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利用平面向量解题(讲义)


平面向量综合运用
一、复习引入 1.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 b ∥ a ( a ? 0 ) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? b ? ? a 2.向量的数量积

?

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/>?

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? ? ? ? a ? b ? a| ? | b | ? c? s | o
5. a 2 ?| a |2 = x 2 ? y 2 二、向量综合题

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ? 1 x ? 1 y 3. a ? b ? 0 ? a ? b x 2 y 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b )2 ?| a |2 | b |2 或 | a ? b |?| a || b |

? ? a ?b ? 4. cos? ? ? | a |?| b |

1:设向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2, 解法 1:利用定义解题

? ? ? ? ? ? ? ? b 2a ? b ? (2,0) ,求 a?

? ? a ? ( m, n) , b ?

?m 2 ? n 2 ? 1 ? 2 ? p ? q2 ? 4 ?? ? 2m ? p ? 2 ? 2n ? q ? 0 ?

? ? a ? b ? ?1

( p , ,) q 1 ? ?m ? 2 ? 3 ? ? ?n ? ? 2 ? ?p ?1 ? ?q ? ? 3

? ? ? 2a ? b ? (2, 0) ? ? ?| 2a ? b |? 2 2 ? 0 ? 2 ? ? 且 | 2a ? b | ? ? ? | 2a ? b |2 ? ? ? (2a ? b ) 2 ? ? ? ? ? (2a ? b )(2a ? b ) ? ? ? 8 ? 4a ? b ? ? ? ? 则 8 ? 4a ? b ? 2 即 a ? b ? ?1 ? ? ? ? 变换:若将 2a ? b ? (2,0) 改为 2a ? b ? (2cos ? , 2sin ? ) 结果如何? ? ? ? ? ? ? 2 2 解: |2a ? b |? (2 cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8 ? 4a ? b ? 2 ? a ? b ? ?1 ? ? 此时发现结果是一致的,所以无论坐标以何种形式出现,只要满足 |2a ? b |? 2 (常数) ,就可以用上述解法 4 加
即 以解决。而解法 1,2,3 在此题上就十分麻烦。解法 4 值得推广开来解决一类带参数的题目,利于学生举一反三, 进行探究性训练。 2:已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) (0 ?? ? ? ?? )

? 1 3 ? ? a ? ( , ), b ? (1, ? 3) 2 2

3 ? ? 1 或 a ? ( ,? ), b ? (1, 3) 2 2

?

?

(1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直 (2)若 ka ? b 与 a ? kb 的大小相等( k ? R ,且 k ? 0 )求 ? ? ? 解法 1:利用数量积的坐标表示

?

?

?

?

?

?

?

?

解法 2:利用三角换元法求解 (知识联系:利用定义,在直角坐标系内作出圆心在原点半径为 R 的圆,任意角 ? 的终边与圆的交点坐标为 (R cos ? , R sin ? ) ) 设 a ? (cos? ,sin ? ), b ? (2cos ? , 2sin ? ) , 由 2a ? b ? (2,0) ,

?

?

?

?

?

P( R cos ? , R sin ? )

?2cos ? ? 2cos ? ? 2 ?cos ? ? 1 ? sin ? 即? ?? ?2sin ? ? 2sin ? ? 0 ?sin ? ? ? sin ? 1 3 1 3 , 两式平方相加得 cos ? ? , 从而 sin ? ? ? 。 因此 cos ? ? ,sin ? ? 2 2 2 2 1 3 1 3 或 cos ? ? ,sin ? ? ? , cos ? ? ,sin ? ? 2 2 2 2 ? ? ? 3 ? ? 1 3 ? 1 或 a ? ( ,? 即 a ? b ? ?1 ? a ? ( , ), b ? (1, ? 3) ), b ? (1, 3) 2 2 2 2
解法 3:利用图象求解 设 2a ? OP ? P(m, n) , b ? OR ? R( p, q) , OQ ? Q(2,0) 由题意有: OP ? OR ? OQ 则四边形 OPQR 为平行四边形。 又? OP |?| OR |?| OQ |? 2 |

1 3 cos ? ? ,sin ? ? ? 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? ( c o? ? c ? s , s? n ? s i n a)? b ? ( c o? ? c ? s , s? n ? s?na ? , ) ? (a ? b ) s o ?i ? , s o ?i i ( )b ? (cos? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ) ? cos2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? =0 ? ? ? ? ?(a ? b ) ? (a ? b ) ? ? ? ? ? ? 解法 2:利用公式 (a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? ? ? ? 解:? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 则 | a |? 1,| b |? 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ?| a |2 ? | b |2 ? 0 ?(a ? b ) ? (a ? b )
解法 3: ;利用向量加,减法的几何意义求解 解:? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ? a |? 1,| b |? 1,记 OA ? a, OB ? b , | 由向量加,减法的几何意义可知,以 OA,OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱形,其中 OC ? a ? b ,

解:? a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?

?

? ? ? ? ??? ??? ? ? 则 | OA |?| OB |? 1,又 ? ? ? ,?O, A, B 三点不共线。

??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

?

?

??? ?

?

??? ?

????

R Q P

??? ??? ? ? ??? ?

????

??? ?

????

??OPQ,?OQR 均为正三角形,故所求向量为 3 ? ? ? ? 1 3 ? ? 1 ), b ? (1, 3) 或 a ? ( , ? ), b ? (1, 3) 思路一: a ? ( , 则 a ? b ? ?1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 0 0 思路二:向量 a, b 的夹角为 120 即 a ? b ? a ? b cos120 ? ?1
解法 4:利用模的定义求解

??? ? ? ? ? ? ? ? BA ? a ? b ,由菱形两对角线互相垂直知, (a ? b ) ? (a ? b ) 。 ? ? ? ? (2)由已知得 | ka ? b |?| a ? kb | ? ? 2 又? ka ? b |2 ? (k cos? ? cos ? )2 ? (k sin ? ? sin ? )2 ? k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) | ?2 ? ? 2 ) k s? | a ? k b| ? ( c o s ? k c? s ? ?s i n ? 2s ikn ? 1 ? 2 c o ? ( ? ) ? o 2 ) ( ?k ? 2k cos( ? ? ? ) ? ?2cos( ? ? ? ) ,又? k ? 0 ,所以 cos( ? ? ? ) ? 0 ? ? ? ?? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? 2 3 3、已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m ? n ? ?1 . 4
(1)求向量 n ;

(2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为

?
2

,向量 p ? (2 sin A,4 cos 2


A ) ,求|2 n + p |的值. 2

6、设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个动点,求当 PA? PB 取最 小值时, OP 的坐标及?APB 的余弦值. 解 ∴ ∵ ∴ 设 OP ? ( x, y) .∵ 点 P 在直线 OM 上,∴ x-2y=0 即 x=2y,有 OP ? (2 y, y) .

解: (1)设 n ? ( x, y),由m ? n ? ?1 ,有 x ? y ? ?1

3 3 由 m与n 夹角为 ? ,有 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? . 4 4
∴ | n |? 1, 则x 2 ? y 2 ? 1. ② 由①②解得 ?

OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) ,
……………… 4 分

PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) , PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) ,
PA? PB ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) = 5y2-20y+12
= 5(y-2)2-8. ……………… 8 分

? x ? ?1, ? x ? 0, 或? y ? 0. ? y ? ?1. ?

∴即 | n |? (?1,0) 或 n ? (0,?1). (2)由 n与q 垂直知 n ? (0,?1).

从而,当且仅当 y=2,x=4 时, PA? PB 取得最小值-8,此时 OP ? (4,2) , PA ? (?3,5) , PB ? (1,?1) . 于是 | PA |? 34 , | PB |? ∴

2 , PA? PB ? (?3) ?1 ? 5 ? (?1) ? ?8 ,
? ?8 ?? 4 17 .…………… 12 分 17

2n ? p ? (2 sin A,4 cos 2
∴ | 2n ? p |?

A ? 2) ? (2 sin A,2 cos A), 2

4 sin 2 A ? 4 cos2 A ? 2

34 ? 2 | PA | ? | PB | 7、设 ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ,向量 a= (1 ? cos? , sin ? ) ,b= (1 ? cos ? , sin ? )
c=(1,0) ,若 a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ? 1 ? ? 2 ? 求 sin

cos ?APB ?

PA ? PB

4、 (1)已知| a |=4,| b |=3, a -3 b )(2 a + b )=61,求 a 与 b 的夹角θ ; (2 · (2)设 OA =(2,5) OB =(3,1) OC =(6,3) , , ,在 OC 上是否存在点 M,使

?
3



MA ? MB ,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由.
解: (1)∵(2 a -3 b )(2 a + b )=61,∴ 4a ? 4a ? b ? 3b ? 61. …(2 分) · 又| a |=4,| b |=3,∴ a · b =-6.…………………………………………(4 分).
2 2

? ??

2 a?c 解: cos?1 ? ? a?c

的值

1 ? cos?

?c o s ? ?

1 ? ? , …(5 分)∴θ =120°…………………………(6 分) 2 | a |?|b|

a ?b

(2)设存在点 M,且 OM ? ?OC ? (6?,3?)(0 ? ? ? 1)

? MA ? (2 ? 6?,5 ? 3?), MB ? (3 ? 6?,1 ? 3?). ? (2 ? 6? )(3 ? 6? ) ? (5 ? 3? )(1 ? 3? ) ? 0, …………………………(8 分) 1 11 ? 45?2 ? 48? ? 11 ? 0, 解得 : ? ? 或? ? , ????? (10分) 3 15 22 11 ? OM ? (2,1)或OM ? ( , ). 5 5 22 11 ∴存在 M(2,1)或 M ( , ) 满足题意.……………………(12 分) 5 5 5、设 a 、 b 是两个不共线的非零向量( t ? R ) 1 (1)记 OA ? a, OB ? t b, OC ? (a ? b), 那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线? 3 (2)若 | a |?| b |? 1且a与b夹角为 ? ,那么实数 x 为何值时 | a ? xb | 的值最小? 120
解: (1)A、B、C 三点共线知存在实数 ?, 使OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB

2 2(1 ? cos? ) (1 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? ? ? 0 ∴ cos ?1 ? cos ∵ 0 ? ? ? ? ,? cos 2 2 ? 又∵ 0 ? ?1 ? ? 于是 ? 1 ? 2 ? ? ? 同理可得: cos ? 2 ? sin , 因而 cos ? 2 ? cos( ? ) 2 2 2 ? ? ? ? ? 由于 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 0 ,而 0 ? ? 2 ? ? 于是 ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 因而 ?1 ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ∴ ? ? ∴ ∴ 2 2 2 3 2 6
=b, =m( - =c, =λa,(0<λ<1),

?

1 ? cos?

? cos

?

8、如图,在△ABC 中,设 =a, =μb(0<μ<1),试用向量 a,b 表示 c. .解:∵ ∴ 又 = 与 与 + 共线,∴ =m

)=m(μb-a), ①

=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb =n =n( - )=n(λa-b),

共线,∴

1 即 (a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )t b ,……4 分 3 1 ? (2) a ? b ?| a | ? | b | cos 120 ? ? , 2
2 2

1 1 则 ? ? , 实数 t ? ……6 分 3 2

∴ = + =b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b 由①②,得(1-m)a+μmb=λna+(1-n)b. ∵a 与 b 不共线,∴ 解方程组③得:m= 代入①式得 c=(1-m)a+mμb=



?| a ? xb | 2 ? a ? x 2 ? b ? 2 x ? a ? b ? x 2 ? x ? 1, ……………………………9 分
当 x ? ? 时, | a ? xb | 取最小值

③ [λ(1-μ)a+μ(1-λ)b]

1 2

3 …………………………………………12 分 2

二、向量法解题 1.应用平面向量求函数的值域(最值) 例 1.已知 a, b, c 为正数,求函数 y ?

sin ? sin ? ? (1 ? cos ? ) cos ? ? cos ? ?
构造向量:

3 ?0 2

x 2 ? a 2 ? (c ? x)2 ? b2 的最小值。

解:构造向量 p ? (x, a), q ? (c ? x, b) ,则原式变为:

y ?| p | ? | q |?| p ? q | ? c 2 ? (a ? b)2
当且仅当 p 与 q 同向平行,当 xb ? a(c ? x) ? 0 时,即当 x ?
2 2 所以 ymin ? c ? (a ? b) 。

ac 时等号成立。 a?b

a ? (sin?,1 ? cos?),b ? (sin ?, cos ? ) 3 ∴ a ? b ?| cos ? ? | 2
? sin 2 ? ? (1 ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

例 2.对于 x ? R ,试确定函数 y ? 解: y ?

x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1 的所有可能的值。

x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1

1 ( c o ? ? )2 ? 0 , s 2 1 ? ∴ cos ? ? ,∴ ? ? , 2 3
于是有 由对称性 ?, ? 可知: ? ?

?

1 3 1 3 ? ( x ? )2 ? ( )2 ? ( x ? )2 ? ( )2 2 2 2 2 1 3 1 3 构造向量 p ? (x ? , ), q ? (x ? , ) ,则 2 2 2 2 y ?| p | ? | q | ,
∵ p ? q ? (10) ,又 | p | ? | q |?| p ? q | , , ∴ | y |?|| p | ? | q ||?| p ? q |? 1, 即有 y ? x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1 的值域为 (?1,1) 。 2.应用平面向量解决三角问题 ? 例 3.求证: cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 证明:以原点 O 为始点,作两个向量 OA? OB ,使其分 别等于 a ? (a1, a2),b ? (b1, b2) , OA? OB 与 x 轴正半轴所成的 角为 ?, ? ,如右图,则 y
A(a1, a2)

3

a1 ?| a | cos?, a2 ?| a | sin ? , b1 ?| b | cos ?, b2 ?| b | sin ?
且 a 与 b 的夹角为 ? ? ? ∵ a ? b ?| a || b | cos( ? ? ) ? 又 a ? b ? a1b ? a2b2 ?| a || b | (cos? cos ? ? sin ? sin ? ) , 1 ? 从而便有, cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 例 4.已知 cos A ? cos B ? O -2

a

B(b1, b2)

?

b

?

x

1 1 , sin A ? sin B ? ? ,求 cos(A ? B) 2 3

解:构造向量 p ? (cos A, sin A), q ? (cosB, sin B) , 则

1 1 p ? q ? ( ,? ) , | p |? 1, | q | ? 1 ,且 p ? q ? cos A cos B ? sin Asin B ? cos(A ? B) , 2 3 1 2 1 2 13 13 1 13 59 ∴ ( p ? q)2 ? ( ) ? (? ) ? ,即 | p |2 ?2 p ? q? | q |2 ? ,∴ p ? q ? (2 ? ) ? 2 3 36 36 2 36 72 59 故 cos( A ? B) ? 72
注:此题其它解法从略。 例 5.已知 ? , ? ? (0, ) ,且 cos? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? 解:原条件可化为:

? 2

3 ,求 ?, ? 的值。 2


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