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4-5 积分表的使用


第五节

积分表的使用

一、关于积分表的说明 二、例题

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一、关于积分表的说明
积分表. (1)常用积分公式汇集成的表称为积分表 )常用积分公式汇集成的表称为积分表 (2)积分表是按照被积函数的类型来排列的 )积分表是按照被积函数的类型来排列的. (3)求积分时,可根据被积函数的类型直接 )求积分时, 或经过简单变形后,查得所需结果 或经过简单变形后,查得所需结果. (4)积分表见《高等数学》(四版)上册 )积分表见《高等数学》 四版) (同济大学数学教研室主编)第452页. 同济大学数学教研室主编) 页
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二、例题
x dx . 被积函数中含有 ax + b 例1 求 ∫ 2 ( 3 x + 4)
在积分表( 在积分表(一)中查得公式(7) 中查得公式( )

x 1? b ? ∫ (ax + b )2 dx = a 2 ?ln | ax + b | + ax + b ? + C ? ?
现在 a = 3, b = 4 于是

x 1? 4 ? ∫ (3 x + 4)2 dx = 9 ?ln | 3 x + 4 | + 3 x + 4 ? + C . ? ?
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1 dx . 被积函数中含有三角函数 例2 求 ∫ 5 ? 4 cos x
在积分表(十一) 在积分表(十一)中查得此类公式有两个 选公式( ) ∵ a = 5, b = ?4 a 2 > b 2 选公式(105)

dx 2 a+b x? ? a?b ∫ a + b cos x = a + b a ? b arcot? a + b tan 2 ? + C ? ?
将 a = 5, b = ?4 代入得

1 x? 2 ? ? ? ∫ 5 ? 4 cos xdx = 3 ar cot? 3 tan 2 ? + C .
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例3 求 ∫

dx x 4x + 9
2

.

表中不能直接查出, 需先进行变量代换 变量代换. 表中不能直接查出 需先进行变量代换 令2x = u

? 4 x 2 + 9 = u2 + 32 1 du dx du 2 ∫ x 4 x 2 + 9 = ∫ u 2 2 = ∫ u u2 + 32 u +3 2 被积函数中含有 u 2 + 3 2 ,
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在积分表( 在积分表(六)中查得公式(37) 中查得公式( )

dx 1 | x| ∫ x x 2 + a 2 = a ln a + x 2 + a 2 + C du 1 |u| ∴∫ = ln +C 2 2 2 2 3 3+ u + 3 u u +3
将 u = 2 x 代入得

dx 1 2| x| ∫ x 4 x 2 + 9 = 3 ln 3 + 4 x 2 + 9 + C .
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例4 求 ∫ sin xdx . 在积分表(十一)中查得公式( ) 在积分表(十一)中查得公式(95)

4

sin n?1 x cos x n ? 1 sin n xdx = ? sin n? 2 xdx + ∫ ∫ n n
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 利用此公式可使正弦的幂次减少两次 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 用可使正弦的幂次继续减少 直到求出结果 这 个公式叫递推公式 递推公式. 个公式叫递推公式 现在 n = 4 于是

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sin 3 x cos x 3 sin 4 xdx = ? + ∫ sin 2 xdx ∫ 4 4 sin 2 xdx 使用公式(93) 使用公式( ) 对积分∫
x 1 ∫ sin xdx = 2 ? 4 sin 2 x + C 3 sin x cos x 3 ? x 1 ? 4 ∴ ∫ sin xdx = ? + ? ? sin 2 x ? + C . 4 4? 2 4 ?
2

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说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在, 初等函数在其定义域内原函数一定存在, 但原函数不一定都是初等函数. 但原函数不一定都是初等函数 例 ∫e
? x2

dx ,

sin x ∫ x dx ,

1 ∫ ln x dx .

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练 习 题
利用积分表计算下列不 定积分 : dx 1. ∫ . 2. ∫ 2 x 2 + 9dx . 4x2 ? 9 x 3. ∫ x arcsin dx . 4. ∫ e ? 2 x sin 3 xdx . 2 1 1 5. ∫ 2 6. ∫ dx . dx . 2 x (1 ? x ) x x ?1 7.

∫x

2

x ? 2dx .
2

8.



1? x dx . 1+ x

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练习题答案
1. 2. 3. 4. 1 ln 2 x + 4 x 2 ? 9 + C . 2 1 9 2 2 2x + 9 + ln( 2 x + 2 x 2 + 9 + C . 2 4 x2 x x ( ? 1) arcsin + 4 ? x2 + C. 2 2 4 e ?2 x 1 1? x ( 2 sin 3 x + 3 cos 3 x ). 5. ? ? ln ? + C. 13 x x x( x 2 ? 1) x 2 ? 2 1 ? ln( x + x 2 ? 2 ) + C . 4 2

1 6. arccos + C . 7. x 8.

x +1 (1 ? x )(1 + x ) + 2 arcsin + C. 2 上页 下页 返回


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