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2014届高考一轮复习教学案平面向量的概念及其线性运算


第一节

平面向量的概念及其线性运算

[知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律:a+b=b+ 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 a; (2)结合律:(a+b)+c =a+(b+c) 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三、向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λa,它的长 度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λa=0. 三角形法则

2.运算律:设 λ,μ 是两个实数,则: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λ a+μ a;③λ(a+b)=λa+λb. 四、共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使得 b=λa. [小题能否全取] 1.下列命题正确的是( )

A.不平行的向量一定不相等 B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a 与 b 是共线向量,b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量 D.若 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相同或相反 解析:选 A 对于 B,单位向量不是仅有一个,故 B 错;对于 C,a 与 c 的方向也可能 相反,故 C 错;对于 D,若 b=0,则 b 的方向是任意的,故 D 错,综上可知选 A. 2.如右图所示,向量 a-b 等于( A.-4e1-2e2 C.e1-3e2 ) B.-2e1-4e2 D.3e1-e2

解析:选 C 由题图可得 a-b= BA =e1-3e2. 3.(教材习题改编)设 a,b 为不共线向量, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,则下列关系式中正确的是(

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

? ??? ? ??? ? ??? ??? ? A. AD = BC B. AD =2 BC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C. AD =- BC D. AD =-2 BC ? ? ??? ? ??? ??? ??? ? 解析:选 B AD = AB + BC + CD =a+2b+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b= ??? ? 2(-4a-b)=2 BC . ? ? ??? ??? ??? ? 4.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2.
答案:2 5.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则 λ=________. 解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)],
?λ=-k, ? 所以? 解得 ? ?1=3k,

?k=3, ? 1 ?λ=-3.
1

1 答案:- 3

共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量 所 在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

向量的有关概念 典题导入 [例 1] 给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

??? ?

????

[自主解答] ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线. ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC . 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 反之,若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 綊 DC 且 AB 与 DC 方向相同,因此 AB = DC . ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确. λ=μ=0 时, 与 b 可以为任意向量, 当 a 满足 λa=μb, a 与 b 不一定共线. 但 [答案] C 由题悟法 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键, 特别是对相等向量、 零向量等概念的 理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.

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2.几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同, 故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向 时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.

向量的线性运算

典题导入

[例 2] (1)(2011· 四川高考)如图, 正六边形 ABCDEF 中, + CD + BA

??? ?

??? ?

??? ? EF =(
A.0

)

??? ?
B. BE

??? ?
C. AD

??? ?
D. CF

? ? ??? ? ??? ? ??? ??? 1 ??? ? (2)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA +λ CB ,则 λ 3
等于( 2 A. 3 1 C.- 3 ) 1 B. 3 2 D.- 3

[自主解答] (1)如图, ∵在正六边形 ABCDEF 中,CD = AF ,BF =

??? ?

????

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??? ? CE ,
∴ BA + CD + EF = BA + AF + EF = BF + EF = CE + EF =CF― →. (2)∵ CD = CA + AD , CD = CB + BD ,

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∴2 CD = CA + CB + AD + BD . 又∵ AD =2 DB ,

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??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ∴2 CD = CA + CB + AB 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? = CA + CB + ( CB - CA ) 3
? ? 2 ??? 4 ??? = CA + CB . 3 3

??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? 2 ∴ CD = CA + CB ,即 λ= . 3 3 3
[答案] (1)D (2)A

若(2)中的条件作如下改变:若点 D 是 AB 边延长线上一点且| BD |=| BA |,若 CD = λ CB +μ CA ,则 λ-μ 的值为________. 解析:∵ CD = CA + AD = CA +2 AB = CA +2( CB - CA )=2 CB - CA =λ CB +μ CA . ∴λ=2,μ=-1.∴λ-μ=3. 答案:3

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由题悟法 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法 则、三角形法则求解,并注意利用平面几何的性质,如三角形中位线、相似三角形等知识.

以题试法 2.(2012· 汉阳调研)若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

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)

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解析: C ①式的等价式是 AB - BC = DA - CD , 选 左边= AB + CB , 右边= DA + DC , 不一定相等; ②式的等价式是 AC - BC = AD - BD ,AC + CB = AD + DB = AB 成立;③式的等价式是 AC - DC = AB + BD , AD = AD 成立.

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共 线 向 量

典题导入 [例 3] 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. [自主解答] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b,

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??? ? CD =3(a-b), ? ? ??? ??? ??? ? ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5 AB . ∴ AB , BD 共线, 又∵它们有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线, BC

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??? ?

??? ?

??? ?

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,即 k2-1=0. ∴k=± 1.

由题悟法 1.当两向量共线时,只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,解决向量共线问题 要注意待定系数法和方程思想的运用. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系. 以题试法 3.已知 a,b 不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OB =e,设 t∈R,如 果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求 出实数 t 的值,若不存在,请说明理由. 解:由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

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??? ?

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?t-3+3k=0, ? 因为 a,b 不共线,所以有? ? ?t-2k=0,

6 解之得 t= . 5 6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5

1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a +(-b).正确的个数是( A.2 C.4 解析:选 C ) B.3 D.5 a+(-a)=0,故③错. )

2.(2012· 福州模拟)若 a+b+c=0,则 a,b,c( A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形

解析:选 A 当 a,b,c 为非零向量且不共线时可构成三角形,而当 a,b,c 为非零向 量共线时不能构成三角形.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | BC | 3. (2012· 威海质检)已知平面上不共线的四点 O, B, A, C.若 OA +2 OC =3 OB , ??? 则 ? | AB |
的值为( 1 A. 2 1 C. 4 ) 1 B. 3 1 D. 6

解析:选 A 由 OA +2 OC =3 OB ,得 OA - OB =2 OB -2 OC ,即 BA =2 CB ,

??? ?

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??? ?
| BC | 1 ? 所以 ??? = . | AB | 2 4.(2012· 海淀期末)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B),那么 EF =(

??? ?

)

? ? 1 ??? 1 ??? A. AB - AD 2 3

? ? 1 ??? 1 ??? B. AB + AD 4 2

? ? 1 ??? 1 ??? C. AB + DA 3 2
解析: D 选

? ? 1 ??? 2 ??? D. AB - AD 2 3

在△CEF 中, EF = EC + CF , 有 因为点 E 为 DC 的中点, 所以 EC =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 2 ??? ? ? ? ??? 1 ???? 2 ??? 1 ??? ? ? 1 ???? 所以 DC .因为点 F 为 BC 的一个三等分点, CF =3 CB .所以 EF =2 DC +3 CB =2 AB 2

? ? ? 2 ??? 1 ??? 2 ??? + DA = AB - AD . 3 2 3
5.(2013· 揭阳模拟)已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且 OA + OB + CO =0,则△ ABC 的内角 A 等于( A.30° C.90° ) B.60° D.120°

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 解析:选 A 由 OA + OB + CO =0 得 OA + OB = OC ,由 O 为△ABC 外接圆的圆
心,结合向量加法的几何意义知四边形 OACB 为菱形,且∠CAO=60° ,故 A=30° . 6.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB ,则 点 P 与△ABC 的关系为( A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边所在直线上 D.P 是 AC 边的一个三等分点 解析:选 D ∵ PA + PB + PC = AB , ∴ PA + PB + PC = PB - PA ,∴ PC =-2 PA =2 AP , ∴P 是 AC 边的一个三等分点. 7. (2012· 郑州五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点, A 在直线 BC 外,BC 2=16, AB 点 | + AC |=| AB - AC |,则| AM |=________. 解析:由| AB + AC |=| AB - AC |可知, AB ⊥ AC ,则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC )

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? ???? 1 ??? ? 上的中线,因此,| AM |= | BC |=2. 2
答案:2 8.(2013· 大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA ,OB ,OC ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________. ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 解析:∵ OA + OC = OB + OD ,∴ OA - OB = OD - OC , ? ??? ??? ? ∴ BA = CD .∴四边形 ABCD 为平行四边形.
答案:平行四边形

9.设向量 e1,e2 不共线, AB =3(e1+e2), CB =e2-e1, CD =2e1+e2,给出下列结 论:①A,B,C 共线;②A,B,D 共线;③B,C,D 共线;④A,C,D 共线,其中所有正 确结论的序号为________. 解析:由 AC = AB - CB =4e1+2e2=2 CD ,且 AB 与 CB 不共线,可得 A,C,D 共线,且 B 不在此直线上. 答案:④ 10.设 i,j 分别是平面直角坐标系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且 OA =-2i+mj,

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??? ? ??? ? OB =n i+j, OC =5i-j,若点 A,B,C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m,n 的值. ? ? ??? ??? ??? ? 解: AB = OB - OA =(n+2)i+(1-m)j, ??? ??? ??? ? ? ? BC = OC - OB =(5-n)i-2j.
∵点 A,B,C 在同一条直线上, ∴ AB ∥ BC ,即 AB =λ BC . ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i-2j].

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?n+2=λ?5-n?, ? ∴?1-m=-2λ, ?m=2n, ?

? ?m=6, ? ? 解得? 或? 3 ? ?n=3, ?n= . ?
2

m=3,

11.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE

??? ?

??? ? ? ??? ? 2 ??? = AD , AB =a, AC =b. 3
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线. 解:(1)延长 AD 到 G,

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? 1 ???? ? 使 AD = AG , 2
连接 BG,CG,得到?ABGC, 所以 AG =a+b,

????

??? 1 ???? 1 ? AD =2 AG =2(a+b), ??? 2 ??? 1 ? ? AE =3 AD =3(a+b),

? ???? 1 ??? 1 AF =2 AC =2b,

??? ??? ? ? ??? 1 ? 1 BE = AE - AB =3(a+b)-a=3(b-2a),

??? ? ???? ??? 1 ? 1 BF = AF - AB =2b-a=2(b-2a).

??? 2 ??? ? ? (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3
??? ??? ? ? BE , BF 有公共点 B,
所以 B,E,F 三点共线. 12.设 e1,e2 是两个不共线向量,已知 AB =2e1-8e2,

??? ?

??? ? ??? ? CB =e1+3e2, CD =2e1-e2.
(1)求证:A,B,D 三点共线; (2)若 BF =3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. 解:(1)证明:由已知得 BD = CD - CB =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2 ∵ AB =2e1-8e2,∴ AB =2 BD , 又∵AB 与 BD 有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)由(1)可知 BD =e1-4e2,且 BF =3e1-ke2, ∵B,D,F 三点共线,得 BF =λ BD , 即 3e1-ke2=λe1-4λe2,
? ?λ=3, 得? 解得 k=12, ? ?-k=-4λ,

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??? ?

??? ?

∴k=12.

1.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两

??? ? ???? ? ??? ???? ? x· y 边分别交于 M,N 两点,且 AM =x AB , AN =y AC ,则 的值为 x+y
( ) A.3 C.2 解析:选 B 1 B. 3 1 D. 2 x· 1 y (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面 BC 的直线,易得 = . x+y 3

2.(2012· 吉林四平质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5 AM = AB + 3 AC ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( 1 A. 5 2 B. 5

???? ?

??? ?

??? ?

)

3 C. 5

4 D. 5

解析:选 C 设 AB 的中点为 D, 由 5 AM = AB +3 AC , 得 3 AM -3 AC =2 AD -2 AM , 即 3 CM =2 MD ,如图所示,

???? ? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

????

????

? ???? 3 ??? 故 C,M,D 三点共线,且 MD = CD ,也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之 5
3 3 比为 ,则△ABM 与△ABC 的面积比为 . 5 5 3.已知 O,A,B 三点不共线,且 OP =m OA +n OB ,(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)∵m,n∈R,且 m+n=1, ∴ OP =m OA +n OB =m OA +(1-m) OB , ∴ OP - OB =m( OA - OB ). ∴ BP =m BA ,而 BA ≠0,且 m∈R. ∴ BP 与 BA 共线, 又 BP , BA 有公共点 B. ∴A,P,B 三点共线. (2)∵A,P,B 三点共线,∴ BP 与 BA 共线,∴存在实数 λ,使 BP =λ BA , ∴ OP - OB =λ( OA - OB ). ∴ OP =λ OA +(1-λ) OB . 又∵ OP =m OA +n OB , ∴m OA +n OB =λ OA +(1-λ) OB . 又∵O,A,B 不共线,∴ OA , OB 不共线.
?m=λ, ? 由平面向量基本定理得? ? ?n=1-λ.

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∴m+n=1.

1.已知 e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则 a 与 b 共线的条件是( A.λ=0 B.e2=0

)

C.e1∥e2

D.e1∥e2 或 λ=0

解析:选 D 若 e1 与 e2 共线,则 e2=λ′e1. 因此 a=(1+λλ′)e1,此时 a∥b. 若 e1 与 e2 不共线,设 a=μb,则 e1+λe2=μ· 1,因此 λ=0,1-2μ=0. 2e 2.如图, 已知 AB =a,AC =b,BD =3 DC , a, 表示 AD , 用 b 则 AD 等于( 3 A.a+ b 4 1 1 C. a+ b 4 4 解析:选 B

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??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

) 1 3 B. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

? ??? ? ??? ??? ??? 3 ??? ? ? ? 3 1 3 AD = AB + BD = AB +4 BC =a+4(b-a)=4a+4b.


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