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调和点列1


从交比到调和点列 到 Apollonius 圆 到 极线极点
如图 1 ,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中 点),D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于 点 M. 求证 : 若 OK⊥MN,则 ABDC 四点共圆. 图 2 证明 : 本文用[ABC]表示 ABC 面积,则



从而可知线束交比与所截直线无关。 定义 2 调和线束与调和点列 : 交比为-1, 即 的线束称为调和线束,点

图 1

本题颇有难度,参考答案的反证法让 有些人“匪夷所思”,其实这是一系列射影几 何中常见而深刻结论的自然“结晶”,此类问 题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜 。 本文拟系统的介绍交比、调和点列、完全 四边形、 Apollonius 圆、极线等射影几何 的重要概念及应用,抽丝剥茧、溯本求源, 揭示此类问题的来龙去脉,并在文中给出 上题的一种简洁明了的直接证明。 知识介绍 定义 1 线束和点列的交比 : 如图 2 ,共 点于 O 的四条直线被任意直线所截的有向 线段比 称为线束 OA、OC、OB、

列称为调和点列 。显然调和线束与调和点 列是等价的,即调和线束被任意直线截得 的四点均为调和点列,反之,调和点列对 任意一点的线束为调和线束。 定理 2 调和点列常见形式 : (O 为 CD 中 点) (1)、 (2)、 (3)、 AC*AD=AB*AO (4)、 AB*OD=AC*BD 证明 : 由基本关系式变形即得,从略。 定理 3 一直线被调和线束中的三条平分 当且仅当它与第四边平行(由定义即得, 证略) 定义 3 完全四边形: 如图 3 ,凸四边形 ABCD 各边延长交成的图形称为完全四边 形 ABCDEF ,AC 、BD 、EF 称为其对角线 (一般的四条直线即交成完全四边形)[2] 。

OD 或点列 ACBD 的交比。[1] 定理 1 线束的交比与所截直线无关。

定理 4 完全四边形对角线互相调和分割 。 即 AGCH 、 BGDI 、 EHFI 分别构成调和点 列。



)的点的轨迹为圆,称为

Apollonius 圆, 为古希腊数学家 Apollonius 最先提出并解决[2](注 : 当 k=1 时轨迹为 AB 中垂线也可看成半径为无穷大的圆)。 证明: 如图 4 由 AP=kPB ,则在 AB 直线 上有两点 C 、 D 满足 故 PC 、 PD 分 别 为 ∠APB 的 内 外 角 平 分 线,则 CP⊥DP ,即 P 点的轨迹为以 CD 为直径的圆 O(O 为 CD 中点) 。(注 : 解析 法亦可证得) 显然图 4 中 ACBD 为调和点列。 定理 6 在图 4 中,当且仅当 PB⊥AB 时, AP 为圆 O 的切线。 证 明 : 当 PB⊥AB 时 ∠APC=∠BPC=∠CDP 故 AP 为圆 O 的切 线,反之亦然。 定理 7 Apollonius 圆与调和点列的互推 如下三个条件由其中两个可推得第三个 : 1.PC (或 PD )为∠APB 内(外)角平分 线 2. CP⊥PD 3.ACBD 构成调和点列(证略) 定义 5 反演 : 设 A 为○O(r)平面上点, B 在射线 OA 上,且满足 OA*OB=r*r ,则 称 A、B 以○O 为基圆互为反演点。 定理 8 图 4 中 ,以 Apollonius 圆为基 圆, AB 互为反演点 。(由定理 2 ( 2 )即 得。) 定义 6 极线与极点 : 设 A 、 B 关于○O ( r )互为反演点,过 B 做 OA 的垂线 l 称 为 A 点对圆 O 的极线 ; A 点称为 l 的极点。 [3] 定理 9 当 A 点在○O 外时,A 的极线为 A 的切点弦。(由定理 6 即得。)

图 3 分析 : 只需证 EHFI 为调和点列,其余可类 似证得,也可由线束的交比不变性得到。 证法一 : 面积法

,即 证 法 二 : 由 Ceva 定

。 理

, 由 Menelaus 定 理 得到 ,故 ,

即 EHFI 为调和点列。 定理 5 完全四边形 ABCDEF 中,四个三 角形 AED 、 ABF 、 EBC 、 FDC 的外接圆共 点,称为完全四边形的密克(Miquel)点。 证明: 设出两圆交点,证它在其余圆上即 可。

图 4 定义 4 阿波罗尼斯(Apollonius)圆 :到 两定点 A 、B 距离之比为定值 k

即 A 在 D 的极线上。 定理 12 在图 6 中,若 A、D 共轭,则

图 5

定理 10 若 A 的极线为 l ,过 A 的圆的割 线 ACD 交 l 于 B 点,则 ACBD 为调和点 列。 证明 : 如图 5,设 A 的切点弦为 PQ,则

即 ACBD 为调和点列。 定理 11 配极定理 : 如图 6 ,若 A 点的极 线通过另一点 D,则 D 点的极线也通过 A 。 一般的称 A、D 互为共轭点。 证 法 一: 几 何 法 , 作 AF⊥OD 于 F , 则 DFGA 共圆,得 OF*OD= OG*OA = 由定义 6 知 AF 即为 D 的极线。 ,

定义 7 调和四边形: 对边积相等的圆内 接四边形称为调和四边形 。(因圆上任意 一点对此四点的线束为调和线束,故以此 命名) 定理 13 图 5 中 PDQC 为调和四边形。 证明 : 由定理 9 的证明过程即得。 例题选讲 例 1 如图 7 ,过圆 O 外一点 P 作其切线 PA 、PB ,OP 与圆和 AB 分别交于 I 、M , DE 为过 M 的任意弦。求证 : I 为△PDE 内 心。(2001 年中国西部数学奥林匹克) 分析 : 其本质显然为 Apollonius 圆。 证 明: 由 定 理 6 知 圆 O 为 P 、 M 的 Apollonius 圆,则 DI、EI 分别为△PDE 的 内角平分线,即 I 为△PDE 内心。

图 7 例 2 如图 8,△ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上任一点,则∠ADF=∠ADE(1994 年 加拿大数学奥林匹克试题) 图 6 证 法 二: 解 析 法 , 设 圆 O 为 单 位 圆 , A ( ), D( ),A 的极线方程为

, 由 D 在 其 上 , 得 ,则 A 在 上,

图 8 证明: 对完全四边形 AFHEBC ,由定理 4 知 FLEK 为调和点列 。又 AD⊥BC ,由定 理 7 得∠ADF=∠ADE 。

图 11

图 9 例 3 如图 9 ,完全四边形 ABCDEF 中, GJ⊥EF 与 J ,则∠BJA=∠DJC ( 2002 年 中国国家集训队选拔考试题) 证明 : 由定理 4 及定理 7 有∠BJG=∠DJG 且∠AJG=∠CJG,则∠BJA=∠DJC 。

例 5 如图 11,P 为圆 O 外一点,PA、PB 为圆 O 的两条切线 。PCD 为任意一条割 线 , CF 平 行 PA 且 交 AB 于 E 。求 证: CE=EF(2006 国家集训队培训题) 证明 : 由定理 10 及定理 3 即得。 例 6 如图 12,PAB、PCD 为圆 O 割线, AD 交 BC 于 E,AC 交 BD 于 F,则 EF 为 P 的极线。 (1997 年 CMO 试题等价表述) 证法一: 作 AEB 外接圆交 PE 于 M ,则 PE*PM=PA*PB=PC*PD , 故 CDME 共 圆 (其实 P 为三圆根心且 M 为 PAECBD 密 克 点 ) , 从 而 ∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD, BOMD 共 圆 。 ∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE= 90° 故 M 为 ST 中 点 , PS*PT= PA*PB=PE*PM ,由定理 2 ( 3 )知 E 在 P 极线上,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线。

图 10 例 4 已知 : 如图 10,△ABC 内角平分线 BE 、 CF 交于 I ,过 I 做 IQ⊥EF 交 BC 于 P,且 IP=2IQ 。求证 : ∠BAC=60° 证明 : 做 AX⊥EF 交 BC 于 Y,由定理 4 知 AD’ID 为 调 和 点 列 , 故 ,又 IP=2IQ,则 AX=XY,即 EF 为 AY 中垂线,由正弦定理 ,则 AFYC 共 圆 , 同 理 AEYB 共 圆 , 故 ∠BYF=∠BAC=∠CYE=∠EYF , 故 ∠BAC=60° 。

图 12

图 14

图 13 证法二 : 如图 13,设 PS、PT 为圆 O 切线。 在△ABT 中,可以得到

证明: 如图 14 ,由定理 13 知 GFDE 为调 和 四 边 形 , 据 托 勒 密 定 理 有 GD*EF=2FG*DE, 同 理 HF*DE=2DH*EF 相 乘 得 GD*FH= 4DH*FG 又 由 托 勒 密 定 理 GD*FH= DH*FG+FD*GH,代入即得

由塞瓦定理逆定理知 ST、AD、BC 三线共 点于 E,同理 F 亦然,故 EF 为 P 的极线。 至此,点 P 在圆 O 外时,我们得到了 P 点极线的四种常见的等价定义 : 1、过 P 反演点做的 OP 的垂线。 2 、过 P 任意作割线 PAB , AB 上与 PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。 3、P 对圆 O 的切点弦。 4、过 P 任意做两条割线 PAB、PCD,AD、 BC 交点与 AC、BD 交点的连线。(注 : 切线为割线特殊情形,故 3、4 是统一 的) 例 7 △ABC 内切圆 I 分别切 BC、AB 于 D、F,AD、CF 分别交 I 于 G、H 。求证 : (2010 年东南数学奥林匹克)

图 15

例 8 已知 :如图 15, △ABC 内切圆切 BC 于 D,AD 交圆于 E,作 CF=CD,CF 交 BE 于 G。 求证 : GF=FC(2008 年国家队选拔) 证明 : 设另两切点为 H、I,HI 交 BD 于 J, 连 JE 。由定理 10 知 AEKD 为调和点列, 由定理 11 知 AD 的极点在 HI 上,又 AD 极点在 BD 上,故 J 为 AD 极点 ; 则 JE 为 切线, BDCJ 为调和点列,由 CF=CD 且 JD=JE 知 CF//JE,由定理 3 知 GF=FC 。 (注 : 例 8 中 BDCJ 为一组常见调和点列) 例 9 如 图 16 , 圆 内 接 完 全 四 边 形 ABCDEF 中 AC 交 BD 于 G ,则 EFGO 构 成 垂 心 组( 即 任 意 一 点 是 其 余 三 点 的 垂 心)。 证明 : 据例 6 知 EG,FG 共轭,由定理 12

则 OG⊥EF,其余垂直同理可证。

图 17

图 16 注: △EFG 称为极线三角形 。本题结 论优美深刻,初版于 1929 年的 [4] 已有介 绍,它涉及到调和点列、完全四边形、密 克点、极线、 Apollonius 圆、垂心组等几 何中的核心内容。本文开头提到的 2010 年 联赛题为本题的逆命题,熟悉上述内容的 情况下,采用参考答案的反证法在情理之 中 : 如图 1 ,设 D 不在圆 O 上,令 AD 交 圆 O 于 E , CE 交 AB 于 P , BE 交 AC 于 Q 。由例 9 得 PQ//MN ; 由定理 4 得 MN 、 AD 调 和 分 割 BC , 同 理 PQ 亦 然 , 则 PQ//MN//BC ,从而 K 为 BC 中点,矛盾 ! 故 ABCD 共圆。 其实本题也可直接证明,如下 : 如图 17 ,由例 3 得∠1=∠2; 又 K 不是 BC 中 点 , 类 似 例 4 证 明 可 得 OBJC 共 圆; ∠MJB=∠NJC= =∠BAC , 由 定

以例 9 为背景的赛题层出不穷,再举 几例,以飨读者。 例 10 △ADE 中,过 AD 的圆 O 与 AE 、 DE 分别交于 B、C,BD 交 AC 于 G,直线 OG 与△ADE 外接圆交于 P 。求证: △PB D 、△PAC 共内心(2004 年泰国数学奥林 匹克) 分析 : 本题显然为密克点、Apollonius 圆、 极线及例 9 等深刻结论的简单组合。 证明 : 如图 16 ,由定理 5 及例 9 知 PG 互 为 反 演 点 , 据 定 理 8 知 圆 O 为 PG 的 Apollonius 圆,由例 1 知△PBD 与△PAC 共内心。 例 11 △ABC 中 , D 在 边 BC 上 且 使 得 ∠DAC=∠ABC ,圆 O 通过 BD 且分别交 AB、AD 于 E、F,DE 交 BF 于 G, M 为 AG 中点,求证: CM⊥AO ( 2009 年国家 队选拔)

理 5 得 J 为 ABDCMN 密 克 点 , 则 ∠BDM=∠BJM=∠BAN 故 ABDC 共圆。

图 18

证明 : 如图 18,设 EF 交 BC 于 J 。由定理 3 得 AKGL 为调和点列,由定理 2(4)有 LK*GM=LG*KA , 又 ∠CAD=ABD=∠JFD 故 EJ//CA , 则 即

JG//CM 而由例 9 有 JG⊥OA ,故 CM⊥A O。

例 9 中 OG EF 对圆外切四边形亦然。 例 12 如图 19,设圆 O 的外切四边形 A’B’ C’D’ 对边交于 E’F’ , A’C’ 交 B’D’ 交于 G’ , 则 OG’⊥E’F’ 。( 2009 年土耳其国家队选 拔)

AD 、CE 三线共点 。(2002 年伊朗国家队 选拔考试题) 分析: 本题一般思路为 Ceva 定理计算, 计算量较大 。而且有人将其推广为对 AD 上任意一点 K ,都有本结论成立(如图 2 1)。推广题难度极大,网络上有人用软件 大量计算获证,也有高手通过复杂的计算 得证 [5] 。其实从调和点列、极线角度看本 题结论显然,对推广题证明如下 :

图 19 证明 : 设四边切点为 ABCD,AC 交 BD 于 G,AB 交 CD 于 E,AD 交 BC 于 F,由例 6 知 BD、AC 极点 E’、F’在 EF 上,则 G’与 G 重合,由例 9,即得 OG’⊥E’F’ 。
图 21

证明 : 如图 21 ,设另两个切点 MN 交 BC 于 J ,由例 8 得 BDCJ 为调和点列,故对 AD 上 K 点,由定理 1 知 EF 必过 J 点 ;由 定理 4 对完全四边形 BEFCJK 必有 CE 、 BF、AK 共点。 练习 : 1 H 是锐角△ABC 的垂心,以 BC 为直径 作圆,自 A 作切线 AS、AT 。 求证 : S、H、T 三点共线。(1996CMO 试题) 提示 : 本题为例 6 特例 2 求证在完全四边形 ABCDEF 中,过 A C、BD 交点做 AB 平行线被 CD、EF 平分。 提示 : 由定理 4 及定理 3 即得 3 △ABC 中,AD⊥BC,H 为 AD 上一点, BH、CH 分别交对边于 E、F,EF 交 AD 于 K ,任意做过 K 的直线与 CF 、CE、CD 交 于 M、N、Q,都有∠MDF=∠NDE 。 (2003 年保加利亚数学奥林匹克) 提示 : 由例 2 及定理 4 类比例 3 即得。 4 设以 O 为圆心的圆经过△ABC 的两个 顶点 A 、 C ,且与边 AB 、 BC 分别交于两 个不同的点 K 和 N ,又△ABC 和 KBN 的 外 接 圆 交 于 点 B 及 另 一 点 M , 求 证:

图 20 例 13 如图 20 , ABCD 为圆 O 的外切四 边 形 , OE⊥AC 于 E , 则 ∠BEC=∠DEC(2006 年协作题夏令营测试 题) 分析: 由定理 7 知垂直证等角必为调和点 列。 证明 : 如图 20,做出辅助线,由例 12 知 F I 、GH 、BD 共点于 M ,且为 AC 的极点, 从而 OE 也过 M,且 BLDM 构成调和点列, 由定理 7 得∠BEC=∠DEC 。 最后我们看一道伊朗题及其推广 例 14 △ABC 内切圆 I 切 BC 于 D , AD 交 I 于 K。 BK、CK 交 I 于 E、F,求证 : BF、

∠OMB 为直角。(第 22 届 IMO) 提示 : 由定理 3 及例 9 即得 参考文献 : 1、《高等几何》 梅向明等 1988 年 高等 教育出版社 2、《初等数学复习及研究(平面几何)》 梁绍鸿 2008 年 哈尔滨工业大学出版社 3、《射影几何趣谈》 冯克勤 1983 年 上 海教育出版社 4 、《近代欧氏几何》 单墫 译 1999 年 上海教育出版社 5、《多功能题典(高中数学竞赛)》 单墫 熊斌 2008 年 华东师范大学出版社


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