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6. 2013年全国高中数学联赛山东预赛


预赛试题集锦(2014)
2013 年全国高中数学联赛山东省预赛
一.填空题(每小题 8 分,共 80 分) 1. 2. 3. 函数 y ? 4cos x ? cos 2 x ( x ? R) 值域是_______. 已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z 2 ? z ? 1 的最大值是_______.

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如图, 在 △ ABC 中, 点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB 、AC 于不同的两点 M ,N , A ??? ? ???? ? ???? ???? AB ? mAM ,AC ? nAN ,则 m ? n 的值是_______.

N B O M
4. 5. 6. 7. 如果关于 x 的不等式 x ? a

C

< x ? x ? 1 的解集是 R ,则实数 a 的取值范围是_______.

b, c 满足 4a ? b ? abc ,则 a ? b ? c 的最小值是_______. 已知正数 a ,

已知对实数 x , loga ? sin x ? cos x ? ≥ ? 2 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______.
2

,b ,, c , d ?, e ? A ? B c ? c ? A ? B, 则 C 符合上述条件的共有 已 知 A ? B ? C? ? a ? ,a ,b ?,
_______组.

8.

已知函数 f ( x) 定义在 R 上, 对任意的 x ? R , 有 f( x ? 1 0 0 6 ) 则 f (2013) ? _______.

1 ? ?( ) f x ( ?) f x 2

2

, 且 f (?1005) ?

3 , 4

9.

用五种不同颜色给三棱台 ABC ? DEF 六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端 点涂不同颜色,则不同的涂色方法有_______种.

b sin x ? c cos x 10. 假设实数 b ,c 满足 b2 ? c2 ? 1 ,且 f (x) ?ax ?

的图像上存在两条切线垂直,则实数 a

的取值范围是_______. 二.解答题(本大题共 4 个小题,前两个小题各 15 分,后两个小题各 20 分,共 70 分) 11. 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AD ? 1,AB ? 2 ,AA1 ? c ,若对角线 BD1 上存在一 点 P 使得 PB1 ? PC1 ,求实数 c 的取值范围.

z
D1 P B1 D C B C1

A1

y

x

A

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1

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12. 已知椭圆

预赛试题集锦(2014)

x2 y 2 求该平行四边形面积 ? ? 1 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 ,F2 , 4 3

的最大值.
B

y
A G F1 O F2

x

C

D

13. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? an (n ? N? ) . (1)试求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ?
1 1 1 ? ,求证:列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn > 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5
s i ?0

b 的 p 进制表示分别为 n ? ? ni p i , 14. 已知 n ,a ,b 均为正整数,且 n ? a ? , p 是一素数, n ,a ,
a ? ? ai p i ,b ? ? bi p i ,其中 0 ≤ ni , ai , bi ≤ p ? 1, i ? 0, 1, 2, ?, s ,用 [ x] 表示不超过 x 的最
i ?0 i ?0 s s

大整数,用 A 表示集合 A 中元素的个数,证明:
i ? 0, 1 ,2 , ? ,s , (1) 若 n ? ? di p i ,d i ≥ 0 , 且对整数 j (0 ≤ j ≤ s) 有 ? di p i ≤ ? ( p ? 1) p i ,
i ?0 s

i< j

i< j

? n ? s 则 ? j ? ? ? di pi ? j ≤ ? ? p ? 1? pi ; i< j ? p ? i? j

n! n! (2) p ?∣ , p ? ?1 ? ? ? ? ?i ai ? bi > ni , i ? 0, 1, 2, ?,s? . a !b! a!b!

2

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预赛试题集锦(2014)
参考答案
1.函数 y ? 4cos x ? cos 2x ? x ? R ? 值域是 ____________________ . 【解析】令 t ? cos x ???1,1? ,则 y ? 2 ?t ? 1? ? 3 ???3,5? .
2

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2.已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z 2 ? z ? 1 的最大值是 ____________________ . 【解析】令 z ? cos ? ? i sin ? ,由 z ? 1 得: z ?z ? 1 ,
2 2 故 z ? z ? 1 ? z ? z ? z ?z ? z ?z ? 1 ? z ? 2cos? ? 1 ? 3 ,

2 当且仅当 cos ? ? ?1 即 z ? ?1 时取等号,因此 z ? z ? 1 的最大值是 3.

1? 3 ? 1? 3 ? 2 【法二】 z ? z ? 1 ? ? z ? ? ? ? ? z ? ? ? ? 3 , 2 4 2 4 ? ? ? ?
2 当且仅当 z ? ?1 时取等号,故 z ? z ? 1 的最大值是 3.

2

2

3.如图,在⊿ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M , N ,

??? ? ???? ? ???? ???? AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值是 ____________________ .
???? 1 ??? ? ???? m ???? ? n ???? 【解析】 AO ? AB ? AC ? AM ? AN , 2 2 2

A

?

?

N B O M C

由 M、O、N 三点共线得:

m n ? ? 1 ,∴ m ? n ? 2 . 2 2

【法二】直线 MON 是⊿ABC 的割线,由梅涅劳斯定理得:

AM BO CN n ?1 ? ? ? 1 ,即 ? 1 ,∴ m ? n ? 2 . MB OC NA 1? m

4. 如果关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 1 的解集是 R, 则实数 a 的取值范围是 ____________________ . 【解析】令 x ? 0 时,有 a ? 1 即 ?1 ? a ? 1 ; 令 x ? ?1 时,有 ?1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 2 ,故 0 ? a ? ? ; 当 0 ? a ? ? 时, x ? a ? max ? x , x ? 1? ,故 x ? a ? x ? x ? 1 总成立, 因此实数 a 的取值范围是 ? 0,?? . 5.已知正数 a , b, c 满足 4a ? b ? abc ,则 a ? b ? c 的最小值是 ____________________ . 【解析】由已知得: c ?

1 4 1 4 ? ,故 a ? b ? c ? a ? b ? ? ? 6 , a b a b

当且仅当 a ? 1, b ? 2 时取等号,因此 a ? b ? c 的最小值是 6.

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2 6.已知对 ?x ? R , loga ?sin x ? cos x ? ? ?2 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ____________________ .

2 【解析】当 a ? 1 时,有 a ?

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

?? 2? ,由于函数 2sin ? x ? ? 无上界,故不可能恒成立, 4? ?
1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

2 当 0 ? a ? 1 时,有 a ?

1
? ?? 2sin 2 ? x ? ? ? 4?

2 ,若 a ?

2 恒成立,则 a ?

1 2 ,∴ 0 ? a ? , 2 2

? 2? 综上,实数 a 的取值范围是 ? ?0 , 2 ? . ? ?
7.已知 A ? B ? C ? ?a, b, c, d , e? , A ? B ? ?a, b, c? ,

I1

I4 I5 I
7

I3 I6

c ? A ? B ? C ,则符合上述条件的 ? A, B, C? 共有 ____________________ 组.

I2

【解析】如右图,集合 A ? B ? C 可分为 7 个互不相交的区域, 分别记为 I1 , I 2 , I3 , I 4 , I 5 , I 6 , I 7 . 已知 c ? I 7 ,元素 a , b 属于 I 4 、 I 7 中的某一个区域,共有 4 种可能, 元素 d , e 属于 I1 、 I 2 、 I 3 、 I 5 、 I 6 中的某一个区域,各有 5 种可能,共有 25 种可能, 因此符合条件的 ? A, B, C? 共有 100 组. 8.已知函数 f ? x ? ,对 ?x ? R ,有 f ? x ? 1006? ? 则 f ? 2013? ? ____________________ . 【解析】由已知得: f ?1? ? f ? ?1005 ? 1006 ? ?
1 ? 2 f ? ?1005 ? ? f 2 ? ?1005 ? ? 1 3 ? , 2 4

1 ? 2

f ? x ? ? f 2 ? x ? , f ? ?1005? ?

3 , 4

f ?1007 ? ? f ?1 ? 1006? ?

1 ? 2

f ?1? ? f 2 ?1? ?
1 ? 2

3 , 4
1 3 ? . 2 4
A B C D E

f ? 2013? ? f ?1007 ? 1006 ? ?

f ?1007 ? ? f 2 ?1007 ? ?

9.用五种不同颜色给三棱台 ABC ? DEF 六个顶点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有 ____________________ 种. 【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时,
3 A、B、C 三点的涂色方法共有 A5 ? 60 种,

这时,点 D、E、F 只有两种涂色方法,
F

故共有 A ? 2 ? 120 种涂色方法;
3 5

4

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当六个顶点使用四种颜色涂满时,A、B、C、D 三点的涂色方法共有 A54 ? 120 种,
4 ? 3 ? 360 种涂色方法; 这时,点 E、F 只有三种涂色方法,故共有 A5

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5 ? 720 种, 当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时,先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有 A6

5 ? 2 ? 1440 种涂色方法; 这时,余下的那一点只有两种涂色方法,共有 A6

综上知,满足题意的所有不同的涂色方法共有 1920 种.

a x ? b s i x n c ? c o s x 10. 假设实数 b, c 满足 b2 ? c2 ? 1 , 且 f ?x ? ?
取值范围是 ____________________ .

的图像上存在两条切线垂直, 则实数 a 的

【解析】由已知得: f ? x ? ? ax ? b2 ? c2 sin ? x ? ? ? ? ax ? sin ? x ? ? ? ,

f ' ? x ? ? a ? cos ? x ? ? ? ,其中 sin ? ? c,cos ? ? b ,
若 f ? x ? ? ax ? b sin x ? c cos x 的图像上存在两条切线垂直, 则存在实数 x1 , x2 使得: ? (*) ?a ? cos ? x1 ? ? ?? ?? ?a ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? ?1 ,
2 即 a ? a? ?cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 1 ? 0 ,

从而 ? ? ? ?cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ?? ? ? 4 ? 0 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 ,
2

又 cos ? x1 ? ? ? ? 1, cos ? x2 ? ? ? ? 1 ,∴ cos ? x1 ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? 2 , 故 cos ? x1 ? ? ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ,cos ? x1 ? ? ? cos ? x2 ? ? ? ? ?1 , 于是(*)式化为 a 2 ? 0 ,解得 a ? 0 ,因此实数 a 的取值范围是 ?0? . 二、解答题(本大题共 4 个小题,前两个小题各 15 分,后两个小题各 20 分,共 70 分) 11. (本小题满分 15 分)如图所示, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 已知 AD ? 1, AB ? 2, AA1 ? c ,
A1

z
D1 P B1 D C B C1

若对角线 BD1 上存在一点 P 使得 PB1 ? PC1 , 求实数 c 的取值范围.

y

??? ? ???? ???? ? 【解析】以点 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1
为 x, y, z 轴的正向,建立空间直角坐标系.

x

A

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???? ? ???? ? 则 B ?1,2,0? , B1 ?1,2, c ? , C1 ? 0,2, c ? , D1 ? 0,0, c ? ,设 D1P ? ? D1B ? ? ?,2?, ?c? ? , ???? ? ???? 则 PC1 ? ? ??,2 ? 2?, c? ? , PB1 ? ?1 ? ?,2 ? 2?, c? ? ,

???? ? ???? 2 2 2 2 ∴ PC1 ?PB1 ? ?? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? ? ? c? ? ? ? c ? ?? ? ? 9? ? 4 ? 0 ,
2 2 由 ? ? 81 ? 16 ? c ? ?? ? 1 ? 16c ? 0 ,解得: 0 ? c ?

1 ? 1? ,因此实数 c 的取值范围是 ? 0, ? . 4 ? 4?

12. (本小题满分 15 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ?1的 4 3
B

y
A G F1 O F2

内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 , 求该平行四边形面积的最大值. 【解析】由已知得: F1 F2 ? 2 ,如图所示, 由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形, 所以原点 O 是其对称中心,且 S? ABCD ? 2S四边形ABF1F2
C

x

D

? 2 S?AF1F2 ? S?AF1B ? 2 S?AF1F2 ? S?BF1F2 ? F1 F2 ? yA ? yB ? ? 2 y A ? yD ,
当直线 AD 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ? x ? 1? , 代入椭圆方程,整理得: ?3 ? 4k 由韦达定理得: xA ? xD ? ∴ ? y A ? yD ? ? k
2 2

?

? ?

?

2

?x

2

? k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,

8k 2 4k 2 ? 12 , xA xD ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2 ? k ? ? x A ? x D ? ? 4 x A xD ? ? ? ? 2

? x A ? xD ?

144k 2 ? k 2 ? 1?

? 3 ? 4k ?
?6,

2 2



∴ S? ABCD ? 2 y A ? yD ? 2

144k 2 ? k 2 ? 1?

?3 ? 4k ?

2 2

? 6 1?

8k 2 ? 9

? 3 ? 4k ?

2 2

3? ? 3? ? 当直线 AD 的斜率不存在时,易得: A ?1, ? , D ?1, ? ? ,∴ S? ABCD ? 2 yA ? yD ? 6 , 2? ? 2? ?

综上知,符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 6. 【法二】求出 AD ?
12 ? k 2 ? 1? 3 ? 4k 2

,再求出 AD 与 BC 间的距离 d ?

2k k2 ?1

,亦可解出.

13. (本小题满分 20 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? an ? n ? N *? . ⑴试求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 cn ?
1 1 1 ? ,求证:列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5

6

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1 【解析】⑴∵ Sn ? 1 ? an ? n ? N *? ,∴ Sn?1 ? 1 ? an?1 ,作差得: an?1 ? an ? n ? N *? , 2
又当 n ? 1 时, a1 ?

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1 1 ,故 an ? n ? n ? N *? . 2 2

1 ⑵由已知得:当 n ? 1 时, P ,结论成立, 1 ? 2? 2? 5
? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? 当 n ? 2 时, Pn ? ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 ? ? 1 ? a2 1 ? a3 ? ? 1 ? an 1 ? an ?1 ?

?

n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 1 ? 1 ? 1 2 1 ?? ? ? ? ? 2? ? ? ?? ? ??? ? 2 ? 1 ? a1 ? 1 ? a2 1 ? a2 ? 1 ? n1?1 i ? 2 ? 1 ? ai ? ? 1 ? an 1 ? an ? 1 ? an?1 3 2
n n ? 4i ? 2 2n ?1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? i ? ? 2? ?1 ? i ? ? n ?1 ? ? ??? n ?1 ? 3 2 ?1 3 4 ?1? ? 2 ?1? i ?2 ? 4 ? 1 ? i ?2 ?

?

?

2 2 1 ? 2 2 1 ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ?? ? ? 1 ? 2n ? ,结论也成立, ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 3 4 ? 1 ? 2n ?1 ? 1 ? 3 4 ?1 5

1 综上知,对 ?n ? N * , Pn ? 2n ? 都成立. 5

14. (本小题满分 20 分)已知 n, a , b 均为正整数,且 n ? a ? b , p 是一素数, n, a , b 的 p 进制表示分别
i i i 为 n ? ? ni p ? a ? ? ai p ? b ? ? bi p , 其中 0 ? ni , ai , bi ? p ? 1, i ? 0,1, 2,?, s , 用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整 i ?0 i ?0 i ?0 s s s

数,用 A 表示集合 A 中元素的个数,证明:
i i i ⑴若 n ? ? di p ? di ? 0, i ? 0,1, 2,? , s ,且对整数 j ? 0 ? j ? s ? 有 ? di p ? ? ? p ? 1? p ,
i ?0 s

i? j

i? j

? n ? s i? j i 则 ? j ? ? ? di p ? ? ? p ? 1? p ; p i? j ? ? i? j

⑵ p?

n! , p? ?1 a !b!

n! ? ? ? ?i ai ? bi ? ni , i ? 0,1,2,?, s? . a !b!

j i j j ?1 j ?2 【证明】⑴∵ p ? ? p ? 1? p ? ? p ? 1? p ? ? ? ? p ? 1? p ? p ,∴ p ? 1 ? ? ? p ? 1? p , i? j

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i i

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i i j i? j i

∴ n ? pj

? d p ? ? d p ? ? p ? 1? p ? ? d p ? p
i? j i

p

j

?

i? j

i? j

i

p

j

?

? 1? ? ? d i p i
i? j

p

j

?

?p

j

? 1?

pj

? ? di pi ? j
i? j



? n ? i? j ∴ ? j ? ? ? di p . p ? ? i? j

⑵不会做.

8

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