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含参不含参函数单调性


利用导数研究函数单 调性

1

不含参函数单调性 【题型一】因式分解
【例1】 求函数 f ( x) ?

2 3 7 2 x ? x ? 15 x ? 4( x ? R) 的单调区间。 3 2

【变式 1】求函数 f ( x) ?

1 4 x ? 3 x 2 ?

4 x 的单调区间。 2

e2 x 【例2】 求函数 f ( x) ? ? 3e x ? 2 x 的单调区间。 2

【变式 1】求函数 f ( x) ? x ln x ? 7 x ln x ? x 的单调区间。
2

【例3】 求函数 f ( x) ?

x ? ? x ? 2 ? e x ? 2 的单调区间。 x e

【变式 1】求函数 f ( x) ?

x 2 ln x 3x 2 ? ? ex ln x ? 2ex 的单调区间。 2 4

2

【题型二】猜根法
【例4】 求函数 f ( x) ?

x2 ? x ln x ? ? e ? 2 ? x 的单调区间。 2

【变式 1】求函数 f ? x ? ? e ? ln ? x ? 1? 的单调区间。
x

【例5】 求函数 f ( x) ? x ln x ? x 的单调区间。
2

【变式 1】求函数 f ( x) ?

e ln x ? 1 ? e 的单调区间。 ex

【变式 2】求函数 f ( x) ? e

mx

? x2 ? mx 的单调区间。

3

【题型三】多次求导
【例6】 求函数 f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 1 3 x ? x 的单调区间。 2 6

【变式 1】求函数 f ( x) ? cos x ?

x2 ? 1 的单调区间。 2

【例7】 求函数 f ( x) ?

1 2 1 3 x x ? ex ? e ? x ? 1? 的单调区间。 2 3

【变式 1】求函数 f ( x) ? ? x ? 2 ? e ?
x

1 4 ?1 ? x ? x , x ?? , 1 的单调区间。 4 ?2 ? ?

4

含参函数单调性讨论
例题:
【例 1】已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ,讨论 f ( x) 的单调性;

【例 2】讨论函数 f ( x ) ? x ? a ln x ?

a ?1 的单调性; x

【例 3】讨论函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x 的单调性;

5

【例 4】已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? a (2 ? ln x), (a ? R) ,讨论 f ( x) 的单调性; x

【例 5】已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x ? a ? 0? ,求 f ( x ) 的单调性;

【例 6】设函数 f ( x) ? e ? ax ,求 f ( x) 的单调区间;
x

6

变式训练:
1、已知 f ( x) ? ax ? ln x ,讨论 f ( x) 的单调性;

2、讨论函数 f ( x) ?

3x 2 ? 2ax ? ? 2a ? 3? ln x 的单调性; 2

3、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a , (a ? R) ,讨论 f ( x) 的单调性; x

7

4、讨论函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax (a ? R ) 的单调区间; 1? x

5、设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x 的单调性;

6、设函数 f ( x) ?

e2 x ? ? a ? 1? e x ? ax ,求 f ( x) 的单调区间; 2

8


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