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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 向量的数量积(第3课时)教案 新人教版必修4


江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.4 向量的数量积(第 3 课时)教 案 新人教版必修 4
教学目标: 1.掌握数量积的坐标表达式, 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及向量的长度、 距离和夹角公式; 2.通过知识发生,发展过程的教学,使学生感受和领悟应用向量知识处理解析几何问题 是一种有效手段.

教学重点: 数量积的坐标表达式及其简单应用. 教

学难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.

教学方法: “引导发现法” 、 “探究学习”及“合作学习”的模式.

教学过程: 一、问题情境 1.两平面向量垂直条件; 2.两向量共线的坐标表示 3.x 轴上单位向量 i ,y 轴上单位向量 j ,则: i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 . 提出问题:向量数量积能否用坐标表示? 二、学生活动 提出问题:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位 向量,试用 i , j 表示 a 和 b . ( a ? x1i ? y1 j, b ? x2 i ? y2 j ) 三、建构数学 提出问题:能否用 a 和 b 的坐标表示 a ? b ?

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1.向量数量积的坐标表示:

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 a ? b ? ( x1 i ? y1 j )( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? y1 x2 j ? i ? y1 y2 j
又 i ? i ? 1, j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0 , 从而得向量数量积的坐标表示公式: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 . 2.长度、夹角、垂直的坐标表示: (1)长度:设 a ? ( x, y) ,则 a

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? a ? x2 ? y2 ? a ? x2 ? y2

2

(2)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ;

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? ? a ?b ? ? (3)夹角: cos ? ? ? | a |?| b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

; (0 ?? ? ? )

(4)设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 (注意与向量共线的坐标表示的区别) 四、数学运用 1.例题. 例 1 设 a ? (5, ?7), b ? (?6, ?4) ,求 a ? b ; 例 2 已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,求(3 a - b )·( a -2 b ) ; → → 例 3 在△ABC 中,设 AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 变式:已知 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,求证 ?ABC 是直角三角形. 说明:两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 例4
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如图,以原点和 A(5, 2) 为顶点作等腰直角 ?OAB ,使 ?B ? 90 , y
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求点 B 和向量

AB 的坐标.
2.巩固.

x
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(1) 已知 a ? (cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) ,0 ? ? ? ? ? ? , ①求证:(a ? b) ? (a ? b)

②若 ka ? b 与 a ? kb 的模相等,且 k ? 0 ,求 ? ? ? 的值. (2) 已知 a = (3, 4) ,b = (4, 3) , 求 x, y 的值使( x a + y b )⊥ a , 且| x a + y b |=1. 五、回顾反思 1.平面向量数量积的坐标公式;向量垂直的坐标表示的条件,复习向量平行的坐标表示 的条件; 2.向量长度(模)的公式及两点间的距离公式和夹角公式.

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