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人教B版高中数学课件 选修1-2:第三章 数系的扩充与复数的引入 1.1《数系的扩充与复数的概念》


第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1 数系的扩充与复数的概念

本节主要学习复数的扩充与概念。我们用数系是如何

发展来引入新课。教学过程通过讨论方程的根,引入新的
数i,从而得到复数的代数形式。复数不能比较大小,但有 复数的相等,因此,两个复数如果相等,则只能满足实部 与虚部分别相等,从而解决有关复数的一些问题

。 教学过程例题与变式结合,通过例1和变式1巩固掌握

复数表示何数时,参数应该满足的条件问题。通过例2和变
式2巩固掌握了复数相等的有关问题,从而加深了对复数概 念及复数相等的理解。

自然数

回 顾

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系:

整数 有理数 无理数 实数 Q R

Z

N

对于一元二次方程 x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

x ? ?1
2
我们能否将实数集进行扩充, 使得在新的数集中,该问题能 得到圆满解决呢?在几何上, 我们用什么来表示实数?

引入一个新数:i

满足

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且 规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,

原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)
仍然成立.

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.

讨论?

复数集C和实数集R之间有 什么关系?

R? C ?

?实数b ? 0 ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0, 复数a+bi ? ?虚数b ? 0 ?非纯虚数a ? 0,b ? 0. ? ?

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即

m ? 1时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是虚数. (3)当 ?m ? 1 ? 0 即 m ? ? 1时,复数z 是 ? 纯虚数. m ? 1 ? 0 ?
由已知准确地找出复数 的实部与虚部是关键



复数的实部与虚部所满
足的不等式(组)的问 题,进而求出m的值





变式训练1:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? ( m ? 1)i
2 2

是 (1)实数?
2

(2)虚数?

(3)纯虚数?

解: (1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1或m ? ?1 时 , 复数z 是实数.
2 m ?1 ? 0 (2)当

,即 m ? 1或m ? ?1 时, 复数z 是虚数.
正确列出复 数的实部与 虚部满足的 条件是关键

2 ? (3)当 m ? m ? 2 ? 0, ? 2 ? m ? 1 ? 0,



m ? 1 时,复数z 是纯虚数.

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两 个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

? a ? c, ? ? a ? bi ? c ? di ?b ? d .
,其中
x, y ? R 求

例2

已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i

x与y.
解:更具复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y, 5 解得 x ? , y ? 4. ? 2 ?1 ? ?(3 ? y),

复数不能比较大 小,但两个复数 可以相等,实部 与虚部分别相等

变式训练2
(1)若x,y为实数,且

?

x 2 ? y 2 ? x ? yi ? 2 ? 4i, 求x,y.

?

(2)若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) i =0,求x的值.
2 2 x ? y ? x ? 2, 且y ? 4, 即x=-3,y=4时 , 解: (1)由 复数z 是实数.

(2)当 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0且x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ,即x=2时, 复数z 是虚数.

1.虚数单位i的引入;
2.复数有关概念:
复数的代数形式:

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)

复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数

复数相等

a ? bi ? c ? di

?

?a ? c ? ?b ? d


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