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指数函数及其性质(1)


水若长流能成河,

山因积石方为高

2.1.2

指数函数及其性质

第1课时 指数函数的图象及性质
钮绅中学

实例1

......
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,?,一个细胞分裂x次,得到的细胞的
x y ? 2 (x ? N ) . 个数y与x的函数关系式是:

实例2 《庄子· 逍遥游》记载:一尺之椎,日取其 半,万世不竭.意思是一尺长的木棒,一天截取一 半,很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
1 x y? ( ) 次,剩余长度y与x的关系是 2 .

探究点1

指数函数的概念
1 x ? ( ) 的函数是指数函数.那么,指 2

形如y=2x, y

数函数是怎样定义的呢? y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函 一般地,函数____ R 数,其中x是自变量,函数的定义域是__.

思考1:在指数函数y=ax中,为什么要规定a>0,且 a≠1呢?
?

0

1

?

a

x ? 当 x > 0 时, a 恒等于0 ? , 提示:若a=0,? x ? ?当 x <0时, a 无意义

若a<0,比如y=(-4)x,这时对于x= 实数范围内函数值无意义.

1 *)在 (n∈N 2n

若a=1,y=1x=1是一个常量,因此对它就没有研究的必 要,为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.

思考2:要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式,

关键需要确定哪个量?
提示:要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式,

关键需要确定底数a的值.

例1

下列函数中是指数函数的函数序号是 (2)
x ( 2 ) y ? 3 ; () 1 y?x; (3)y ? ?4x;

.

2

(4) y ? ? ?3? ;
x

(5) y ? x
x

2 x ?1

.
自变量仅有 这一种形式

y ? 1? a
系数为1

底数为正数且不为1

注意三点: (1)底数:大于0且不等于1的常数; (2)指数:自变量x; (3)幂系数为1.

例2

已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象

经过点(3,π ),求f(0),f(1),f(-3)的值. 解:指数函数的图象经过点(3,π),有f(3)=π, 即 a3=π 于是 f ? x ? ? ? 解得 a ? ?
x 3

1 3

所以 f (0) ? ? ? 1, f (1) ? ? ? ? , f (?3) ? ?
0 3

1 3

?1

?

1

?

探究点2 指数函数的图象 1.如何来研究指数函数的性质呢?

用描点法作出下列两组函数的图象,
然后写出其一些性质:

() 1y?2
x -2

x

?1? ?2 ? y ? ? ? ?2?
-1.5 -1
0.5

x

-0.5
0.71

0
1

0.5
1.41

1
2

1.5
2.83

2
4

y=2x 0.25 0.35

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y=2x 0.25 0.35

0.5

0.71

1

1.41

2

2.83

4

y

y?2

x

1

0

1

x

x
1 x y? ( ) 2

-2 4

-1.5 2.83

-1 2
y

-0.5 1.41

0 1

0.5 0.71

1 0.5

1.5 0.35

2 0.25

?1? y?? ? ?2?

x

1 0 1

x

1 x (2) y ? 3 与 y ? ( ) 的图象. 3
x

图象

列表:
x
y=3x



-3

-2

-1

0 1 1

1 3 0.33

2
9 0.11

3 27 0.037

… … …



0.037 27

0.11 9

0.33 3

y=3

-x



y

?1? y?? ? ?3?

x

y ?3

x

关于y轴对称
1

0

1

x

y

?1? y?? ? ?2?

?1? y?? ? 3? ? x

x

y ?3

x

y?2

x

关于y轴对称
1

0

1

x

y

y y

y

?1? y?? ? ?2?

x

?1? y?? ? ?3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y=ax (0<a<1) y=ax (a>1)
1 1 1 0 1 1 1

x

0 0

0 x x

x

(1)图象可向左、右两方无限伸展 图象共同特征: (2)图象都在x轴上方 (3)都经过坐标为(0,1)的点
y

y ? ax
( a ? 1)

y ? a x (0 ? a ? 1)
y

1 0
x

1
0

x

图象自左至右逐渐上升

图象自左至右逐渐下降

探究点3 指数函数的性质
0<a<1
y ? a
x

a>1
y

y ? a
( a ? 1)

x

y

图象

1
0
x

1 0

x

定义 域 值域

R (0,+∞) (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1

性质

(2)在R上是减函数

(2)在R上是增函数

【提升总结】
指数函数图象和性质的巧记:
(1)指数函数图象的巧记方法:一定二近三单调, 两类单调正相反. (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调,

性质不同因为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依
靠图象记性质.

例3.比较下列各题中两个值的大小

?1?1.7 ,1.7 ; ? 2 ? 0.8 0.3 3.1 3 1.7 , 0.9 . ? ?
2.5 3

?0.1

, 0.8

?0.2

;

根据指数函 数的性质

解:(1)根据函数y=1.7x的性质,1.72.5<1.73。 (2)根据函数y=0.8x的性质,0.8-0.1<0.8-0.2。 (3)根据函数y=1.7x的性质,1.70.3>1.70=1,

根据函数y=0.9x的性质,0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1

【变式练习】
用“>”或“<”填空:
3 1 0 1 5 ( )< ( ) 4 4

4 0 4 5 6 ( ) >( ) 3 3

5.06

7 ? 4


2 3

5 .06


0

0.19
? 7 4

2 ? 3>

0 . 19

0

0.19

?

5.06

例4、截至到1999年底,我国人口约13亿。如果今后能 将人口平均增长率控制在1%那么经过20年后,我国人 口数量最多为多少(精确到亿)? 解:设经过x年后,我国人口数为y亿。 1999年底,我国人口约为13亿; 经过1年(即2000年),人口数为 13+13×1%=13×(1+1%)(亿) 经过2年(即2001年),人口数为

经过3年(即2002年),人口数为

… … … 所以,经过x年,人口数为:

例4、截至到1999年底,我国人口约13亿。如果今后能 将人口平均增长率控制在1%那么经过20年后,我国人 口数量最多为多少(精确到亿)? 解:设经过x年后,我国人口数为y亿。 当x=20时, 所以,经过20年后,我国人口数量最多为16亿。

1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )

A. y ? (?4) B. y ? ? x

x

C. y ? 2 ? 4 x D. y ? a
x?2

(a ? 0且a ? 1)

2 x y ? ( a ? 3 a ? 1) ? a 3 2. 函数 是指数函数,则a =_____.

3.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取
值范围是( A )

A.m≤-1
C.m≥1

B.-1≤m<0
D.0<m≤1

解析:∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,

∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点,
则1+m≤0即m≤-1.

4.如图,指数函数:A. y=ax

B.y=bx C.y=cx

D. y=dx

的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是b<a<1<d<c ________________.

解:c,d大于1
且 c> d a,b大于0小于1 且 b< a ∴b<a<1<d<c

A

B

y

C

D

O

X=1

x

结论:当a>1时,图象越靠近y轴,底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近y轴,底数越小.

1.指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数.

2.指数函数的图象和性质

底数
图象

0 ? a ?1

a ?1

定义域 值域 性质

R

(0, ??)
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数


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