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湖南省岳阳市2015届高考信息卷数学(文)试题


岳阳市 2015 届高考信息卷(文数)
时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则 A. ? i B. i

2? z = B z
C. ?1 D. 1

/>2.设集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,则 A A. [?3, 4] B. (?1,3] C. [?3, ?1)

B?

B D. [?1,3]

3.若 a , b 为实数,则“ 0 ? b ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ”是“ 0 ? ab ? 1 ”的 A a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设函数 f ( x ) 和 g ( x) 分别为 R 上的奇函数和偶函数,则下列结论恒成立的是 D A. f ( x)? | g ( x) | 为奇函数 C. ? f ( x)+ | g ( x) | 为偶函数 B. ?|f ( x)| ? g ( x) 为奇函数 D. |f ( x)| ? g ( x) 为偶函数

5.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a3 ? 2a1 , 则

开始 i=0,s=1 s=s+
1 i ? ( i ? 1)

a1 ? a3 的值为 C a2 ? a4
5 6
B.

A.

4 5

C.

3 4

D.

2 3
i<4? 否 输出 s 结束 是

6.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 s 的值为 A

i=i+1

9 A. 5

7 B. 4

11 C. 6

4 D. 5

7.在钝角 ? ABC 中,若 AB ? 2 , BC ? 2 , 且 S?ABC ? 1 ,则 AC ? A. 2 B. 2 D C. 10 D.

图1

10

8.已知某几何体的三视图都是全等的等腰直角三角形,直角边长为 1,如图 2 所示,

则该几何体的表面积是 A. 1 ? 2 C.

A B. 2 D.

1 6

1 ? 2 2

正视图

侧视图

9.已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,过其焦点 F 的直线 与抛物线交于 A 、 B 两点,且 | AF |? 3 , O 为坐标原点, 俯视图 则 ?AOF 的面积和 ?BOF 的面积之比为 A. D C. 3 D. 2

图2

1 2

B.

3 3

10.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ?

3 BC ,当 E 点在线段 AD 上移动时, 4
C

若 AE ? ? AB ? ? AC ,则 t ? (? ?1)2 ? ? 2 的最小值是 A.

3 10 10

B.

82 4

C.

9 10

D.

41 8

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡 中对应题号后的 ... 横线上. 11.某校有老师 320 人,男学生 2200 人,女学生 1800 人.现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 45 人,则 n = 108 .

?? 12 . 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 直 线 ? ( s i n
a =__1_________.

c o?s? a ) 过 圆 ? ? 2cos? 的 圆 心 , 则

13.已知⊙ O 的半径为 4,在圆 O 内任取一点 P ,则点 P 到圆心 O 的距离大于 1 且小于 2 的概率为__3/16____________

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
4,则

3 2 ? 的最小值为 12 a b

15.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) ,且 x ?[?1,1] 时, f ( x) ?| x | ?1 ,

则当 x ? [?9,0)

(0,9] 时, y ? f ( x) 与 g ( x) ? log 1 | x | 的图象的交点的个数为 9 .
3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

2 sin ?x ? m cos?x(? ? 0, m ? 0) 的最小值为

? 2 ,且图象上相邻两个最高点的距离为 ? .
(Ⅰ)求 ? 和 m 的值; (Ⅱ)若 f ( ) ?

?

2

6 ? 3? ? , ? ? ( , ) ,求 f (? ? ) 的值. 5 4 4 8
Ⅰ ) 函 数







f ( x) ? 2 ? m 2 sin(?x ? ? )







2 f ( x) m ? i ? 2 2 n ? m ? ?2,? m ?

……………………………………3 分

又由已知函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,所以 T ? (Ⅱ)有(Ⅰ)得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

2?

?
4

?
2

? ? ,? ? ? 2
4 5

……………6 分

? ? 6 ) ,所以 f ( ) ? 2sin(? ? ) ? ,

? sin(? ?
? cos(? ?

?
4
?
4

)?

3 ? 3? ? ? , ? ? ( , ),?? ? ? ( , ? ), , 5 4 4 4 2
?
4 ) ?? 4 5
……………………………………………8 分

) ? ? 1 ? sin 2 (? ?

? sin ? ? sin(? ?
? f (? ?

?

? ? ? ? ? 7 2 ? ) ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin ? , ……10 分 4 4 4 4 4 4 10
?
8 )?

?
8

) ? 2 sin[ 2(? ?

?
4

] ? 2 sin( 2? ?

?
2

) ? 2 cos 2? ? 2(1 ? 2 sin 2 ? )

? 2[1 ? 2(

7 2 2 48 ) ]?? 10 25

………………………………………………………12 分

17. (本小题满分 12 分)省教育厅为了解该省高中学校办学行为规范情况,从该省高中学校 中随机抽取 100 所进行评估,并依据得分(最低 60 分,最高 100 分,可以是小数)将其分 别评定为 A、B、C、D 四个等级,现将抽取的 100 所各学校的评估结果统计如下表: 评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100 ] 评定等级 频率 D m C 0.62 B 0.32 A 2m

(Ⅰ)求根据上表求 m 的值并估计这 100 所学校评估得分的平均数; (Ⅱ)从评定等级为 D 和 A 的学校中,任意抽取 2 所,求抽取的两所学校等级相同的概率. 解(Ⅰ)由上表知: m ? 2m ? 0.62 ? 0.32 ? 1 ? m ? 0.02 …………………………… ……………………………2 分 设 100 所学校评估得分的平均数为 x ,则

x ? 65 ? 0.02 ? 75 ? 0.62 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.04 ? 78.8 分.

…………………5 分

(Ⅱ)由(1)知等级为 A 的学校有 4 所记作: x1 , x2 , x3 , x4 ;等级为 D 的学校有 2 所记作:

y1 , y2 从 x1 , x2 , x3 , x4 , y1, y2 中 任取两所学校取法有 ?x1, x2? 、? x1 , x3? 、?x1, x4? 、?x2 , x3? 、

?x2 , x4? 、?x3 , x4? 、?x1 , y1? 、?x1, y2? 、?x2 , y1? 、?x2 , y2? 、?x3 , y1? 、?x3 , y2? 、?x4 , y1? 、
?x4 , y2? 、 ? y1, y2? 共15 种.
…………………………………………………9 分

记事件 E 为”从 x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 中任取两所学校其等级相同”,则事件 E 包含的基本事 件有 ?x1, x2? 、 ? x1 , x3? 、 ?x1, x4? 、 ?x2 , x3? 、 ?x2 , x4? 、 ?x3 , x4? 、 ? y1, y2 ? 共 7 个 故 P( E ) ?

7 .……………………………………………………………………………12 分 15

18. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 ,点 E 在 PC 上, AE ? PC . (Ⅰ)证明:平面 AEB ⊥平面 PCD ; (Ⅱ)若二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,求异面直线 PD 与 AB 所成角的大小.

(第 19 题图)

【解析】 (Ⅰ)∵ AB ? 1, BC ?
2 2 2

2 , ?ABC ? 45 , BC cos ABC = 1 , AC = 1 ,∴ AB ? AC , ∴ AC = AB + BC - 2 AB 仔 ∵ AB // CD ,∴ CD ^ AC , ∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ^ PA ,又∵ AC I AP ? A , ∴ CD ? 平面 PAC ,∵ AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE , ∵ AE ? PC ,又∵ PC I CD ? C , ∴ AE ? 平面 PCD , 又∵ AE ? 平面 AEB ∴平面 AEB ⊥平面 PCD . ………………………6 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点, AB , AC , AP 所在射线分别为 x,y,z 轴的正半轴, P t? , A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , D(?1,1, 0) , 建立空间直角坐标系 A-xyz, 设A P(0, 0, t ) ( t ? 0 ). ∵ AB ? PC , AE ? PC , AB AE ? A ,∴ PC ? 平面 ABE , r uuu r ∴平面 ABE 的一个法向量为 n ? PC ? (0,1, ?t ) .

∵ AE ? PC ,∴ AE ? ∴ sin ? ? ∴ E (0,

t 1? t2

.设 ?EAC ? ?APC ? ? ,

t 1? t
2

, cos ? ?

1 1? t2

t2 t , 2 ). 2 t ?1 t ?1

设 平 面 AED 的 一 个 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , ∵ AE ? (0,

u r

uuu r

uuu r AD ? (?1,1,0) , ? t2 t u r ?y? 2 ?z ?0 ? 2 x ? 1 ∴ ?t ?1 ,令 ,得 m ? (1,1, ?t ) . t ?1 ? ?x ? y ? 0 ?
∵二面角 B ? AE ? D 的大小为 150 ,

t2 t , 2 ) , 2 t ?1 t ?1

r u r r u r | n?m | | t 2 ? 1| 3 r ? ?| cos150o |? ∴ | cos n, m |? r u ,解得 t ? 2 . 2 2 2 | n || m | t ?1 t ? 2
∴在 RtD PCD 中, PC ? 3 , CD ? 1 ,∴ ?PDC ? 60 . ∵ AB // CD ,∴异面直线 PD 与 AB 所成角为 ?PDC , ∴异面直线 PD 与 AB 所成角的大小为 60 ……………………………12 分

19. (本小题满分 13 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这
?1, 1 ? x ? 20 ? x ? N *? , ? 个产品期间第 x 个月的利润函数 f ? x ? ? ? 1 (单位:万元) .为了 ? x, 21 ? x ? 60 ? x ? N *? ?10

获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润率 为
g ? x? ?

f ? 3? 第x个月的利润 ,例如 g ? 3? ? . 第x个月的资金总和 81 ? f ?1? ? f ? 2 ?

(Ⅰ)求 g ?10 ? ;及第 x 个月的当月利润率; (Ⅱ)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润 率. 【解析】 (Ⅰ)依题意得 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ?
? g ?10 ? ? f ?10 ? ? 1 . 90

? f ? 9? ? 1 ,

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ?9?

………………………3

分 当 x ? 1 时, g ?1? ?

1 . 81

当 1 ? x ? 20 时, f ?1? ? f ? 2? ?
g ? x? ? f ? x?

? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,则
? 1 , 80 ? x

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ? x ? 1?

而 x ? 1 也符合上式,故当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 . 80 ? x
f ? x? ? f ? x ? 1?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ? 20 ? ? f ? 21? ?

1 x 10 ? 81 ? 20 ? f ? 21? ?

1 x 2x 10 , ? ? 2 x ? 21?? x ? 20 ? x ? x ? 1600 ? f ? x ? 1? ? 101 ? 20

? 1 ,1 ? x ? 20 ? ? 80 ? x ∴,第 x 个月的当月利润率为 g ? x ? ? ? .……………………8 分 2x ? , 21 ? x ? 60 ? x 2 ? x ? 1600 ?

(Ⅱ)当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?

1 1 是减函数,此时 g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? . 80 ? x 81

2x 2 2 ? ? , 1600 x ? x ? 1600 x ? 79 ?1 x
2

当且仅当 x ?

2 1600 ,即 x ? 40 ? N * 时, g ? x ? 有最大值为 . 79 x

2 2 1 ? ,? 当 x ? 40 时, g ? x ? 有最大值为 , 79 79 81 即 该 企 业 经 销 此 产 品 期 间 , 第 40 个 月 的 当 月 利 润 率 最 大 , 其 当 月 利 润 率 为 2 .…………13 分 79
20. (本小题满分 13 分) 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设
2

动直线 l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为 直径的圆记为圆 C . (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)证明:圆 C 与 x 轴必有公共点; (Ⅲ)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标; 若不存在,说明理由. 【解析】 (Ⅰ)利用抛物线的定义得 F (

p p 2 , 0) ,故线段 FA 的中点的坐标为 ( , ), 2 4 2











2p?

p 1 ? 4 2







p ? 1.

……………………2 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为 y 2 ? 2 x ,从而抛物线的准线方程为 x ? ?

1 2



? y2 ? 2x k 2 由? 得方程 y ? y ? m ? 0 , 2 ? y ? kx ? m
?k ? 0 ?k ? 0 ? 由直线与抛物线相切,得 ? ?? 1 , m ? ?? ? 0 ? 2k ?
且y?

1 1 1 1 ,从而 x ? ,即 P ( 2 , ) , 2 k 2k 2k k

1 ? y ? kx ? ? 1 1? k 2 ? 2k Q ( ? , ), 由? ,解得 1 2 2 k ?x ? ? ? ? 2
∴ PQ 的中点 C 的坐标为 C (

1? k 2 3 ? k 2 3? k2 2 2 C d ? ( ) , , ) ,圆心 到 轴距离 x 4k 4k 2 4k

1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) , 2k 2 2k
∵(

1 1 1? k 2 2 1? k 2 2 3? k2 2 3k 2 ? 1 2 ? ( ) ?0 PQ )2 ? d 2 ? [( ) ? ( ) ] ? ( ) 4k 2 2 4 2k 2 2k 4k

∴圆 C 与 x 轴总有公共点. (或 法二:由 P (

1 1? k 2 1 1 , ) Q ( ? , ) ,以线段 PQ 为直径的方程为: , 2k 2 k 2 2k

(x ?

1 1 1 1? k 2 )( x ? ) ? ( y ? )( y ? )?0 2k 2 2 k 2k
2

令 y ? 0得 x ?

k 2 ?1 1 ? 2k 2 x ? ?0 2k 2 4k 2
………………8

k 2 ?1 2 1 ? 2k 2 (3k 2 ? 1)2 ??( ) ? 4? ? ? 0 ,所圆与 x 轴总有公共点). 2k 2 4k 2 4k 4

分 (Ⅲ)假设平面内存在定点 M 满足条件,由抛物线对称性知点 M 在 x 轴上,

设点 M 坐标为 M ( x1 ,0) , 由(Ⅱ)知 P (

1 1? k 2 1 1 , ) Q ( ? , ) , 2k 2 k 2 2k

∴ MP ? (

1 1 1 1? k 2 ? x , ), MQ ? ( ? ? x , ) . 1 1 2k 2 k 2 2k

1 1 1 1? k 2 ?0 由 MP ? MQ ? 0 得, ( 2 ? x1 )(? ? x1 ) ? ? 2k 2 k 2k
∴ x1 ?
2

1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 x ? x ? x ? ? 0 ,即 或 1 1 1 2 2k 2 2k 2 4k 2
1 2
……………………13 分

∴平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M .

证 法 二 : 由 ( Ⅱ ) 知 P(

1 1? k 2 1 1 , ) Q ( ? , ) , PQ 的 中 点 C 的 坐 标 为 , 2k 2 k 2 2k

1? k 2 3 ? k 2 C( , ) 4k 2 4k 1? k 2 2 1? k 2 2 2 PQ ? ( ) ?( ) , 2k 2 2k
∴圆 C 的方程为 ( x ?

1? k 2 2 3 ? k 2 2 1 1? k 2 2 1? k 2 2 ) ? ( y ? ) ? [( ) ?( ) ] , 4k 2 4k 4 2k 2 2k

1 1 1 1 3? k2 2 ( ? x) ? ( )y ? 0 , 整理得 x ? x ? y ? ? 2 2 2k 2 2 2k
2

上式对任意 k ? 0 均成立,

1 ? 2 1 2 ?x ? 2 x ? y ? 2 ? 0 1 ? ? ?1 ?x ? 当且仅当 ? ? x ? 0 ,解得 ? 2 ?2 ? ?y ? 0 ?y ? 0 ? ?
1 2



∴平面上存在定点 M ( , 0) ,使得圆 C 恒过点 M . 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e sin x .
x

……………………13 分

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对于任意的 x ? [0,

?
2

] , f ( x) ≥ kx 总成立,求实数 k 的取值范围;

(Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? e x cos x , x ? ? ?

? ?1 ? 2013? 2015? ? , 0) 作 . 过点 M ( , ? 2 2 2 ? ?

函数 F ( x) 图像的所有切线,令各切点的横坐标构成数列 ?xn ? ,求数列 ?xn ? 的所有项 之和 S 的值. 【解析】 (Ⅰ)由于 f ( x) ? e x sin x ,∴

f '( x) ? e x sin x ? e x cos x ? e x (sin x ? cos x) ? 2e x sin( x ? ) . 4 ? ? 3? ) 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? ? (2k? , 2k? ? ? ) ,即 x ? (2k? ? , 2k? ? 4 4 4 ? 3? 7? , 2 k? ? ) 时, f '( x) ? 0 . 当 x ? ? (2k? ? ? , 2k? ? 2? ) ,即 x ? (2k? ? 4 4 4 ? 3? ) ,单调递减区间为 ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 (2k? ? , 2k? ? 4 4 3? 7? (2k? ? , 2 k? ? ) ( k ? Z ) . …4 分 4 4
x (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx ,要使 f ( x) ? kx 总成立,只需 x ? [0,

?

?
2

]时

g ( x)min ? 0 .对 g ( x) 求导得 g?( x) ? ex (sin x ? cos x) ? k ,
令 h( x) ? e (sin x ? cos x) ,则 h?( x) ? 2e cos x ? 0 ,( x ? (0,
x x

?
2

))

∴ h( x) 在 [0,

?
2

] 上为增函数,∴ h( x) ? [1, e 2 ] .

?

对 k 分类讨论: ①当 k ? 1 时,g ?( x) ? 0 恒成立, ∴ g ( x) 在 [0, 即 g ( x) ? 0 恒成立; ②当 1 ? k ? e 2 时, g ?( x) ? 0 在上有实根 x0 ,∵ h( x) 在 (0,
?

?
2

] 上为增函数, ∴ g ( x)min ? g (0) ? 0 ,

?
2

) 上为增函数,

∴当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x0 ) ? g (0) ? 0 ,不符合题意; ③当 k ? e 2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,∴ g ( x) 在 (0,
?

?
2

) 上为减函数,则 g ( x) ? g (0) ? 0 ,

不符合题意. 综合①②③可得,所求的实数 k 的取值范围是 (??,1] . ……………………8 分

(Ⅲ)∵ F ( x) ? f ( x) ? e x cos x ? e x (sin x ? cos x) ,∴ F ?( x) ? 2ex cos x , 设切点坐标为 ( x0 , e 0 (sin x0 ? cos x0 )) ,则斜率为 f '( x0 ) ? 2e 0 cos x0 ,
x x

切线方程为 y ? e 0 (sin x0 ? cos x0 ) ? 2e 0 cos x0 ? ( x ? x0 ) ,
x x

将M(

? ?1
2

, 0) 的坐标代入切线方程,得 ?e x0 (sin x0 ? cos x0 ) ? 2e x0 cos x0 ? (

? ?1
2

? x0 )

? tan x0 ? 1 ? ?2( x0 ?

? ?1

) ,即 tan x0 ? 2( x0 ? ) , 2 2

?

令 y1 ? tan x , y2 ? 2( x ?

?

) ,则这两个函数的图像均关于点 ( , 0) 对称, 2 2

?

它们交点的横坐标也关于

? ? 对 称 成 对 出 现 , 方 程 tan x ? 2( x ? ) , 2 2

x ? [?


2011? 2013? , ] 的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 {xn } 的项也关 2 2

? 对称成对出现, 2
? 2013? 2015? ? 内共构成 1007 对,每对的和为 ? , , 2 2 ? ? ?
……………………13 分

在 x ? ??

因此数列 {xn } 的所有项的和 S ? 1007? .


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