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高一必修一数学函数的定义域、值域专题训练(打印版)


函数定义域、值域专题教案与练习 一、函数的定义域 1.函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得.一般地,我们约定:如果不加说明,所谓 函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合. (1)若 f (x) 是整式,则定义域为全体实数. (2)若 f (x) 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数. (3)若 f (x) 是偶次根式,则定义域

为使被开方式为非负的全体实数. (4)若 f (x) 为对数式,则定义域为真数大于零的全体实数。 (5)若 f (x) 为复合函数,则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定.如: f (x) 的定义 域为 [a, b] ,则复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. (5)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定. 2.求函数定义域的常见问题: (1)若已知函数解析式比较复杂,求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解; (2)由 y ? f (x) 的定义域,求复合函数 f [ g ( x)] 的问题,实际上是已知中间变量 u ? g (x) 的值域,求自 变量 x 的取值范围问题; (3)对含有字母参数的函数,求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论; (4)若是实际问题除应考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 二、求函数的值域常用方法 (1)观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数值域求解; (2)单调性法:利用函数的单调性求解 (3)换元法:通过对函数解析式进行适当换元,可以将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基 本函数的取值范围求函数的值域。 三、初等函数:指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域 1.指数函数: f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,定义域: x ? R ;值域: f ( x) ? (0,??) ;
x

2.对数函数: f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) ,定义域: x ? (0,??) ;值域: f ( x) ? R 3.幂函数: f ( x) ? x ( ? ? R) ,其定义域、值域随 ? 的取值而不同,但在 x ? (0,??) 都有意义。
?

1

顺义张老师

18810313551

四、例题分析 例 1:求函数 f ( x) ?

2x ? 1 ?

1 2? x

?

1 的定义域。 x

例 2:求函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? lg( x ? 2) ? x

?

1 2 的定义域。

例 3:已知函数 f (x) 的定义域为 (1,4) ,求函数 f (log 2 x) 的定义域; 变式:已知函数 f (2 ) 的定义域为 (1,4) ,求函数 f (x) 的定义域。
x

例 4:已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 5 ,求:⑴在 R 上的值域;⑵ x ? (?1,3) 上的值域;
2

变式 1:⑴求函数 y ? 2

x 2 ? 2 x ?5

2 的值域;⑵ y ? log 1 ( x ? 2 x ? 5) 的值域;⑶ y ? 2

x 2 ? 2 x ? 5 的值域。

变式 2:求函数 y ? 2 x ? 1 ? x 的值域。

例:1.求下列函数的定义域:

(1) y ?

?x 2 x ? 3x ? 2
2

(2) y ?

x ?1 ? 1? x

(3) y ?

3 1? 1? x
2

(4) y ?

x2 ? 3 ? 5 ? x2
顺义张老师 18810313551

(5) f ? x ? ? ? 4 x

? x ?1 ? ?3 ? 2x ?

(6)t 是时间,距离 f ?t ? ? 60 ? 3t

2.已知函数 f ? x ? 的定义域是[-3,0],求函数 f ? x ? 1? 的定义域。

3.若函数 f ? x ? ?

x ?1 的定义域是 R,求 m 的取值范围。 mx ? mx ? 3
3 2

练习: 1.求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ? (2) f ? x ? ?

4 ? x ?1 ;
2

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

(3) f ? x ? ?

1 1? 1 1 1? x



(4) f ?x ? ?

?x ? 1?0
x ?x

2.已知 f ? x ? 的定义域为 ?0,1? ,求函数 y ? f x

? ? ? f ? x ? 4 ? 的定义域。 ? ? 3
2

?

?

3

顺义张老师

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三、函数值和函数的值域 例 1、求下列函数的值域: (观察法)

(1) y ?

5x ? 1 4x ? 2

(2) y ?

x 2 ? 4x ? 3 2x 2 ? x ? 1

2x 2 ? 4x ? 7 例 2.求函数 y ? 2 的值域(反解法) x ? 2x ? 3

例 3.求函数 y ? 2 x ?

x ? 1 的值域(配方换元法)

例 4.求函数 y ?

5x ? 1 4x ? 2

?x ? 2?的值域(不等式法)

例 5.画出函数 y ? x ? 4 x ? 6, x ? ?1,5? 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。 (图像法)
2

4

顺义张老师

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练习: 1.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? 2 (2) f ( x) ? 2 ?

4? x

(3) y ?

x x ?1

(4) y ? x ?

1 x

2.求下列函数的值域:

(1) y ? ? x ? 4 x ? 2
2

(2) y ? x ? 2 x ? 1

(3) y ?

x2 ? x ?1 2x 2 ? 2x ? 3

五、练习巩固 1.函数 f ( x ) ? A (? ,??)

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是
B (? ,1)

2.下列函数中,值域是(0,+ ? )的是 Ay?

1 3

1 3

C (? , )

1 1 3 3
2

D (??,? )

1 3
1 2

x ? 3x ? 1

B y ? 2 x ? 1( x ? 0)

C y ? x ? x ?1 _____ 。

Dy?x

?

3.设 g ( x ) ? ?

则 g[ g ( x)] ? __ ?ln x, x ? 0 4.函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域为
2

? ex , x ? 0

,函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域是



5.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 ,根据所给定义域,求其值域. (1) x ? R ; (2) x ? {x | x ? 0} ; (3) x ? [?2,2] ; (4) x ? {?2,?1,0,1,2} 。

6.求下列函数的值域:⑴ y ?

1 2 x 2 ? 2 x ? 3 ;⑵ y ? ( ) x ? 2 x ?3 ;⑶ y ? log 2 ( x 2 ? 2 x ? 3) 。 2

5

顺义张老师

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