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复数测试题


复数测试题 ( 1 ? i ) i ? 1.若 i 为虚数单位,则 ( ) A. 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i 2 解: (1 ? i)i ? i ? i ? i ? 1 ? ?1 ? i 。 答案:C 2. a ? 0 是复数 a ? bi

(a, b ? R) 为纯虚数的(



A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 解:若 a ? 0 ,当 b ? 0 时, a ? bi 不是纯虚数,反之当 a ? bi 是纯虚数时, a ? 0 ,所以 a ? 0 是 a ? bi(a, b ? R) 的必要不充分条件。 答案:B

3.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 解:

2?i 对应的点位于 ( 1? i

) B.第二象限 D.第四象限

2 ? i (2 ? i )(1 ? i ) 1 ? 3i 2?i ? ? 。所以 对应的点在第四象限。 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 1? i

答案:D 4.设复数 ? ? ? A. ? ?

1 3 ? i, 则1 ? ? =( 2 2 1 B. ? C. ?2 ?

) D.

1 ?2

解 : 1? ? ?1?

1 3 1 3 2(1 ? 3i) 1 1 2 3 ? i? ? i ,又 ? ? ? ? ? i 。故 2 2 2 2 ? 1 ? 3i 4 2 2

1? ? ? ?

1 。 ?

答案:B 5.设 a, b, c, d ? R ,则复数 (a ? bi)(c ? di) 为实数的充要条件是( ) A. ad ? bc ? 0 B. ac ? bd ? 0 C. ac ? bd ? 0 D. ad ? bc ? 0 ( a ? bi )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i ( a ? bi )( c ? di ) 解: , 为实数等价于 ad ? bc ? 0 。 答案:D 6.如果复数 A. ?

2 ? bi 的实部与虚部互为相反数,那么实数 b 等于( ) 1 ? 2i
B.

2 3

2 3

C.2

D. 2

解:

2 ? bi (2 ? bi)(1 ? 2i ) (2 ? 2b) ? (4 ? b)i (2 ? 2b) ? (4 ? b) 2 ? ? ,由 ? 0 解得 b ? ? 。 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 5 5 3
1

答案:A

7.若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 的值为( A. ? 2 2 B. ? 2 2

3

) D. ? 2 2 i

C. ? 2 2 i

解:由 z 2 ? 2 ? 0 得 z ? ? 2i , z 3 ? ? 2 2 i 。 答案:C

8.设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ? 3 ? 2i ,那么向量 BA 对应的复 数是( ) B. ? 5 ? 5i C . 5 ? 5i D. ? 5 ? 5i A . 5 ? 5i

解: BA ? OA ? OB ? (2 ? 3i) ? (?3 ? 2i) ? 5 ? 5i 。 答案:A

9. i 表示虚数单位,则 i 1 ? i 2 ? i 3 ? ? ? i 2008 的值是( A.0 解: i
4n



B.1

C. i

D. ? i
2 3

?i

4 n ?1

?i

4n?2

?i

4 n ?3

? i ? i ? i ? i ?1? i ?1? i ? 0 。
0 1

答案:A

10.复数 (1 ? ) 8 的值是 A. 16i B. 4i

1 i

( C.16

) D. 4

解: (1 ? ) 8 ? (1 ? i) 8 ? (1 ? i) 2 答案:C 11.对于两个复数 ? ? ?

1 i

?

?

4

? (?2i) 4 ? 16 。

1 3 ? 1 3 ? i ,? ? ? ? i ,有下列四个结论:① ?? ? 1 ;② ? 1 ; ? 2 2 2 2



? ?

? 1 ;④ ? 3 ? ?3 ? 1 ,其中正确的结论的个数为( )
B.2 C. 3 D.4

A. 1 解: ?? ? ①③正确。 答案:B

? ? 1 3 1 3 1 3 i; ? ? ? i ? 1 ; ? 3 ? ?3 ? 1 ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1; ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 4 4

12.若 z ? C 且 | z |? 1 ,则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是
2





A. 2 2

B. 2 2 ? 1

C. 2 2 ? 1

D. 2

解 :如图 所示, | z |? 1 表示 z 点 的轨迹 是单位 圆,而 | z ? 2 ? 2i | 表示的是复平面上表示复数 z 的点 M 与表示复数
2 ? 2i 的点 A 之间距离。 当 M 位于线段 AO 与单位圆交点时,

y
M
O

A

AM 最小,为 2 2 ? 1 。
答案:C

x

13.已知

m ? 1 ? ni ,其中 m, n 是实数, i 是虚数单位,则 m ? ni ? 1? i m 解:由 ? 1 ? ni 得: m ? (1 ? n) ? (1 ? n)i ,解得 n ? 1, m ? 2 ,所以 m ? ni ? 2 ? i 。 1? i
答案: 2 ? i

14 . 在 复 平 面 内 , 若 复 数 z 满 足 | z ? 1 |? | z ? i |, 则 z 所 对 应 的 点 的 集 合 构 成 的 图 形 是 。 解:方程 | z ? 1|?| z ? i | 表示的是复平面上的点 z 到点 ? 1 和 i 的距离相等的点的轨迹, 是一条线段的中垂线。所以表示的图形是直线。 答案:直线 15.若 z ? 2 且 z ? i ? z ? 1 ,则复数 z =

? a2 ? b2 ? 2 ? 解 : 设 z ? a ? bi(a, b ? Z ) , 则 ? ,解得 2 2 2 2 ? a ? ( b ? 1 ) ? ( a ? 1 ) ? b ?
? ?a ? ? 2 。 ? ? b ? 2 ?
答案: z ? 2 (1 ? i) 或 z ? ? 2 (1 ? i)

? ?a ? 2 或 ? ? ?b ? ? 2

16. 对于非零实数 a , b , 以下四个命题都成立: ① a2 ?1? 0; ② (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ; ③若 a ? b ,则 a ? ?b ;④若 a 2 ? ab ,则 a ? b 。那么,对于非零复数 a , b ,仍然成立的命 题的所有序号是 。 解:实数的运算率对于复数系仍然成立,所以②④正确;对于①可举反例: a ? i 排除; 对于③可举反例 a ? i, b ? 1 排除。 17.若方程 x ? (m ? 2i) x ? 2 ? mi ? 0 至少有一个实数根,求实数 m 的值。
2

解 : 设 方 程 的 实 根 为 a , 则 a 2 ? (m ? 2i)a ? 2 ? mi ? 0 , 整 理 得 :

? ? ?a 2 ? am ? 2 ? 0 ?a ? 2 ?a ? ? 2 ,解得: ? 或? 。 (a 2 ? am ? 2) ? (2a ? m)i ? 0 ,即: ? ? ?2a ? m ? 0 ? m ? ?2 2 ? ?m ? 2 2
3

所以 m 的值为 2 2 或 ? 2 2 。

18.已知复数 z1 ? m ? (4 ? m2 )i(m ? R), z 2 ? 2 cos ? ? (? ? 3 sin? )i(?,? ? R) ,并且 z1 = z2, 求 ? 的取值范围。 解 : 由 z1 = z2 得

m ? 2 cos ? ? ? 2 ?4 ? m ? ? ? 3 sin?

, 消 去

m

可 得 :

? ? 4 sin2 ? ? 3sin? ? 4(sin? ? ) 2 ?

3 8

9 9 ,由于 ? 1 ? sin ? ? 1 ,故 ? ?? ?7. 16 16
z z


19.把复数 z 的共轭复数记作 z ,已知 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,求 z 及

解:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z ? a ? bi ,由已知得 (1 ? 2i)( a ? bi) ? 4 ? 3i ,化简得:

(a ? 2b) ? (2a ? b)i ? 4 ? 3i ,所以 a ? 2b ? 4,2a ? b ? 3 ,解得 a ? 2, b ? 1 ,所以 z ? 2 ? i ,

z z

?

2?i 3 4 ? ? i。 2?i 5 5

20.求虚数 z ,使 z ?

9 ? R ,且 z ? 3 ? 3 . z 解:设 z ? a ? bi(a, b ? Z且b ? 0) ,则: 9 9 9a 9b 9b 9 z ? ? a ? bi ? ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i ,由 z ? ? R 得 b ? 2 ? 0 ,又 2 2 z a ? bi a ?b a ?b a ? b2 z

3 ? a? ? 2 ? b ? 0 ,故 a 2 ? b 2 ? 9 ①;又由 z ? 3 ? 3 得: (a ? 3) 2 ? b 2 ? 3 ②,由①②得 ? , 3 3 ?b ? ? ? 2 ?
即z?

3 3 3 3 3 3 ? i或 z ? ? i。 2 2 2 2

21.已知复数 z 满足 | (1)求 z ;

z |? 2 , z 2 的虚部为 2 ,
2

(2)设 z , z , z ? z 在复平面对应的点分别为 A,B,C,求 ?ABC 的面积.
2

? ? x2 ? y2 ? 2 解: (1)设 z ? x ? yi ( x, y ? R) ,由题意得 z 2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? 2xyi ,所以 ? , ? ? xy ? 1
解得: ?

? x ? 1 ? x ? ?1 或? ,故 z ? 1 ? i 或 z ? ?1 ? i 。 y ? ? 1 y ? 1 ? ?

4

( 2 ) 当 z ? 1 ? i 时 , z 2 ? 2i, z ? z 2 ? 1 ? i ,

A(1,1), B(0,2), C (1,?1) , 故

1 S ?ABC ? ? 1 ? 2 ? 1 ;当 z ? ?1 ? i 时, z 2 ? 2i, z ? z 2 ? ?1 ? 3i , A(?1,?1), B(0,2), C (?1,?3) , 2 1 故 S ?ABC ? ? 1 ? 2 ? 1 。 2
22.设 z1是虚数,z 2 ? z1 ?

1 是实数,且 ? 1 ? z 2 ? 1。 z1

(1)求 | z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围; (2)若 ? ?

1 ? z1 ,求证: ? 为纯虚数。 1 ? z1

解:(1)设 z1 ? a ? bi(a, b ? R,且b ? 0) ,则:

z 2 ? z1 ?

1 1 a b ? a ? bi ? ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i ,因为 z2 是实数,b≠0,于是 2 z1 a ? bi a ?b a ? b2

有 a 2 ? b 2 ? 1, 即 z1 ? 1 , 还可得 z 2 ? 2a , 由 ? 1 ? z2 ? 1, 得 ? 1 ? 2a ? 1 , 解得 ? 即 z1 的实部的取值范围是 [? , ] . (2) ? ?

1 1 ?a? , 2 2

1 1 2 2

1 ? z1 1 ? a ? bi 1 ? a 2 ? b 2 ? 2bi b 1 1 ? ? ?? i ,因为 a ?[? , ] , b ≠ 0 , 2 2 1 ? z1 1 ? a ? bi a ?1 2 2 (1 ? a) ? b

所以 ? 为纯虚数。

5


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