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2.4.1抛物线及其标准方程公开课


2.4.1 小结: 抛物线及其标准方程

高台一中高二备课组 2014/12/11

喷泉

抛物线的生活实例

抛球运动

提 出 问 题
? 1、抛物线是怎么画出来的?

? 2、抛物线的定义是什么?
? 3、抛物线的标准方程是

什么?

复习、引题:
在平面内 一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线 L 的距离之比 为常数 e :

M
M

M
F

当 0<e<1 时是椭圆

l

当 e>1 时是双曲线 当 e=1 是?

动手演示:
?

把一根直尺固定在画图板内直线的位置上;把一块三角 板的一条直角边紧靠着直尺的边缘;把一条绳子的一端固定 在三角板的另一条直角边上的一点A,截取绳子的长等于从 点A到直线L的距离AC,并且把绳子的另一端固定在画图板 的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角 边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅 笔就描出一条曲线.

这是什么样的一条曲线?

A C F

L

一、抛物线的定义:

H 在平面内,与一个定点F和一条 定直线l(l不经过点F)的距离相等的 点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,

d M

·

C
焦 点

·
F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

MF 即:若 ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d

d 为 M 到 l 的距离

注意:(1)L不经过点F (2)两面性

问题:当L经过点F呢?

二.抛物线的标准方程的推导:
l

想 一 想

N

M

· · F

问题:
比较椭圆、双曲线标准方程的建系过程,如何 选择坐标系,使所建立的抛物线方程更简单?

二.抛物线标准方程的推导
? 探讨建立平面直角坐标系的方案 y y .
M M

y

.

. .

M F

O

.

F

x
l

.

F

x
l

O

x

l

方案(1)

方案(2)

方案(3)

问题:哪种方案的方程更简单呢?

二.抛物线标准方程的推导
如图建系设M : (x,y), 点F到定直线L的距离为P

x
(2)
2

(1)

(3)

y ? 2 px ? p
2

y 2 ? 2 px ? p 2

y 2 ? 2 px

三、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线焦点在 x 轴正半轴上的标准方程.其中 p 为正常数。

p的几何意义是: 焦点到准线的距离,简称焦准距 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
会使抛物线方程的形式简单 ?
y y y

﹒ ﹒﹒ ﹒
o
x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

3.四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?
? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

准线方程
p x?? 2

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px

? p ? 0?

x?

p 2

x 2 ? 2 py

? p ? 0?

? p? ? 0, ? ? 2?
p? ? 0 , ? ? ? 2 ? ?

p y?? 2

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

y?

p 2

想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对 应关系,如何判断抛物线的焦点位置, 开口方向? 第一:一次项的变量为抛物线的对 称轴,焦点就在对称轴上; 第二:一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向.

例1:(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;

自 主 探 究

(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;
1 1 解:方程可化为:x =- -y,故p=-,焦点坐标 6 12 1 1 为(0, -24 -),准线方程为y= - 24.
2

3 解:因为p=3,故焦点坐标为(-,0) 2 3 准线方程为x=- - 2.

(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2 = - 8y

练习:
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
( 1 ) y2 = 20x ( 2 ) x 2=
1 y 2

(3)x2 +8y =0

焦点坐标

准线方程

( 1)

( 5, 0 )
1 (0,—) 8 (0 , -2)

x= -5
1 y= - — 8

( 2)
( 3)

y=2

2、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x =4x; y2 = -4x、 x2 =4y ;x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。 y2

思考题:M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点
M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +

————————————

— 2

p

y

抛物线定义的两面性

O F

. .
M

x

思考题:
二次函数 y ? ax 2 (a ? 0) 的图象是怎样的抛物线?

1 1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y ? ? ?2 p a a
2 2

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

y

y=ax2 y=ax y=ax2 +c 2+bx+c

o

x

小 结 :
1、抛物线的定义。
2、抛物线的标准方程。(四种形式)

3、求抛物线标准方程:
(1)用定义;(2)用待定系数法。

题型二:利用抛物线的定义求点的轨迹方程
例1:点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。

y
H G

.M
F (4,0)

o

.

x

x=-5 x=-4

x ? 2) ? y ? 1 切, 例2:一动圆M与一定圆C( :
2 2

且与定直线L:x+1=0相切,则圆心M的轨迹是 什么?轨迹方程是什么?
M C

l

以点C为焦点的抛物线.

题型三:抛物线应用于求最值问题
例3:已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物 线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的 最小值,并求出取最小值时P点的坐标

y

E

P

.
F

o

. A(3,2) . x


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