,0, 3a)



BE ? (a ? 2, 3(a ? 2),0) .
设平面 AEB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? ? ?n ? EA ? 0, ?? ax ? 3az ? 0, 则? 即? 令 z ? 1 ,则 x ? 3 , y ? ?1 . ? ( a ? 2 ) x ? 3 ( a ? 2 ) y ? 0 . ? n ? BE ? 0 , ? ?
于是 n ? (

3,?1,1) .

平面 AEF 的法向量 p ? (0,1,0) . 所以 cos ? n, p ??

n? p 5 ?? . | n || p | 5
5 . 5

由题知二面角 F ? AE ? B 为钝角,所以它的余弦值为 ?

(Ⅲ)因为 BE ? 平面 AOC ,所以 BE ? OC ,即 BE ? OC ? 0 . 因为 BE ? (a ? 2,

3(a ? 2),0) , OC ? (?2, 3(2 ? a),0) ,
2

所以 BE ? OC ? ?2(a ? 2) ? 3(a ? 2) . 由 BE ? OC ? 0 及 0 ? a ? 2 ,解得 a ?

4 . 3

2、⑴证明:? AM ∥ED , AM ? 面 PED , ED ? 面 PED . ? AM ∥面 PED . ? AM ? 面 ABF ,即 AB ? 面 ABF 面 ABF ? 面 PDE ? FG
? AB ∥ FG . ⑵如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,各点坐标如下
P

z

A ? 0,0,0 ? , E ? 0, 2,0 ? , B ?1,0,0 ? , C ? 2,1,0? , F ? 0,1,1? , P ? 0,0, 2 ?
? ??? ? 设面 ABF 的法向量为 n ? ? x0 , y0 , z0 ? , AB ? ?1,0,0? , ??? ? AF ? ? 0,1,1?
A

F E

G H

y

D B C M x

? ??? ? ? ? ?x ? 0 ?n ? AB ? 0 ,即 ? ,令 y ? 1 ,? n ? ? 0,1, ?1? ? ? ? ??? ?y ? z ? 0 ? ?n ? AF ? 0

??? ? ? ??? ? 又? BC ? ?1,1,0? ,? sin BC, n ?
直线 BC 与平面 ABF 所成的角为
π . 6

1 2? 2

?

1 2

???? ??? ? 设 H ? x1 , y1 , z1 ? ,由 PH ? tPC ,则 ? x1 , y1 , z1 ? 2? ? t ? 2,1, ?2?

? x1 ? 2t ? ? ? y1 ? t ? H ? 2t , t ,2 ? 2t ? ? z ? 2 ? 2t ? 1

???? 又? H ?面 ABF , BH ? ? 2t ? 1, t,2 ? 2t ?
? ???? ? n ? BH ? 0

? t ? 2t ? 2 ? 0 ,? t ?

???? ? 4 2 4 ? 2 ?4 2 2? ,? H ? , , ? ,? PH ? ? , , ? ? 3 ?3 3 3? ?3 3 3?

2 2 2 ???? ? 4? ? 2? ? 4? ? PH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? ? 3? ? 3?

3、解:(1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).

设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),

???? ?n ? A1B ? 0, ?3 y ? 4 z ? 0, ? 则 ? ???? 即? ? n ? A C ? 0, ?4 x ? 0. ? ? 1 1

令 z=3,则 x=0,y=4,所以 n=(0,4,3). 同理可得,平面 B1BC1 的法向量为 m=(3,4,0). 所以 cos〈n,m〉=

n?m 16 ? . | n || m | 25

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,

16 . 25 ??? ? ???? ? (3)设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且 BD =λ BC1 ,
所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得 x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以 AD =(4λ,3-3λ,4λ).

????

?? 由 AD ·A 1B =0,即 9-25λ=0,解得
因为

???? ????

9 . 25

9 ∈[0,1],所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. 25 BD 9 此时, . ?? ? BC1 25

4、

5、(Ⅰ)证明:连接 CD 与 AF 相交于 H ,则 H 为 CD 的中点,连接 HG . 因为 G 为 DE 的中点, 所以 HG ∥ CE . 因为 CE ? 平面 AGF , HG ? 平面 AGF , 所以 CE ∥平面 AGF . ………4 分

? (Ⅱ)证明: BE ? 1 , GE ? 2 ,在△ GEB 中, ?GEB ? 60 , BG ? 3 .

因为 BG ? BE ? GE ,
2 2 2

所以 GB ? BE . 因为侧面 BEFC ? 侧面 ADEB , 侧面 BEFC ? 侧面 ADEB ? BE ,

GB ? 平面 ADEB ,
所以 GB ? 平面 BEFC . ………8 分 (Ⅲ)解: BG, BE , BC 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 B ? xyz .
z
C P H B E G A F

y

x
D
?

假设在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 . 平面 BGE 的法向量 m ? (0,0,1) ,设 P(0,0, ? ), ? ?[0,1] .

G( 3,0,0), E (0,1, 0) . ??? ? ??? ? 所以 GP ? (? 3,0, ? ) , GE ? (? 3,1,0) .
??? ? ? n ? GP ? 0, ? 设平面 PGE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ?n ? GE ? 0.
所以 ?

? ?? 3x ? ? z ? 0, ? ?? 3x ? y ? 0.

令 z ? 1 ,得 y ? ? , x ?

?
3



所以 PGE 的法向量为 n ? ( 因为 m ? n ? 1 , 所以 1?

?
3

, ? ,1) .

?2
3

? ? 2 ?1 ?

3 3 2 ? ? 0,1? ,故 BP ? . ? 1 ,解得 ? ? 2 2 2
?

因此在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 ,

且 BP ?

3 . 2

………14 分

6、(I)证明: ? AC ? BC, M 是 AB 的中点? CM ? AB . 又? EA ? 平面 ABC , CM ? EA . ? E A? A B ? A ? CM ? 平面 AEM ∴ CM ? EM ……………4 分

(Ⅱ)以 M 为原点,分别以 MB , MC 为 x,y 轴,如图建立坐标系 M - xyz , 则 M (0,0,0), C(0, 2,0), B( 2,0,0), D( 2,0, 2), E(- 2,0,1)

???? ???? ? ??? ? ??? ? ME=(- 2.0.1), MC=(0, 2,0), BD=(0,0, 2), BC=(- 2, 2,0)
设平面 EMC 的一个法向量 m=( x1, y1, z1 ) ,则 ? 取 x1 ? 1, y1 ? 0, z1 ? 2 所以 m ? (1,0, 2) 设平面 DBC 的一个法向量 n = ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? 取 x1 ? 1, y1 ? 1, z1 ? 0 ,所以 n ? (1,1.0)

??

? ?? 2 x1 ? z1 ? 0 ? ? 2 y1 ? 0

??

?

? ? ? 2 x2 ? 2 y2 ? 0 ? ? 2 y2 ? 0

?

cos m, n ?

m?n mn

?

1 2? 3

?

6 6
6 . 6
……………9 分

所以平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值 (Ⅲ)设 N ( x, y, z ) 且 DN ? ? DC , 0 ? ? ? 1

????

????

? (x ? 2, y, z ? 2) ? ? (? 2, 2, ?2), x ? 2 ? 2? , y ? 2? , z ? 2 ? 2 ?

???? ? MN ? ( 2 ? 2?, 2?, 2 ? 2?)
若直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60 ,则
0

cos MN , m ?
解得: ? ?

2 ? 2? ? 2 ?2 ? 2? ? 3 2?1 ? ? ? ? 2?2 ? 4?1 ? ? ?
2 2

? sin 600 ?

3 2
………………14 分

1 ,所以符合条件的点 N 存在,为棱 DC 的中点. 2

7、解:(Ⅰ)设 PA 中点为 G,连结 EG , DG . 因为 PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形. 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB , CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD . 所以四边形 CDGE 为平行四边形. 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 所以 CE //平面 PAD . ……………………4 分 (Ⅱ)如图建立空间坐标系,则 B (4,0,0) , C (4, 4,0) ,

P

G

E

A

D

B

C

z P

E (4,0, 2) , P(0,0, 4) , D (0, 4,0) ,
所以 PC ? (4, 4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) ,

??? ?

??? ?

??? ? PD ? (0, 4, ?4) . ?? 设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , ?? ??? ? ? ?m ? PC ? 0 ? x ? y ? z ? 0 所以 ? ?? ??? . ?? ? 2 x ? z ? 0 m ? PE ? 0 ? ? ?

E

A

D y

B x

C

?x ?1 ?? ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? (1,1, 2) . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? PD ? ?? ? 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ? ??? PD m

?4 3 ? . 6 6 ?4 2
3 . 6

所以 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值是

……………………9 分

(Ⅲ)依题意,可设 F (a, 0, 0) ,则 FE ? (4 ? a, 0, 2) , DE ? (4, ?4, 2) . 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

????

?

? ???? ?n ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ? ?? 则 ? ? ??? . ? (4 ? a ) x ? 2 z ? 0 n ? FE ? 0 ? ? ?

z P

E

A

D y

F

? x?2 ? a ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? , 2 ? ? ?z ? a ? 4

a 2 因为平面 DEF ? 平面 PCE , ?? ? a 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? ? 2a ? 8 ? 0 , 2 12 12 所以 a ? ? 4 , 点 F ( , 0, 0) . 5 5 AF 3 所以 ? . AB 5 8、(Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OM .
所以 n ? (2, , a ? 4) .

……………………14 分

因为 AB / / CD , AB ? 2CD , 所以 因为 BM ? 2 MP ,所以 所以

BO AB ? ? 2. DO CD

BM ? 2. PM

BM BO ? . PM DO 所以 OM / / PD . ………………2 分 因为 OM ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , 所以 PD / / 平面 MAC .

………………4 分

(Ⅱ) 证明: 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD ,AD ? AB , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,AB ? 平面 ABCD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 AB ? PA . 同理可证: AD ? PA . ………………6 分 ………………7 分

因为 AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , AD ? AB ? A , 所以 PA ? 平面 ABCD . ………………9 分

(Ⅲ)解:分别以边 AD, AB, AP 所在直线为 x, y , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 . 由

AB ? AD ? AP ? 2CD ? 2 得 A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , C (2,1, 0) , D(2,0,0) , P(0, 0, 2) , 则

uuu r uur , PB ? (0, 2, ?2) . AC ? ( 2, 1, 0)

由(Ⅱ)得: PA ? 平面 ABCD .

所以 平面 ABCD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 设

r

………………10 分

uuu r uur uuur uu u r uur PM ? ? (0 ? ? ? 1) ,即 PM ? ? PB .所以 AM ? AP ? ? PB ? (0,2?,2 ? 2?) . PB u r 设平面 AMC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 u r uuu r ? ?m ? AC ? 0, ?2 x ? y ? 0, 即? r uuur ?u ?2? ? y ? (2 ? 2? ) ? z ? 0. m ? AM ? 0, ? ?
令 x ? ? ? 1 ,则 y ? 2 ? 2? , z ? ?2? . 所以 m ? (? ?1, 2 ? 2?, ?2? ) . 因为 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 所以

u r

………………12 分

2 , 3

| 2? | 9? 2 ? 10? ? 5

?

1 2 ,解得 ? ? . 2 3
………………14 分

所以

PM 1 的值为 . 2 PB

9、(Ⅰ)证明:因为平面 ABEF ? 平面 ABCD,ED ? AB.

所以 ED ? 平面 ABCD 又因为 BC ? 平面 ABCD,所以 ED ? BC. 在直角梯形 ABCD 中,由已知可得 BC2=8,BD2=8,CD2=16,所以,CD 2=BC2+BD2 ,所以,BD ? BC 又因为 ED ? BD=D,所以 BC ? 平面 BDE. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz 则 D ? 0,0,0? A? 2,0,0? , E ?0,0,2? , B ? 2,2,0? , F ? 2,0,2? z E F D x A

………………1 分 ………………2 分

……………4 分 ……………5 分 ……6 分

??? ? ??? ? EF ? ? 2,0,0? , EB ? ? 2,2, ?2 ?
设 P ? 0, y, z ? ,则 y ? z

…………7 分

? 令 n ? ? x?, y?, z?? 是平面 BEF 的一个法向量,
? ??? ? ? ?n ? EF ? 0 则 ? ? ??? ? ?n ? Eb ? 0

C y B

? x? ? 0 ? ? 2 x? ? 0 ? 所以 ? ,令 y? ? 1 ,得 ? y ? ? 1 所以 n ? ? 0,1,1? ? 2 x? ? 2 y ? ? 2 z ? ? 0 ? z? ? 1 ?
因为 AP 与平面 BEF 所成的角等于 30 , 所以 AP 与 n ? (0,1,1) 所成的角为 60 或 120
? ?

…………9 分

?

?

??? ? ? AP ? n ??? ? ? y?z 1 所以 cos ? AP, n ? ? ??? ? ? ? ? AP ? n 4 ? y2 ? z2 ? 2 2
所以 y ? z ? 4 yz ? 4 ? 0???(*)
2 2

………11 分

又因为 y ? z ,所以 y ? z 或 y ? ? z 当 y ? ? z 时,(*)式无解 当 y ? z 时,解得: y ? z ? ?

………12 分

6 3

………13 分

所以, P(0, 10、

6 6 6 6 , ) 或 P(0, ? ,? ). 3 3 3 3

………14 分

11、解:(Ⅰ)连接 FN , 在 ?PAC 中, F , N 分别为 PA, PC 中点,所以 FN / / AC , 因为 FN ? 平面DEF , AC ? 平面DEF , 所以 AC / / 平面DEF …………………4 分

(Ⅱ) 如 图 以 D 为 原 点 , 分 别 以 DA, DC , DP 所 在 直 线 为 x,y,z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

D ? xyz.

…………………5 分

则 P(0,0, 2), B(1,1,0), C(0, 2,0), 所以 PB ? (1,1, ? 2), BC ? (?1,1,0).

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? ?m ? PB ? ( x, y, z ) ? (1,1, ? 2) ? 0 设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x, y, z ), 则 ? ?? ??? , ? ? ?m ? BC ? ( x, y, z ) ? (?1,1, 0) ? 0
即?

? ? ?x ? y ? 2z ? 0 ?x ? x , 解得 ? , ? ? ?z ? 2x ?? x ? y ? 0

?x ? 1 ?? ? 令 x ? 1 ,得 ? y ? 1 , 所以 m ? (1,1, 2). …………………7 分 ? ?z ? 2 ? 因为平 面ABC的法向量 n ? (0,0,1), ? ?? ? ?? n?m 2 所以 cos n, m ? ? ?? ? , 2 n?m
由图可知二面角 A ? BC ? P 为锐二面角, 所以二面角 A ? BC ? P 的大小为 (Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件. 由 F ( , 0,

? . 4

…………………9 分

1 2

??? ? ??? ? 2 ), E (0, 2, 2). 设 FQ ? ? FE(0 ? ? ? 1) , 2

??? ? 1? ? 2(1 ? ? ) 1? ? 2(1 ? ? ) , 2? ? 1, ), …………………11 分 , 2? , ) , BQ ? (? 2 2 2 2 ? 因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 , 6 ??? ? ?? ??? ? ?? ? BQ ? m | 5? ? 1| 1 所以 sin ?| cos BQ, m |?| ??? …………………13 分 ? , ? ?? |? 2 6 BQ ? m 2 19? ? 10? ? 7 2
整理得 Q(
2 则 ? ? 1,由0 ? ? ? 1知 ? ? 1 ,即 Q 点与 E 点重合.

故在线段 EF 上存在一点 Q ,且 | FQ |?| EF |?

19 . 2

…………………14 分

12、(Ⅰ)证明: 在 ?PBC 中,因为点 E 是 PB 中点,点 F 是 BC 中点, 所以 EF // PC . 又因为 EF ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC , 所以 EF //平面 PAC .……………..4 分 (Ⅱ)证明: 因为底面 ABCD 是正方形,所以 BC ? AB . 又因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD = AB , 且 BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 PAB . 由于 AE ? 平面 PAB ,所以 BC ? AE . 由已知 PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,所以 AE ? PB . 又因为 PB ? BC =B ,所以 AE ? 平面 PBC . 因为 PF ? 平面 PBC ,所以 AE ? PF .……………..9 分 (Ⅲ)点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. 因为 PA ? AB , PB ?

2 AB ,所以 PA ? AB .
z F

由(Ⅱ)可知, BC ? 平面 PAB .又 BC // AD , 所以 AD ? 平面 PAB ,即 AD ? PA , AD ? AB . 所以 AD , AB , AP 两两垂直. 分别以 AD , AB , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系(如图). 不妨设 AB ? 2 , BF ? m ,则

P E

A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , P(0, 0, 2) ,

A F D x F C

B y

E (0,1,1) , F (m, 2, 0) .

??? ? ??? ? 于是 AE ? (0,1,1) , AF ? (m, 2,0) .
设平面 AEF 的一个法向量为 n ? ( p, q, r ) ,

??? ? ? ? n ? AE ? 0, 由 ? ??? ? ? ?n ? AF ? 0,

得?

? q ? r ? 0, 取 p ? 2 ,则 q ? ?m , r ? m , mp ? 2 q ? 0. ?

得 n ? (2, ?m, m) .

由于 AP ? AB , AP ? AD , AB ? AD ? A ,所以 AP ? 平面 ABCD . 即平面 ABF 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) .

??? ?

??? ? n ? AP 2m 2 11 ??? ? ? 根据题意, ,解得 m ? . ? 2 3 | n | ? | AP | 4 ? 2m ? 2 11
由于 BC ? AB ? 2 ,所以 BF ?

1 BC . 3

C

C1 G

即 点 F 为 边 BC 上 靠 近 B 点 的 三 等 分 点.……………..14 分
B

E

B1 A1

13、证明:(Ⅰ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB ^ BB 1.

A

F

AB ? 平面 ABB1 A1 , 因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ,平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ? BB 1,
所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C . ………………2 分
B1 A1

………………1 分
C C1

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 ,
A

B

BC1 ? AB = B ,
所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅱ) EF ∥平面 ABC ,理由如下: 取 BC 的中点 G ,连接 GE, GA . 因为 E 是 B1C 的中点, 所以 GE ∥ BB1 ,且 GE = ………………5 分 ………………6 分 ………………4 分

1 BB1 . 2

因为 F 是 AA1 的中点, 所以 AF =

1 AA1 . 2

在正方形 ABB1 A 1 ∥ BB1 , AA 1 = BB 1 中, AA 1. 所以 GE ∥ AF ,且 GE = AF . 所以 四边形 GEFA 为平行四边形. 所以 EF ∥ GA . 因为 EF ? 平面 ABC , GA ? 平面 ABC , 所以 EF ∥平面 ABC . (Ⅲ)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ^ BB1 . 由(Ⅰ)可知: AB ^ 平面 BB1C1C . 以点 B 为坐标原点,分别以 BA, BB1 所在的直线为 x , y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz ,设 A(2, 0, 0) ,则 B1 (0,2,0) . 在菱形 BB1C1C 中, ?BB1C1 =60? ,所以 C(0, ?1, 3) , C1 (0,1, 3) . 设平面 ACC1 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) . ………………9 分 ………………8 分

???? ? ?n ? AC ? 0, ? ?( x, y,1) ? (?2, ?1, 3) ? 0, 因为 ? ???? 即? ? ? ?( x, y,1) ? (0, 2, 0) ? 0, ?n ? CC1 ? 0 ?

? 3 , ?x ? 所以 ? 2 即 ? y ? 0, ?
z C C1 E

B A x F A1

B1

y

n?(

3 , 0,1) . 2

………………11 分

由(Ⅰ)可知: CB1 是平面 ABC1 的一个法向量.

????

………………12 分

3 ???? ( , 0,1) ? (0,3, ? 3) ???? n ? CB1 7 ?? 所以 cos ? n, CB1 ?? . ???? ? 2 7 3 n ? CB1 ?1 ? 9 ? 3 4
所以 二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值为

7 . 7

………………14 分

14、(Ⅰ)? AD ? 面BCD , BC ? 面BCD ? AD ? BC

………………2 分

? BC ? CD 且 AD ? CD ? D ? BC ? 面ACD

? BC ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD

………………4 分

A M P Q D

(Ⅱ)证明:如图所示,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点,

1 所以 PO // MD 且 PO ? MD ; 2
取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以, PO // QH 且 PO ? QH , 所以,四边形 OPQH 为平行四边形, 所以 PQ // OH ,且 OH ? BCD , 所以 PQ//面 BDC. (III)如图建系, 则 C (0,0,0) , B(0, 6 ,0) , M ( 2 ,0,1) , D( 2 ,0,0) 设面 CBM 的法向量 n ? ( x, y, z)

B

O
C

H

……………………9 分

……………………10 分 z
A

CB ? (0, 6,0) , CM ? ( 2,0,1)

? ? ?n ? CB ? 0 ? 6y ? 0 ,即 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 ?n ? CM ? 0 ?
令 x ? 1 ,则 n ? (1,0,? 2 )

M P Q D C

y B

x

设面 BMD 的法向量 m ? ( x, y, z)

……………………11 分

BD ? ( 2 ,? 6 ,0) DM ? (0,0,1)

? ?m ? BD ? 0 ? 2 x ? 6 y ? 0 即? ? ? m ? DM ? 0 ?z ? 0 ?
令 y ? 1 , 则 m ? ( 3,1,0) ……………………12 分

? ?? 1 cos ? n, m ?? 2
所以二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ? 15、解:(Ⅰ)连结 AC 1 AC ? 1 ,因为 AC ? AA 1 , ?A 中点, 所以 AO ? AC , BO ? AC. 1 因为 AO 1 ? BO ? O , 所以 AC ? 平面 AOB . 1 (Ⅱ)因为侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC , 所以 A1O ? 平面 ABC. 所以 A1O ? BO. …………………… 5 分 …………………… 4 分 …………………14 分

?
3

, AB ? BC ,点 O 为 AC 的

所以以 O 为坐标原点,分别以 OB , OC , OA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 所以 A ? 0, ?1, 0? , B 所以 AA1 ? 0,1,

????

?

? ???? 3 ? , AB ? ?
1

?

3 , 0, 0 , C ?0,1, 0? , A1 0, 0, 3 , B1

?

?

?

3 ,1, 3 ,

?

???? 3, 2, 3 , AC ? ? 0, 2, 0 ? .

?

? ???? ? ? ? n ? AB1 , ? 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 所以 ? ? ???? ? ? n ? AC , ? 所以 n ? ? ?1, 0,1? .
????

即? ?

? 3 x ? 2 y ? 3 z ? 0, ? ?2 y ? 0.
…………………… 7 分

因为平面 ABC 的法向量为 A1O ? 0, 0, 3 , 所以< cos AA1 , n ?

?

?

????

3 2 ? . 2 2? 3

所以二面角 B1 ? AC ? B 的余弦值是 (Ⅲ)存在.

2 . 2

…………………… 9 分

因为点 B 关于 AC 的对称点是 D,所以点 D ? 3 , 0, 0 .

?

?

…………………… 10 分

假设在直线 A1 A 上存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标设为 ? x, y, z ? , AP ? ? AA 1. 所以 AP ? ? x, y ? 1, z ? . 所以 DP ?

??? ?

????

??? ?

所以 P 0, ? ? 1, 3? .

?

?

??? ?

?

3, ? ? 1, 3? .

?

…………………… 12 分

因为 DP // 平面 AB1C ,平面 AB1C 的法向量为 n ? ? ?1, 0,1? , 所以由 DP ? n ? 0. ,得 ? 3 ? 3? ? 0. 所以 ? ? 1. …………………… 13 分

?

??? ? ?

所以在直线 A1 A 上存在点 P ,使 DP // 平面 AB1C ,且点 P 恰为 A1 点. ………… 14 分


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