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江西省丰城中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学卷(文科)


丰城中学 2014-2015 学年下学期高二期中考试
数学试卷(文科)
命题人:熊海荣 审题人:黄林飞 2015.4.28 本试卷总分值为 150 分考试时间为 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

1.已知复数 z 满足: (1 ? i ) z ? i ( i 为虚数单位),则 | z | 等于



A. A.

1 2

B.

2 2

C.

2
B.

D.

2

2.下列四个命题中的真命题为

?x0 ? z,1 ? 4 x0 ? 3
2

?x0 ? z,4x0 ? 1 ? 0

C. ?x ? R, x ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 3.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : (a ? 2) x ? ay ? 3 ? 0 ; 命题 p : a ? 1 ;命题 q : l1 ? l 2 ;则命题 p 是 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ? x 1? ? 4.已知集合 A ? ? x | sin ? ? , B ? ?x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0?,则 (CR A) ? B ? 3 2? ? 1 ?1 5? ?1 ? A. ( ?1, ) B. ? , ? C . ? ,2 ? D. (-1,2) 2 ?2 2? ?2 ?
5.已知 cos(

?
2

? ?) ? ?
B.

A. 2 3

3 ,且角 ? 的终边上有一点 ( 2, a ) ,则 a ? 2 2 3 C. ? D. ? 2 3 ?2 3 3
2 5
C.

6.从 1、2、3、4、5 这五个数中任取三个数,则所取的三个数能构成等差数列的概率为

A.

1 2

B.

3 5

D.

2 3
2

7.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图 中的 x 值为

x 1 1

9 3 A. B. 2 C. D. 3 2 2 8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,
若 a 2 ? b 2 ? 4a ? 6b ? 13 , sin C ? 2 sin A ,则 cos C 的值为

A. ?

1 4

B.

1 4

C.

7 8

D.

11 16

9.已知圆: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 与双曲线: 曲线的离心率为

x2 y2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的渐近线相切,则双 a2 b2
D.
4

A.

2 3 3

B.

4 3

C.

2

10. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是
开始

k=0

k=k+1



a?3

k

b ? (k ? 1)

3

a ? b?


输出 k

结束

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2 11.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A、B、C 为抛物线上的三点,
若 FA ? FB ? FC ? 0 ;则 | FA | ? | FB | ? | FC |?

A. 3
12.函数 f ( x) ?

B. 4

C. 5

D. 6

1 ln( 6 ? x ? x 2 ? x 2 ? 2 x ) 的定义域为 x
B. [?3,0) C. [?3,0) ? ?2? D. [?3,0] ? ?2?

A. [?3,0]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? cos 2 x 的最小正周期 T ? ______

14.等差数列 ?an ? 满足: a1 ? ?1 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?S n ? 是单调递增数 列,则公差 d 的取值范围是____ 15.已知向量 a ? (1,2) , a ? b 与 a 共线, | b |? 2 5 ,则向量 b ? _____ 16.已知直线 l : y ? 2 x ? 2 ,曲线 C : y ? ln x ? x ,直线 x ? a, (a ? 0) 交直线 l 于点 A ,交 曲线 C 于点 B ,则 | AB | 的最小值为______

三、解答题:本大题共 6 小题,其中在 22、23 题任选一题 10 分,共 70 分.
17.(本题满分 12 分)

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据:
单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是: ? ? ?20x ? a ; y (1)求 a 的值; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从线性回归直线方程中的关系,且该产品的 成本是每件 4 元,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元? (利润=销售收入-成本)

18. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足:① an ? 0 ,② a1 ? 2 ,③对任意 n ? N ?
2 2 有 an ?1 ? an an?1 ? 2an ? 0

(1)求 an 及 S n ;
2 (2)已知数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 bn ? bn ?1 ? (sin

n? n? ? cos 2 ) ? log 2 a n ; 2 2

求 T2016 的值;

19. (本题满分 12 分) 已知矩形 ABCD , | AB |? 2 , | BC |? 2 3 , E 为 AD 上一点(图 1),将 ?ABE 沿 BE 折起,使点 A 在面 BCDE 内的投影 G 在 BE 上(图 2), F 为 AC 的中点; (1)当 E 为 AD 中点时,求证: DF // 平面 ABE ; (2)当 | AE |?
A

2 3 时,求三棱锥 D ? EFC 的体积。 3
E D A E F G 图2 D

B

图1

C

B

C

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ; g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 1 (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

(2)若对任意 x1 ? [1, e] ,存在 x2 ? [0, 3] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求实数 a 的取值范围。

21. (本题满分 12 分)

1 x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 经过椭圆的一个 2 a b
焦点; (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆右焦点 F 的直线 l (与坐标轴均不垂直)交椭圆于 A 、 B 两点,点 B 关于 x 轴的 对称点为 P ;问直线 AP 是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由。
y P A O B F x

注意:考生从 22、23 题中任选做一题,并在答题卡上做好标记,两题都做,以 22 题得分 记入总分. 22. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 ox 中,直线 l1 的极坐标方程为 ? cos? ? 2 , M 是 l1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且满足 | OP | ? | OM |? 4 ,记点 P 的轨迹为 C ; (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 2 : ? sin(? ?

?

4

) ? 2 的距离的最大值。

23. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| ax ? 1 | ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 1?; (1)求实数 a 的值; (2)若 | f ( x) ? 2 f ( ) |? k 恒成立,求 k 的取值范围。

x 2

参考答案 一、BDAC ABDA 二、13. ?
三、

CCDB 15. (2,4) 或 (?2,?4) 16. 3

14. (1,??)

17. 解:(1)由表格数据知: x ? 8.5 , y ? 80 , 所以直线过点:(8.5,80)? a ? 250 ……………………….6 分

(2)利润 f ( x) ? (?20x ? 250)(x ? 4) ? ?20x 2 ? 330x ? 1000

33 ? 8.25 时,利润 f ( x) 取得最大值。……….12 分 4 2 2 18.解:(1)由 an ?1 ? an an?1 ? 2an ? 0 ? (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0
当x ?

? an ? 0,? an?1 ? 2an , ?an ? 是等比数列; ? an ? 2 n ………..4 分
Sn ?

2(2 n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 …………………………………………6 分 2 ?1 n? n? ? cos 2 ) ? log 2 a n ; (2) 由 bn ? bn ?1 ? (sin 2 2 2 =- cosn? ? n ? (?1) n?1 ? n …………………………8 分
令 n ? 2k ? 1, k ? N ? ,得: b2k ?1 ? b2k ? 2k ? 1 ? Ck 知数列 ?C n ? 为等差数列;

1008 (1 ? 2 ? 1008 ? 1) ? 1008 2 ....12 分 2 19.解:(1)延长 CD, BE 交于点 M ,连 AM ; 由 E 为 AD 中点, DE // BC ? D 为 CM 的中点; 又 F 为 AC 中点,? DF // AM , AM ? 面 ABE ? DF // 面 ABE;………………………………………..6 分 ? T2016 ? C1 ? C 2 ? .? ? C1008 ?
(2)由 AG ? 面 BCDE 及 AE ?

2 3 ? ?ABE ? 300 ? AG ? 1 3

1 4 3 4 3 ? 2? ? …………………………………9 分 2 3 3 1 1 1 4 3 2 3 ………12 分 ?VD ? EFC ? VF ?C D E? V A?C D E? ? ? ?1 ? 2 2 3 3 9 1 20.解:(1)定义域为 (0,??) ; f ?( x) ? a ? ………………………..1 分 x 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ? x ? 0 ? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;……………………………..3 分 1 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a 1 1 ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减;在 ( ,?? ) 单调递增;….6 分 a a 4 2 (2)由 g ?( x) ? 3 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ? ? x ? 2 3 g ( x) 在(0,2)单调递减,在(2,3)单调递增, 1· 且 g (0) ? ?1 ? g (3) ? ?7 , g ( x) 在区间(0,3)上的最大值为 ? 1 ;…8 分 由条件得:当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? g ( x) max ? ?1 ln x ? 1 ? h( x) 对 x ? [1, e] 恒成立; 由此 ? a ? x S ?C D E?

2 ? ln x ? 0 对 x ? [1, e] 恒成立,? h( x) 在(1, e )区间内单调递增; x2 ? a ? h( x) m i n? h(1) ? ?1 …………………………………………..12 分 21.解:(1)椭圆焦点在 x 轴上,直线与 x 轴交于点(1,0), c ? 1 ; c 1 由 e ? ? ,? a ? 2, b ? 3 a 2 x2 y2 ? ? 1 ………………….4 分 所求椭圆方程为: 4 3 (2)设直线 l : x ? my ? 1 ; A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x2 ,? y2 ) ?x ? m y ? 1 由? 2 ,得: (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ? 6m ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? 3m ? 4 ,知: 2my1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ………6 分 ? 9 ?y y ? ? ? 1 2 3m 2 ? 4 ? y ? y2 直线 AP : y ? y 2 ? 1 ( x ? x2 ) x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) y ? 2my1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) x ? 0 即: m( y1 ? y2 ) y ? 4( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) x ? 0 ? m( y1 ? y2 ) y ? ( y1 ? y2 )(x ? 4) ? 0 所以:直线 l 恒过点(4,0)………………………………..12 分 22.解:(1)设 P( ? ,? ) ,则 M ( ?1 ,? ) 4 由 | OP | ? | OM |? 4 ? ??1 ? 4,? ?1 ? ? h ?( x) ?

?

又 M 在 l1 上,? ?1 cos? ? 2 ,? ? ? 2 cos? 为曲线 C 的极坐标方程;…5 分 (2)曲线 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1;直线 l 2 : x ? y ? 2 ? 0

? 1 ;………………………………………………..10 分 2 23.解:(1)由 | ax ? 1 |? 3 ? ?4 ? ax ? 2 ,与 ? 2 ? x ? 1 同解; ? 4 ? ? ?2 ? ? a ?a?2 当 a ? 0 时,有 ? ?2 ? 1 ?a ? ? 4 ? ?1 ? ? a ? a ? ? ,综上: a ? 2 ……………….5 分 当 a ? 0 时,有 ? 2 ? ? ?4 ? ?a x (2)?| f ( x) ? 2 f ( ) |?|| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 2 ||?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 2) |? 1 2 x 由条件有: k ?| f ( x) ? 2 f ( ) | max ? 1 2 所求 k 的取值范围为: [1, ??) …………………………..10 分

所求最大距离 d ?

3


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