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2014-2015泰州高三一模数学


2014~2015?学年度第一学期期末考试? 高三数学试题?
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)?
命题人:朱占奎 张 俊 吴春胜 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. (参考公式:?S =
2

1? 1? [( x1 - x ) 2 + ( x2? - x ) 2 + L + ( xn?

- x?) 2?]?,?x = ( x1 + x2? + L + x? n?)?) n n

一、填空题: (本大题共?14 小题,每小题?5 分,共?70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. )? 1.已知 A = {1,3, 4} ? ?, B = {3, 4,5} ? ?,则?A I?B = 2.函数? f ( x ) = sin(3 x + ▲? ▲? .? ▲? .? .?

p

) 的最小正周期为? 6?

3.复数 z?满足 i? z? = 3 + 4i ( i 是虚数单位) ,则 z =? 4.函数? f ( x ) =

2 x? - 4?的定义域为?

▲?

.? ▲? .? .?

5.执行如右图所示的流程图,则输出的 n 为? 6.若数据 2, x? , 2, 2?的方差为 0 ,则 x =? ▲?

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为? ▲? .? ▲? .?

8.等比数列 {a? 中,?a1 + 32a6? = 0?,?a3 a4 a5? = 1?,则数列的前 6 项和为? n?}?

ì x 2? + sin x, x?? 0? 9.已知函数? f ( x? 是奇函数,则 sin a =? )?= í 2? ? - x + cos( x + a ), x < 0?
10.双曲线?

▲?

.?

x?2 y?2? -? = 1?的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的 a?2? b?2?
▲? .? ▲? . (写出所有

离心率 e =?

11.若 a、b 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为? 真命题的序号)

①若直线 m ^ a ,则在平面 b 内,一定不存在与直线 m 平行的直线.
高三数学试卷第 1 页 共 4 页?

②若直线 m ^ a ,则在平面 b 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? a ,则在平面 b 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? a ,则在平面 b 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.? 12.已知实数?a, b,?c 满足?a 2 + b 2 = c 2?,?c ? 0?,则?

13.在梯形 ABCD 中,?AB = 2? DC ,?BC = 6?, P?为梯形 ABCD 所在平面上一点,且满足?

uuu r

uuur

uuu r

b? 的取值范围为? a - 2c ?

▲?

.?

uuu r uuu r uuu r? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AP + BP + 4? DP = 0 , DA × CB = DA × DP , Q 为边?AD?上的一个动点,则? PQ? 的最小
值为? ▲? .?

14.在?DABC 中,角?A, B,?C?所对的边分别为?a, b,?c ,若?7a 2 + b 2 + c 2? = 4 3?,则?DABC 面 积的最大值为? ▲? . 二、解答题: (本大题共?6 小题,共?90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )? 15.(本题满分?14?分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 a 的终边经过点?P? (3, 4)?. (1)求 sin(a +

p
4

) 的值; uuu r uuur

(2)若 P?关于 x 轴的对称点为 Q ,求 OP × OQ 的值.?

16.(本题满分?14?分) 如图,在多面体?ABCDEF? 中,四边形 ABCD 是菱形,?AC ,?BD 相交于点 O ,?EF / /?AB ,?

AB = 2? EF ,平面 BCF ^ 平面?ABCD , BF = CF ,点 G?为 BC?的中点. (1)求证:直线?OG?/ /?平面 EFCD?; (2)求证:直线?AC ^ 平面 ODE?.? E

F?

D? O? A? B? G?

C?

高三数学试卷第 2 页

共4页

17.(本题满分?14?分) 如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三 角形?DPRQ 构成,其中 O?为?PQ?的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道?

ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D?分别在线段 QR、PR?上,另外两
个顶点? A、B?在半圆上,? AB / /CD / /?PQ?,且? AB、CD?间的距离为 1km? .设四边形?

ABCD 的周长为 c? km?.
(1)若 C、D?分别为 QR、PR?的中点,求 AB?长; (2)求周长 c 的最大值.?
R? C? Q? B?

O?

D? A? P?

18.(本题满分?16?分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为?

2? x 2 y?2? 的椭圆?C?:? 2 + 2? = 1( a > b?> 0)?的左顶 2? a b

点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C?交于?P,?Q 两点,直线?PA,?QA 分别

与?y?轴交于?M ,?N?两点.若直线 PQ 斜率为?

2? 时,?PQ = 2 3?. 2?

(1)求椭圆 C?的标准方程; (2)试问以 MN?为直径的圆是否过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.?
y P? M? A? O? x?

Q? N?

高三数学试卷第 3 页

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19.( (本题满分?16?分) 数列 a? bn = an - 2a ? n?+1?,?cn = an +1 + 2an?+ 2? - 2?,?n ? N *?. n?} , b? n?} , c? n?} 满足:? (1)若数列 a? n?} 是等差数列,求证:数列 b? n?} 是等差数列; (2)若数列 b? n?} , c? n?} 都是等差数列,求证:数列 a? n?} 从第二项起为等差数列; (3)若数列 b? b1 + a3? = 0?时,数列 a? n?} 是等差数列,试判断当? n?} 是否成等差数列?证明你 的结论.?

{?

{?

{?

{?
{? {?

{?

{?

{?

{?

20.(本题满分?16?分) 已知函数? f ( x ) = ln?x?-

1? ,?g ( x )?= ax + b .? x

(1)若函数?h( x) = f ( x) - g ( x )?在 (0, +? ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)? 若直线?g ( x )?= ax + b 是函数? f ( x ) = ln?x?-

1? 图象的切线,求 a + b 的最小值;? x

2? (3)当?b = 0?时, 若? f ( x? )?与?g ( x? )?的图象有两个交点?A( x1 , y1 ), B( x2 , y? 求证:x ? 1 x? 2?)?, 2? > 2e .

(取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取? 2?为 1.4 )

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2014~2015 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)?
21.( [选做题]请考生在?A、B、C、D?四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前 两题记分.? A. (本小题满分 10?分,几何证明选讲) 如图, EA 与圆 O 相切于点 A , D 是 EA 的中点,过点 D 引?eO?的割线,与圆 O 相交于点?

B,?C?,连结 EC?.
求证:??DEB = ?DCE .?

B. (本小题满分 10?分,矩阵与变换) 已 知 矩 阵? A = ê

é1 0?ù é1 2? ù -1 ? , ? , 若 矩 阵? AB 对 应 的 变 换 把 直 线?l? 变 为 直 线? B = ú ê ú ? 0 2? ? ? 0 1??

l ? : x + y - 2 = 0?,求直线 l 的方程.?
C. (本小题满分 10?分,坐标系与参数方程选讲) 己知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O 的参数方程为?í

ì x?= 2 cos?a ( a 为参数) . 以原点 O 为 ? y = 2sin?a

极点, 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为?r (sin q - cos q ) = 1 , 直线 l 与圆 M? 相交于?A,?B 两点,求弦长 AB?的值.? D. (本小题满分?10 分,不等式选讲) 已知正实数?a, b,?c 满足?a + b + c = 3?,求证:?

b c a? + 2 + 2? ? 3?. 2 a b c
共 4 页?

高三数学试卷第 5 页

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.? 22.((本小题满分 10 分) 如图,在长方体?ABCD - A?B?C ?D? 中,?DA = DC = 2?,?DD ? = 1?,?A?C ? 与 B?D ? 相交于 点 O ? ,点 P?在线段 BD 上(点 P?与点 B?不重合) . (1)若异面直线 O ?P 与 BC ? 所成角的余弦值为?

55? ,求 DP 的长度?? 55?

(2)若?DP =

3 2 ,求平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角的正弦值.? 2?

23.((本小题满分 10 分)
r? 记?C? i? 为从 i?个不同的元素中取出?r? 个元素的所有组合的个数.随机变量 x 表示满足?

Ci?r? ?

1? 2? i 的二元数组 (r , i? )?中的 r?,其中 i ? {2,3, 4,5, 6, 7,8, 9} ? ,求 Ex . 2?

高三数学试卷第 6 页

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