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3.第三讲:指数函数对数函数


第三讲
一、引言

指数函数、对数函数

1.指数函数、对数函数是重要初等函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位. 2.考纲要求:考纲对本专题内容要求为:理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算; 理解对数的概念与运算性质;理解指数函数和对数函数的概念和性质,掌握图象及其特点;
x 了解函数 y ? a 与 y ? lo

g a x ? a ? 0 且 a ? 1 ? 互为反函数,会求简单的反函数.

3.考情分析:从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数的考查,大多以基本 函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题,在 2010 年高考试题 对专题内容的考查仍将坚持这种命题方向.因此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明 确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

二、考点梳理
1.指数与对数运算 (1)根式的概念: ①定义:若一个数的 n 次方等于 a ( n ? 1, 且 n ? N ) ,则这个数称 a 的 n 次方根.即若
x
n
?

? a ,则 x 称 a 的 n 次方根 n ? 1且 n ? N ) .

?

1)当 n 为奇数时, a 的 n 次方根记作 n a ; 2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记 作?
n

a (a ? 0) .

n ②性质:1) ( n a ) ? a ;

2)当 n 为奇数时, n a n ? a ; 3)当 n 为偶数时, n a ? | a | ? ? (2)对数的概念 ①定义:如果 a ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) 的 b 次幂等于 N,就是 a 的对数,记作 log
N ? b , 其中 a 称对数的底,N 称真数.
b

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)



? N ,那么数 b 称以 a 为底 N

a

1)以 10 为底的对数称常用对数, log

10

N 记作 lg N ;
N ,记作 ln N .

2)以无理数 e ( e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ) 为底的对数称自然对数, log ②基本性质: 1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;

e

1

2) log 3) log

a

1 ? 0; a ?1;
log N

a

4)对数恒等式: a

a

? N .

③运算性质:如果 a ? 0 , a ? 0 , M ? 0 , N ? 0 , 则 1) log 2) log 3) log
( MN ) ? log M ? log N ;

a

a

a

M
a

? log
n

N
M

a

M ? log

a

N ;

a

? n log

a

M ( n ? R) .

④换底公式: log

a

N ?

log log

m m

N a

( a ? 0 , a ? 0 , m ? 0 , m ? 1 , N ? 0 ),

1) log 2) log

a

b ? log
n

b

a ? 1;

a

m

b

?

n m

log

a

b .

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数:函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 叫做指数函数,其中 x 是自变量.
x

(2)对数函数:把函数 y ? log (3)指数函数和对数函数的性质: 指数函数

a

x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) 叫做对数函数,其中 x 是自变量.

对数函数

图象

定义域 值域

? ?? , ?? ? ? 0, ?? ?
(1)函数过点 ? 0 ,1 ? ;

? 0, ?? ? ? ?? , ?? ?
(1)函数过点 ? 1, 0 ? ;
x

性质

(2)当 a ? 1 时, y ? a 是增函数, 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数;
x

(2)当 a ? 1 时, y ? lo g a x 是增函数, 当 0 ? a ? 1 时, y ? lo g a x 是减函数;

2

(3)若 a ? 1 , 则当 x ? 0 时, y ? 1 , 当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ; 若 0 ? a ? 1 ,则当 x ? 0 时,
0 ? y ? 1 ,当 x ? 0 时, y ? 1 .

(3)若 a ? 1 , 则当 x ? ( 0 ,1 ) 时,y ? 0 , 当 x ? (1, ?? ) 时, y ? 0 ; 若 0 ? a ? 1 ,则 x ? ( 0 ,1 ) 时, y ? 0 ,
x ? (1, ?? ) 时, y ? 0 .

3.反函数 (1)概念:设 A , B 分别是函数 y ? f ? x ? 的定义域和值域,若对函数 y ? f ? x ? 所得的
x ?? x ??

? y ? 也是一个函数,即对任意的 y ? ? y ? 是函数 y
?1

B ,都有唯一的 x ? A 与之对应,那么就称函数

? f

? x ? 的反函数,记作 x

? f

?1

? y ? .其中 y 是自变量, x 是 y 的函数,

习惯上写成 y ? f

? x ? , ? x ? B , y ? A ? 的形式.

由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数. (2)反函数的性质: ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称; ②若函数 y ? f ? x ? 上有一点 ? a , b ? ,则 ? b , a ? 必在其反函数的图象上;反之若点 ? b , a ? 在反函数的图象上,则 ? a , b ? 必在原函数图象上.

三、典型例题选讲
? ? ?1 3 ? a ?b ? ? ?
2 6 ? 1 2 ? 1 2 1

3

例1

计算:(1) a ? a
2

3

?3

?

?a ?
?5

?

1 2

? ? ? 2 ?a ? ? ?
1

13

?a
5

?b3

;(2)



a ?b

(3) lg 2 5 ? lg 5 0 ? lg 2 ? lg 5 0 0 ? ? lg 2 ? ;(4) ( lo g 3 2 ? lo g 9 2 ) ? ( lo g 4 3 ? lo g 8 3 ) .
2

分析: 对涉及指数与对数运算的问题, 熟练运用对数式和指数式的运算公式是解决本题 的基础和前提,同时在计算过程中要注意分解、配方等.
1 1 ? 1 2 1

? 解: (1)原式 ? ? a 2 ? a ?
3
1 3 1

?

3 2

? ? ?5 ? ? ?? a ? ? ? ?
3
1

? ?? a ?

?

1 2

? 13 ? 2 0 ? ? ? ?a ? ? ?

?

1 3

? ?? a 2 ?a ?
5

?

13 2

?2 ?4 ? ? ?a ?

?

1 2

? a

?2



?

(2)原式 ?

a

b2 ?a
1 5 6

?

1 2

b3

? a

?

1 3

?

1 2

?

1 6

1

?b

?

1 3

?

5 6

2

?

1 a



a b

6

3

(3)解法一:原式 ? 2 lg 5 ? ? lg 5 ? 1 ? ? lg 2 ? ? lg 5 ? 2 ? ? ? lg 2 ?
? 1 ? 3 lg 5 ? 2 lg 2 ? lg 2 ? ? lg 5 ? lg 2 ? ? 1 ? 3 lg 5 ? 3 lg 2 ? 1 ? 3 ? lg 5 ? lg 2 ? ? 4

2

解法二:原式 ? ? lg 5 0 ? lg 2 ? ? lg 5 0 ? lg 2 ? ? lg 5 0 0 ? lg 2 ?
? 2 lg 5 0 ? lg 2 ? 3 lg 2 ? 2 ? lg 5 0 ? lg 2 ? ? 4 ;
lg 2 lg 3 3 lg 2 5 lg 3 lg 2 lg 9 5 4 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 2 lg 3 lg 3 2 lg 2 lg 3 3 lg 2

(4)原式 ? (

?

)?(

?

) ? (

?

)?(

?

)

?

?

?

.

2 lg 3 6 lg 2

归纳小结:对于对数的运算,主要的技能是熟练运用各种运算性质.在对数式的运算中 有两种运算方法: 一是将对数式的运算直接利用运算性质转化为真数的运算; 二是如果对数 式中的真数具有乘、除、乘方、方根的特点,可利用运算性质将对数式转化为同底对数式的 运算. 例2
b 已知 lo g 2 3 ? a , 3 ? 7 ,用 a , b 表示 lo g 4 2 5 6 .

b 分析:关于指数式和对数式有如下关系: a ? N , b ? lo g a N ( a ? 0 ,且 a ? 1) .在

解决指数问题时常取对数,而解决对数问题又常将它转化成指数问题. 解法一:∵ lo g 2 3 ? a ,∴ lo g 3 2 ?
b ∵ 3 ? 7 ,∴ lo g 3 7 ? b .

1 a

.

∴ lo g

42

56 ?

lo g 3 5 6 lo g 3 4 2

?

lo g 3 7 ? 3 ? lo g 3 2 lo g 3 7 ? lo g 3 2 ? 1

?

ab ? 3 ab ? a ? 1

.

b 解法二:∵ 3 ? 7 ,∴ lo g 3 7 ? b .

∴ lo g

42

56 ?

lg 5 6 lg 4 2

?

lg 8 ? lg 7 lg 6 ? lg 7

?

3 lg 2 ? b lg 3 lg 2 ? lg 3 + b lg 3 ab ? 3 ab ? a ? 1

?

3 lg 2 ? b ? a lg 2 lg 2 ? a lg 2 + b ? a lg 2

?

.

归纳小结:(1)本题考查了指数式和对数式的运算性质及互相转化的公式,根据问题条 件灵活选择转化形式,考查了数学转化思想和灵活计算的能力. (2)当条件中同时出现指数式和对数式时,一般需要把问题转化到同一种形式上,这里

4

将指数式转化为对数式,或把对数式转化为指数式.同时当对数的底数是不同时,可利用换 底公式将对数换成同底的对数,以便利用已知条件和对数性质求值. 例3
2 n ① (2007 安徽卷) a ? 1 ,且 m ? lo g a ( a ? 1) , ? lo g a ( a ? 1) ,p ? lo g a ( 2 a ) , 设

则 m , n , p 的大小关系为( ) A. n ? m ? p B. m ? p ? n ②(2008 北京卷)若 a ? 2
0 .5

C. m ? n ? p
2π 5

D. p ? m ? n ,则( )

, b ? lo g π 3 , c ? lo g 2 s in

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 分析: ①要具体求出这三个数值比较困难, 但可以利用函数图象和性质判断出这三个数 值的范围,从而比较大小;②选项 B、D 是不同底函数值,比较大小麻烦,所以考虑使用特 殊值. 解:①∵ a ? 1 ,∴函数 y ? lo g a x 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增.
2 ∵ a ? 1 ? 2 a ? a ? 1 ,∴ b ? lo g π 3 m ? p ? n .

故选 B. ②∵ a ? 2
0 .5

? 2

0

? 1 , b ? lo g π 3 ? lo g π ? ? 1 , c ? lo g 2 s in

2π 5

? lo g 2 1 ? 0 .

∴a ? b ? c . 故选 A. 归纳小结:(1)本题考查了指数函数和对数函数的图象与性质,比较大小的常用方法, 涉及到对数形结合思想、分析能力和逻辑思维能力的考查. (2)幂的大小、 对数大小比较往往是把它们转为同底函数的大小比较, 常用方法主要有: ①作差法;②单调性法;③作商法.当底数相同,指数(真数)不同时,可以利用函数单调 性比较;当底数不同,指数(真数)相同时,可以利用函数图象特点进行比较;当底数不同, 指数(真数)也不同时,可以利用中间值 0 或 1 进行比较.在比较大小时,特殊值法也是一 种常用,而且比较有效的方法. 例4 已知 a ? 0 ,在同一坐标系中, y ? a 与 y ? lo g a ? ? x ? 的图象是(
x



分析: 画指数和对数函数的图象, 应对底数 a 的大小作分类讨论, 再结合函数的单调性, 或抓住指数、对数函数互为反函数的图象特征即可. 解法一:考虑 y ? lo g a ? ? x ? 的定义域为 ? ? ? , 0 ? ,则对数函数图象只能在 y 轴左侧, 所以排除 A , B ,而两个函数的单调性相反,所以选 C. 解法二:若 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? a 单调减,函数 y ? lo g a ? ? x ? 单调增,没有符合条
x

5

件的选项;若 a ? 1 ,则函数 y ? a 单调增,函数 y ? lo g a ? ? x ? 单调减,选项 C 符合;
x

归纳小结:(1)本题考查了指数函数和对数函数的性质及图象,同时还考查了分类讨论 思想、数形结合思想以及分析推理能力、画图能力. (2)一般来说,指数、对数函数图象的判断可以从以下几点进行考虑:①函数的定义域、 值域;②函数的单调性;③函数图象的对称性;④特殊点等.同时还要注意底数对对数函数 图象的影响,利用好对数函数的性质. 例 5(2009 湖北卷)设 a 为非零实数,函数 y ? ( )
A.y ?
1 ? ax 1 ? ax
1? x a (1 ? x )

1 ? ax 1 ? ax

(x ? R,且 x ? ?

1 a

) 的反函数是

(x ? R,且 x ? ?

1 a

)

B .y ?

1 ? ax 1 ? ax
1? x

(x ? R,且 x ? ?

1 a

)

C .y ?

( x ? R , 且 x ? 1)

D .y ?

a (1 ? x )

( x ? R , 且 x ? ? 1)

分析: 本题是求反函数解析式的程序性问题,只需要按照求反函数的步骤进行求解即可. 解:可反解得 x ?
1? y a ?1 ? y ?

,故 f

?1

?x?

?

1? x a ?1 ? x ?

,且可得原函数中 y ? R , y ? ? 1 ,

所以 f

?1

?x?

?

1? x a ?1 ? x ?

且 x ? R , x ? ? 1 ,故选 D.

归纳小结:一般来说,求函数的反函数的基本步骤是: ①反解:解出 x ? f
?1

?y?;

②互换:交换定义域与值域; ③改写:将 x ? f
?1

? y ? 中的 x 改写成 y ,将 y 该写成 x .
x?3

例 6(2008 陕西卷)已知函数 f ( x ) ? 2
+ ( m, n ? R ) ,则 f
?1

, f )

?1

( x ) 是 f ( x ) 的反函数,若 m n ? 1 6

(m ) ? f

?1

( n ) 的值为(

A. ? 2

B. 1

C. 4

D. 1 0
?1

分析:根据指数函数与对数函数互为反函数,可以求反函数的步骤求出 f 据对数函数的运算性质求出 f 解:∵ f ∴f
?1

( x ) ,再根

?1

(m ) ? f

?1

( n ) 的值.

?1

?x? ?
?1

lo g 2 x ? 3 ,

(m ) ? f

( n ) ? lo g 2 m ? lo g 2 n ? 6 ? lo g 2 m n ? 6 ? ? 2 .

所以选 A. 归纳小结:本题考查了反函数的概念与求解步骤、对数函数的运算性质,考查基本运算 能力.

6

例 7( 2 0 0 8 上海卷)已知函数 (1)若
f (x) ? 2

f (x) ? 2

x

?

1 2
|x|



,求 x 的值; 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(2)若 2 t f

( 2 t ) ? mf ( t ) ? 0

分析:问题(1)考查了指数方程的解法,只需要通过对 x 的讨论,利用 f ? x ? 的解析式转 化为指数方程求解即可.问题(2)是含参不等式恒成立问题,可用分离参数法求出 m 的取值 范围. 解:(1)当 x
? 0 时, f ( x ) ? 0
? 1 2
x

;当 x

? 0 时, f ( x ) ? 2
x

x

?

1 2
x



由条件可知 2 x

? 2

,即 2 2 x

? 2?2

?1? 0


x

x 2 令 2 ? t ,则 t ? 2 t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 ?

2 ,即 2

?1?

2



∵ 2 ? 0 ,∴ x ? lo g 2 ? 1 ?
x

2

?.
1 2
2t

( 2 )当 t ? [ 1, 2 ] 时, 2 t ?
?

?

2

2t

?

1 ? ? ? t ? ? m? 2 ? t ? ? 0 2 ? ? ?
2t

,即 m ? 2 2 t

?1 ? ? 2

?

?

4t

?1

?.

∵ t ? [ 1, 2 ] ,∴ 2

2t

? 1 ? 0 ,∴ m ? ? ? 2

?1

?.
5, ? ? ) .

∴ ? ? 1 ? 2 2 t ? ? [ ? 1 7 , ? 5 ] .故 m 的取值范围是 [ ?

归纳小结:(1)本题考查指数函数的性质、指数方程的解法、不等式的恒成立等知识, 对函数与方程思想、变形与转化思想均有一定的要求. (2)常见的几种指数方程的形式及解法有: ①形如 a ②形如 a ③形如 a
f ?x?

? a ? b

g?x?

?a ?a

? 0 , a ? 1 ? 的方程,可转化为 f

?x? ?

g ? x ? 求解;

f ?x?

g?x?

? 0 , b ? 0 , a ? 1, b ? 1 ? 的方程,可转化为对数形式求解;

2x

? b ? a ? c ? 0 的方程,可利用换元法求解.
x

含参不等式的恒成立问题, 一般采用分离参数法, 按照“大于最大, 小于最小”的原则, 求出参数的取值范围.

四、本专题总结
1.在有关幂的运算过程中,要遵循先化简后计算的原则,并且注意运算的顺序.特别 要注意指数式与对数式的互化,这种转化是数学解题中重要思想和手段; 2.指数函数的底数及对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有关指数、对数问题 时必须予以特别重视的,另外研究指数函数、对数函数问题尽量化同底; 3.利用指数函数和对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考 题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用;

7


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