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2015高考理科数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》练习题


2015 高考理科数学《任意角和弧度制及任意角的三角函数》练习题 [A 组 一、选择题 1.点 A(sin 2 013°,cos 2 013°)在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) 基础演练?能力提升]

解析:由 2 013°=360°?5+(180°+33°)可知,2 013°角的终边在第三象限,所以 sin

2 013°<0,cos 2 013°<0,即点 A 位于第三象限. 答案:C 2.已知扇形的半径为 12 cm,弧长为 18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( A. 2 3 3 B. 2 2 C. π 3 3 D. π 2 )

解析:由题意知 l=|α |r,∴|α |= = 答案:B

l 18 3 = . r 12 2

? 1 3? 3.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点?- , ?,2α ∈[0,2π ), ? 2 2? 则 tan α =( A.- 3 C. 3 3 ) B. 3 D.± 3 3

解析:由角 2α 的终边在第二象限,知 tan α >0,依题设知 tan 2α =- 3,所以 2α =120°, 得 α =60°,tan α = 3. 答案:B 4. 已知角 α 的终边经过点(3a-9, a+2), 且 cos α ≤0, sin α >0, 则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) B.(-2,3) D.[-2,3] )

解析:由 cos α ≤0,sin α >0 可知,角 α 的终边落在第 二象限内或 y 轴的正半轴上,所以有 ?3a-9≤0, ? ?a+2>0, 即-2<a≤3.
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答案:A → → 3π 5. 在平面直角坐标系中, 点 O(0,0), P(6,8), 将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向量OQ, 4 则点 Q 的坐标是( ) B.(-7 2, 2) D.(-4 6,2)

A.(-7 2,- 2) C.(-4 6,-2)

→ → 解析:设 x 轴正方向逆时针到向量OP的角为 α ,则从 x 轴的正方向逆时针到向量OQ的夹角为 α 3 ? 3 3 4 ? + π ,这里 cos α = ,sin α = .设 Q 坐标为(x,y),根据三角函数的定义 x=10cos ?α + π ?= 4 ? 4 5 5 ? 3 ? ?3 4? ? ? 2? 10?? + ???- ?=-7 2,y=10sin ?α + π ?=- 2, 4 ? ?5 5? ? 2 ? ? 即 Q(-7 2,- 2). 答案:A 6.(2014 年郑州模拟)若 cos A.7x+24y=0 C.24x+7y=0 θ 3 θ 4 = ,sin =- ,则角 θ 的终边所 在的直线为( 2 5 2 5 B.7x-24y=0 D.24x-7y=0 2tan )

θ ? 4? 2??- ? 2 θ 4 ? 3? 24 解析:依题意得,tan =- ,则 tan θ = = = ,因此角 θ 的终边所在 2 3 ? 4?2 7 2 θ 1-tan 1-?- ? 2 ? 3? 的直线方程为 y= 答案:D 二、填空题 7.若 sin α ?tan α >0,则 α 是第________象限角. 解析:因为 sin α ?tan α >0,所以当 sin α >0,tan α >0 时,α 是第一象限角;当 sin α <0, tan α <0 时,α 是第四象限角,所以 α 是第一或第四象限角. 答案:一或四 8.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P(-4m,3m)(m>0)是 α 终边上一点,则 2sin α +cos α 等于________.
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24 x,即 24x-7y=0,选 D. 7

3 4 2 解析:由条件可求得 r=5m,所以 sin α = ,cos α =- ,所以 2sin α +cos α = . 5 5 5 答案: 2 5

3π 3π ? π? ? ? ,cos ?落在角 θ 的终边上,且 θ ∈[0,2π ),则 tan?θ + ?的值为 9.已知点 P?sin 4 4 3? ? ? ? ________. 3π 4 π? -1+ 3 ? 解析:依题意,tan θ = =-1,tan?θ + ?= 3 ? 1- -1 3π ? sin 4 cos 答案:2- 3 三、解答题 10.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解析:设圆的半径为 r cm,

3

=2- 3.

弧长为 l cm,

?1 lr=1, 则?2 ?l+2r=4,
∴圆心角 α = =2.

?r=1, 解得? ?l=2.

l r

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1, 故 AH=1?sin 1=sin 1(cm),故 AB=2sin 1(cm). 11.角 α 终边上的点 P 与 A(a ,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α ?cos α +sin β ?cos β +tan α ?tan β 的值. 解析:由题意得,点 P 的坐标为(a,-2 a), 点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sin α = cos α = -2a a + -2a
2 2

=-

2 , 5

a a + -2a
2 2



1 , 5

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-2a tan α = =-2,

a

sin β = cos β =

a 1 = , 2 2 a +a 5
2a

a

2

+a

2



2 , 5

a 1 tan β = = , 2a 2
故有 sin α ?cos α +sin β ?cos β +tan α ?tan β = -2 1 1 2 1 ? + ? +(-2)? =-1. 2 5 5 5 5

12.(能力提升)(2014 年厦门质检)如图,角 θ 的始边 OA 落在 Ox 轴上,其始边、终边分别与单 位圆交于点 A、C,θ ∈(0, π ),△AOB 为正三角形. 2

3 4 (1)若点 C 的坐标为( , ), 求 cos∠BOC; 5 5 (2)记 f(θ )=|BC|2,求函数 f(θ )的解析式和值域. 3 4 4 3 解析:(1)∵点 C 的坐标为( , ),根据三角函数定义知 sin∠COA= ,cos∠COA= .又△AOB 5 5 5 5 为正三角形,∴∠AOB=60°, 3 1 4 3 ∴ cos ∠ BOC = cos( ∠ COA +60°)= cos ∠ COAcos 60°- sin ∠ COAsin 60°= ? - ? = 5 2 5 2 3-4 3 . 10 (2)∵∠AOC=θ (0<θ < π π ),∴∠BOC= +θ , 2 3

在△BOC 中,|OB|=|OC|=1,由余弦定理可得 f(θ )=|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|?|OB|?cos ∠COB=12+12-2?1?1?cos(θ + π π )=2-2cos(θ + ). 3 3

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π π π 5π 3 π 1 π ∵0<θ < ,∴ <θ + < ,∴- <cos(θ + )< ,∴1<2-2cos(θ + )<2+ 3, 2 3 3 6 2 3 2 3 ∴函数 f(θ )的值域为(1,2+ 3). [B 组 因材施教?备选练习] )

1.角 θ 的终边上有一点(a,a),a∈R 且 a≠0,则 sin θ 的值是( A. C. 2 2 2 2 或- 2 2 B.- D.1 2 2

解析:由已知得 r= a2+a2= 2|a|, 2 ? ?2 a a =? 2|a| 2 ? - ? 2 ,

a sin θ = = r

a

所以 sin θ 的值是 答案:C

2 2 或- . 2 2

2. (2014 年南阳一模)已知锐角 α 的终边上一点 P(sin 40°, 1+cos 40°), 则锐角 α =( A.80° C.20° B.70° D.10°

)

1+cos 40° 2cos220° cos 20° sin 70° 解析:据三角函数定义知,tan α = = = = = sin 40° 2sin 20°cos 20° sin 20° cos 70° ta n 70°.故锐角 α =70°. 答案:B 3.(2014 年济宁模拟)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值; ?π ? (2)若函数 f(x)=cos (x-α )cos α -sin (x-α )sin α ,求函数 y= 3f? -2x?-2f2(x) 2 ? ? π? ? 在区间?0, ?上的值域. 2? ?
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解析:(1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α = ,cos α =- ,tan α =- , 2 2 3 ∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-a)sin α =cos x,x∈R, π? ?π ? ? ∴y= 3cos? -2x?-2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin?2x- ?-1. 6? ?2 ? ? π π π 5π ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 6 6 6 π? π? 1 ? ? ∴- ≤sin ?2x- ?≤1,∴-2≤2sin ?2x- ?-1≤1, 6? 6? 2 ? ? π? ?π ? ? 故函数 y= 3f? -2x?-2f2(x)在区间?0, ?上的值域为[-2,1]. 2? ?2 ? ?

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