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数列的通项与求和(全)


数列的通项与求和(全) 一. 知识要点 1.等差数列 (1)定义: an?1 ? an ? d (常数); (2)通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; (3)若三个数 a、b、c 成等差数列,即 2b ? a ? c ,则称 b 为 a 和 c 的等差中项; (4)对任意的两项 an 、am 有 an ? am ? n ? m d ; ( ) (5)对任意的正整数

m、n、k、l ,若 m ? n ? k ? l ,则 am ? an ? ak ? al ; (6)若 ?an ? 和 ?bn ? 都是等差数列,则 ?can ? dbn ? 也是等差数列;

(3)若三个数 a、b、c 成等比数列,即 b ? ac ,则称 b 为 a 和 c 的等比中项;
2

(4)对任意的两项 an 、am 有 an ? amqn?m ; (5)对任意的正整数 m、n、k、l ,若 m ? n ? k ? l ,则 am an ? ak al ; (6)若 ?an ? 和 ?bn ? 都是等比数列,则 ?canbn ? 也是等比数列;

(q ? 1) ? na1 ? (7)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ; ? 1 ? q (q ? 1) ?
(8)无穷递缩等比数列所有项和公式: S ? lim Sn ?
n ??

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; (7)前 n 项和公式: S n ? 2 2
(8) ?an ? 是等差数列的充要条件是 Sn ? An2 ? Bn 。 (9) Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd ; (10) S3m ? 3(S2m ? Sm ) ; (11)若 Sm ? Sn (m ? n) ,则 Sm? n ? 0 ; (12)若 Sm ? n ,Sn ? m , Sm?n ? ?(m ? n) ; 则
* (13)若 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, n ? r ? 1 且 n ,r ? N ,则 a1an ? ar an?r ?1 。

a1 (0 ? q ? 1) ; 1? q

(9)对于等比数列: Sm?n ? Sm ? Sn qm ? Sn ? Smqn ;
* (10)若 ?an ? 各项为正数且公比 q ? 1 的等比数列, n ? r ? 1 且 n ,r ? N ,

则 a1 ? an ? ar ? an?r ?1 。 3. 递归数列 (1)定义:对于任意的正整数 n、 k ,由递推关系 an?k ? f (an?k ?1,an?k ?2, ,an ) 确定的关系 ? 称为 k 阶递推关系,由 k 阶递推关系及给定的前 k 项 a1,a2, ,ak 的值(初始值)所确定的数 ? 列称为 k 阶递推数列。 (2)形如 an?1 ? an ? f (n) 的递归式的通项 利用累加法可得: an ? a1 ?

2.等比数列 (1)定义:

an ?1 ? q (常数); an

? (a
k ?1

n ?1

k ?1

? ak ) ? a1 ? ? f (k ) ;
k ?1

n ?1

(2)通项公式: an ? a1q n?1 ;

(3)形如 an?1 ? f (n) ? an 的递归式的通项

1

利用累乘法可得: an ? a1 ?

n ?1 ak ?1 ? a1 ? ? f (k ) ; ?a k ?1 k ?1 k

n ?1

设 an?2 ? kan?1 ? m(an?1 ? kan ) ,可得 ?

?k ? m ? p ,所以 k、m 为方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,若 ?km ? q

(4)形如 an?1 ? pan ? q(n) 的递归式的通项 两端同时除以 pn?1 得

两根 x1 ? x2 ,则 an ? c1x n ? c x n ;若两根 x1 ? x2 ,则 an ? (c1 ? c2 n) x n ;其中 c1、c2 为常数; 1 2 2 1 (7) 形如 an ?1 ?

a an ?1 an q(n) q ( n) ? n ? n ?1 ,令 bn ? n 得 bn ?1 ? bn ? n ?1 ,求 bn 再求 an ;即利 n ?1 n p p p p p

a ? an ? b (c ? 0 ,ad - bc ? 0) 的递归式的通项 c ? an ? d

用叠加法易得

n ?1 ? an a1 n?1 f ?i ? f ?i ?? ? ? ? i ?1 ,从而 a n ? p n ?1 ?a1 ? ? i ? . n p i ?1 p p i ?1 p ? ?
n

利用不动点法:当 f ( x) ? x 时, x 的取值称为不动点。 对于 a n ?1 ?

主要是形如 an?1 ? Aan ? Bt ? Cn ? D 的递推数列 {an } 的通项公式的求法: 类型一:递推关系形如 an?1 ? Aan ? D( A ? 0 ,D ? 0) 的数列

a ? an ? b a?x?b , x? 令 , cx2 ? ?d ? a?x ? b ? 0 , 即 此方程的两个根为 x1 ,x2 。 c?x? d c ? an ? d
2c 1 1 。 ? ? p ,p 可以用待定系数法求解,为 p ? a?d a n ?1 ? x1 a n ? x1

若 x1 ? x2 , a ? d ? 0 则有

an?1 ? x ? A(an ? x) ;
类型二:递推关系形如 an?1 ? Aan ? Cn( A ? 0 ,C ? 0) 的数列 若 x1 ? x2 ,则有

a ? cx1 an?1 ? x1 a ?x 。 ? q ? n 1 ,q 可以用待定系数法求解,为 q ? a ? cx2 an?1 ? x2 an ? x2

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? A(an ? xn ? y) ;
类型三:递推关系形如 an?1 ? Aan ? Bt n ( A ? 0 ,B ? 0 ,t ? 1) 的数列

4. 数列求和 数列求和法主要有倒序相加法、裂项相消法、错位相相减法等。 二. 例题分析 例 1.数列 an ?

an?1 ? x ? 2

n?1

? A ( n ? x? 2 ; a )
n

1 ,求数列的前 n 项和 Sn 。 n(n ? 2)

类型四:递推关系形如 an?1 ? Aan ? Bt n ? Cn ? D ( A ? 0 ,B ? 0 ,C ? 0 ,D ? 0) 的数列

an?1 ? x ? t n?1 ? y(n ? 1) z ? A an ? x ? t n ? yn ? z ; ? ( )
(5)形如 an?1 ? pan ( p ? 0 ,an ? 0 )的递归式的通项
q

例 2.数列 an ? n ? 2

n?1

,求数列的前 n 项和 Sn 。

两边取对数有 lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an ,则 bn?1 ? qbn ? lg p ,仿(4)得 bn ,再求 an ; (6)形如 an?2 ? pan?1 ? qan 的递归式的通项

2

例 3.已知正数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

1 1 (an ? ) ,求 ?an ? 的通项公式。 2 an

三、巩固练习 1.数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 2an , an ?1 ? ,求 ?an ? 的通项公式. 2 3an ? 2

例 4.数列 ?an ? 满足 (n ? 1)an ? an ? n ,且 a1 ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式。 2.求 1 ? 11 ? 111 ? ??? ? 111 ???1 的和. ? ? ?
n个1

例 5.已知 an?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式。

3.求 Sn ?

1 1 1 ? ?? + . 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

1,,,,, ? 例 6.裴波那契数列各项为 1, 2 3 5 8 13 , ,求 ?an ? 的通项公式。

3

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (1 ? ) an ? (1)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

7. a1 ? 3,an?1 ? an 2 ? 2,求an .

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . n

5.数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 3 ,且 a1 ? 5 ,求 ?an ? 的通项公式. 8.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

1 1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n ,求 an 。 (第 22 届 IMO 预选) 16

?

?

6.数列 ?an ? 满足 an?2 ? 3an?1 ? 2an ,且 a1 ? 2,a2 ? 3 ,求 ?an ? 的通项公式.

4


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