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高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.3知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用(I)

一、学习任务 了解一次函数、二次函数模型的意义,并能进行简单应用. 二、知识清单
函数模型的应用

三、知识讲解
1.函数模型的应用 描述: 函数模型的概念 函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利

润最高、产量最大、收益最好、 用料最省等实际问题进行归纳加工,建立相应的目标函数,确定变量的取值范围,运用函数的方 法进行求解,最后用其解决实际问题. 几种函数模型的增长速度比较 在区间 (0, +∞) 上,尽管函数 y = ax (a > 1) , y = loga x(a > 1) 和 y = xa (a > 0) 都是增 函数,但它们的增长速度不同,随着 x 的增大,指数函数 y = ax (a > 1) 的增长速度会越来越 快,会超过并远远大于幂函数 y = xa (a > 0) 的增长速度,而 y = loga x(a > 1) 的增长则会越 来越慢,因此总会存在一个 x 0 ,当 x > x0 时,就有 loga x < xa < ax . 例题: 向高 H 为的水瓶内注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示,那 么水瓶的形状是( )

解:B 取 OH 的中点 E 作 h 轴的垂线,由图可知,当水深 h 达到容量高度的一半时,体积大于一

半,易知符合题意. 如在测量某物理量的过程中,因机器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1 , a2 , ? an 共 n 个数据,我们规定所测物理量“最佳近似值 a ”为这样一个量:与其它近似值比较,a 与各数 据的差的平方和最小.依此规定,由 a1 , a2 , ? an 推出的 a = ______. 解:a =

a1 + a2 + ? + an n 设 f (x) = (x ? a1 )2 + (x ? a2 )2 + ? + (x ? an )2 ,从而建立二次函数模型. 因为 f (x) = nx 2 ? 2(a1 + a2 + ? + an )x + a1 2 + a2 2 + ? + an 2 . 2(a1 + a2 + ? + an ) a + a2 + ? + an 由二次函数性质知:当 x = 时,f (x) 有最小值, = 1 2n n a + a2 + ? + an 所以 a = 1 . n
某汽车制造商在 2014 年初公告:公司计划 2014 年生产 43 万辆汽车.已知该公司近三年的汽 车生产量如下表所示:

2011 2012 2013 8 18 30 如果我们分别将 2011、2012、2013、2014 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数 模型:二次函数模型 f (x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0),指数函数模型 g(x) = a ? b x + c(a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1),哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关
年份 产量(万辆) 系? 解:建立年销量 y 与年份 x 的函数,可知函数必经过 (1, 8),(2, 18),(3, 30). (1)构造二次函数模型

f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0),
将点的坐标代入,可得

? a + b + c = 8, ? 4a + 2b + c = 18, ? 9a + 3b + c = 30,
解得

? a = 1, ? b = 7, ? c = 0,
则 f (x) = x 2 + 7x,故 f (4) = 44,与计划误差为 1 . (2)构造指数函数模型

g(x) = a ? b x + c(a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1),
将点的坐标带入,可得

? ab + c = 8, ? ab 2 + c = 18, ? 3 ab + c = 30,
解得

? ? ? ? ?

125 ? ? ? ?a = 3 , ? 6 b= , ? ? 5 ? ? c = ?42. 125 125 6 x 6 4 ? ( ) ? 42 ,故 g(4) = ? ( ) ? 42 = 44.4 ,与计划误差 1.4.由 3 3 5 5 (1)(2)可得,f (x) = x 2 + 7x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系.
则 g(x) =

四、课后作业

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1. 建造一个容积为 8 m 3 ,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为 120 元/m 2 和

80 元/m 2 ,则总造价与一底边长 x 的函数关系式为 ( 4 ) x 4 C.y = 160 (x + ) x
A.y = 320 (x +
答案: B

)

4 ) + 480 x 4 D.y = 160 (x + ) + 240 x
B.y = 320 (x +

2. 某企业制定奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励,奖励金额(元)是

? 0.3 (500 ? n ? 1000) f (n) = k (n) ? (n ? 500)(其中 n 为年销售额),而 k (n) = ? 0.4 (1000 < n < 2000) ,一员工获 ? 0.5 (2000 ? n) 得 400 元的奖励,那么该员工一年的销售额为 ( )
A.800
答案: D

B.1000

C.1200

D.1500

3. 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知该商品每个涨价 1 元,其销售 量就减少 20 个,为了赚得最大利润,售价应定为 ( A.每个 110 元
答案: D 解析: 设该商品每个涨价

)
D.每个 95 元

B.每个 105 元

C.每个 100 元

a 元,则利润 y = (90 + a ? 80) (400 ? 20a) (a = 0, 1, 2, ?),即 y = 20 (a + 10) (20 ? a) = ?20(a ? 5)2 + 4500,∴ a = 5,即定价为 95 元时,y 有最大值.

4. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率".在特定条件下,可食用率 p 与加工时间

t (单位:分钟)满足的函数关系 p = at 2 + bt + c ( a, b, c 是常数),下图记录了三次实验的数据.
根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 (

).

A.3.50 分钟
答案: B

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

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