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江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷2


2013 年江苏高考数学模拟试卷(二)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 集合 A ? {x 0 ? x ? 3 , x ? R} , B ? {x ? 1 ? x ? 2 , x ? R} ,则 A ? B ? 2. 已知 z ? C ,且 (z+2)(1+i)=2i, 则 z =

. . . .

3. 在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, 6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? a

? 4. 已知 a ? 3,

? ? ? ? ? b ? 2 . 若 a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 夹角的大小为

5. 为了了解高三学生的身体状况.抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了 频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1︰2︰3,第 2 小 组的频数为 12,则抽取的男生人数是
频率 组距

. S← 1 For I from 1 to 9 step 2

0.0375

S←S + I End for

0.0125 50 55 60 65 70 75 体重

Print S

6. 右面伪代码的输出结果为 7.

. .
2 ,则实数 m 的取值范围 f (? m ? 1 ) ? f ( 2 )

cos10? ? 3 sin10? 1 ? cos80?

?
2

8. 已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 是 .

9. 在一个水平放置的底面半径为 3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径

Rcm 的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 Rcm ,则 R ?

cm .
10.若方程 ln x +2 x-10=0 的解为 x0 ,则不小于 x0 的最小整数是 .

11. 若动直线 ax ? by ? 1过点 A(b, a ) ,以坐标原点 O 为圆心,OA 为半径作圆,则其中最小 圆的面积为 .

1

12.已知函数 f ( x) ? ax ? x 4 , x ? [ ,1] , A, B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率

1 2

k 总满足

1 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是 2

.

13. 在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?

3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2, 1,若 M 、 N 分别是

CD 上的点, 边 BC 、 且满足
14. 椭圆

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

, AM ? AN 的取值范围是 则

.

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a2 5


B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin( (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1, BC ? 2, B ?

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x) ,

?
3

,求 AC 边的长.

16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 面 ABC , AC ? BC ,

M , N , P, Q 分别是 AA1, BB1, AB, B1C1 的中点.
(1)求证:平面 PCC1 ? 平面 MNQ ; (2)求证: PC1 // 平 面 MNQ . M C A A1

C1 Q B1

N

P

B

2

17.(本题满分 14 分)如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地 ABCD ,其长为 32 米, 宽为 18 米,现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为 a 米 与 b 米均不小于 2 米,且要求“转角处”(图中矩形 AEFG )的面积为 8 平方米 (1)试用 a 表示草坪的面积 S ?a ? ,并指出 a 的取值范围; (2)如何设计人行道的宽度 a 、 b ,才能使草坪的面积最大?并求出草坪的最大面积. 18

D

C

人行道 a

教 学 楼 G F
a b

草 坪

323 32 322

A

E

B

3

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分 a 2 b2

别为 F1 , F2 ,且圆 C: x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.学科网 (1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 时,证明:点 P 在 3 一 定圆上; (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明: PQ ? PF1 + PF2 .

4

19.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(1)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (2)对于给定的实数 ? ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ; (3)设 0 ? a ? b ,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b 成立? 若 存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

5

20. (本小题满分 16 分)已知函数函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a ?a ? 0, a ? 1? .
x 2

(1)当 a ? 1 时,求证: f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增; (2)若函数 y ? f ? x ? ? t ? 1有三个零点,求 t 的值; (3)若存在 x1, x2 ?? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

6

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1: 几何证明选讲) 已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,

?ACB 的平分线分别交 AE 、 AB 于点 F 、 D .
(1)求 ? ADF 的度数; (2)若 AB ? AC ,求
D B

A F O E

AC 的值. BC

C

B.选修4-2: ( 矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 及对应的一个特征向量 e ? ? ? , 并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15)求矩阵 M .

?1? ?1?

? x ? 1 ? cos ? C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在曲线 C1 : ? ,在曲线 C1 求一 (? 为参数) ? y ? sin ? 1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t 点,使它到直线 C 2 : ? 的距离最小,并求出该点 (t为参数) ? 1 ?y ?1? t ? ? 2

D. (选修4-5: 不等式选讲) a, b, c ? R , 若 求证 :

?

b2 c2 a2 b c a ? ? ?c ?a ?b a b c a b c

7

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,在长方体 ABCD ? A B1 C1 D1 中,已知 AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 2 , E , F 分别是棱 1

AB, BC 上的点,且 EB ? FB ? 1 .
(1)求异面直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值; (2)试在面 ABCD 上确定一点 G,使 G 到平面 D1 EF 距离为

11 . 11

23. 某市公租房的房源位于 A, B, C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望.

8


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