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学生数列的求和,涵盖所有高中数列求和的方法。


数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法.

三、教学过程:
(一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2.公式法:

?k
k ?1

n

2

2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ?

2 ?n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

?k
k ?1

n

3

?1 ? 2 ? 3 ?
3 3 3

? n(n ? 1) ? ?n ? ? ? 2 ? ?
3

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
n ? n!? (n ? 1)!?n!



1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
2 2 2 2 2 2 6.合并求和法:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11? 111? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前 n 项和 S n

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。

3.裂项相消法求和

22 42 (2n) 2 ? ??? 例 3.求和 S n ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?an ? , an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。 思路分析: an ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。

预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 且a1 , a2 , a3 ,?an 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n 2 , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。

1 2

(四)巩固练习: 1.求下列数列的前 n 项和 Sn :
n (1)5,55,555,5555,…, (10 ? 1) ,…;

5 9

(2)

1 1 1 , , , 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

,

1 , n(n ? 2)



(3) an ?

1 n ? n ?1



(4) a, 2a2 ,3a3 ,

, nan ,



(5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,

, n(n ? 2),



2 2 2 (6) sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ?

? sin 2 89 .

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

四、小结:
1.掌握各种求和基本方法; 2.利用等比数列求和公式时注意分 q ? 1或q ? 1讨论。


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