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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学2-2


高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 2 课时 函 的 义 与 域 数定域值

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2013?考纲下载

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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请注意!
定域函的魂高中查定域以择填 义是数灵,考考的义多选、 空式现难不;时在答的一问中行 形出,度大有也解题某小当进 考;域定域对法的然物值的查往 查值是义与应则必产,域考往 与最值联系在一起,三种题型都有,难度中等.

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1.函数的定义域 1 求定义域的步骤: ( ) ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式(组); ③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)

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2 基本初等函数的定义域: ( ) ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母 不等于0 . ③偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . ④一次函数、二次函数的定义域均为 R ⑤函数 f(x)=x0 的定义域为 {x|x≠0} . ⑥指数函数的定义域为 R . 对数函数的定义域为 (0,+∞) . .

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2.函 的 域 数值 基初函的域 本等数值: 1 y=kx+b(k≠0)的 域 ( ) 值是

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R .
a>0 时 值 为 , 域2 4ac-b {y|y≤ } 4a . .

2 y=ax2+bx+c(a≠0)的 域 : ( ) 值是当 2 4ac-b {y|y≥ } ; a<0 时 值 为 当 ,域 4a k 3 y= (k≠0)的 域 ( ) 值是 x

{y|y≠0}

4 y=ax(a>0 且 a≠1)的 域 ( ) 值是 5 y=l ( ) o g
ax(a>0

(0,+∞) . R .

且 a≠1)的 域 值是

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1.(1 22 0 · 数 为

江西)下 函 中 与 数 列 数 ,函

y=

1 3

定域同函 义相的

x ( )

A.y= n x i s C.y=xe
x

1

lnx B.y= x n x i s D.y= x

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答案 D

解析 因为 y=

的定义域为{x|x≠0},而 y= 的定义 n x i s 3 x

1

1

lnx 域为{x|x≠kπ,k∈Z},y= 的定义域为{x|x> ,y=xex 的定义 0 } x n x i s 域为 R,y= 的定义域为{x|x≠0},故 D 项正确. x

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2.函数 y=l o g

3.0

(x2+4x+5)的值域为________.

答案 (-∞,0]

解析 设 u=x2+4x+5=(x+2)2+1≥1, ∴l o g
3.0

u≤0,即 y≤0,∴y∈(-∞,0].

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3.函数 y=

的值域为________.

1 答案 {y|y>0 且 y≠2}
1-x 2 1 解析 u= =-1+ ≠-1,∴y≠ ,又 y>0,∴值 2 1+x 1+x 1 域为{y|y>0 且 y≠2}.

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4.函数 y=

x2+3 x +2
2

的值域为________.

3 2 答案 [ 2 ,+∞)

x2+3 1 2 解析一 y= 2 = x +2+ 2 ≥2, x +2 x +2 ∴值域为[2,+∞).

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评析 该 法 错 , 为 且 当 解是的因当仅 号 立而 时 成 ,此 此告我,用本 例诫们利基 成立. x2=-1, 不 能 所 这 可 .以

1 x +2= 2 时等 x +2
2

y≥2 的结论是错的,

不式值,定考等是 等求域一要查号否

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1 解析二 设 x +2=t(t≥ 2), y=t+ , t2-ty+1=0, 则 即 t
2

∵t∈R,∴Δ=y2-4≥0,∴y≥2 或 y≤-2(舍去).
评析 显 这 解 也 错 , 题 是 在 号 , 然种法是的问也出等上因 为当 y=2 时,t=1?[ 2,+∞), 以 号 能 立 这 告 所 等 不 成 ,就 诉 我们,利用判别式法求值域时,要注意“Δ≥0”中的等号能否 成,等成时对自量取在定域,此 立若号立,应变的值其义内则 法正确,否则,此法失效.

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解析三

1 1 2 令 x +2=t(t≥ 2),则 y=t+ =( t- ) + t t
2

2≥2,此解法仍是错的,原因也是出在等号不成立上.
评析 总 利 基 不 式 、 别 法 配 法 值 之用本等法判式、方求域 时,都要考查“等号”能否成立.

1 解析四 易证 y=t+ 在 t≥ 2时 增 数所 是 函 ,以 t 3 3 yni =2 2,故 y∈[2 2,+∞). m

t= 2时,

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5 . 函 数 f(x) = x3 - 3x + 1 在 区 间 [ - 0 3 ] , __________.
答案 [-1 3 7 ] ,

上 值 为 的 域

解析 f′(x)=3x2-3=3(x2-1), 令 f′(x)=0,得 x=-1. 又 f(-3)=-17,f(-1)=3,f( =1, 0 ) ∴f(x)的值域为[-1 3 7 .] ,

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例 1 求下列函数的定义域: 1 1 y= ( ) + x2-1; 2-|x| 2 y= 25-x2+ls ( ) g c o x.

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【解析】 1 ( )

?2-|x|≠0, ? 由? 2 ?x -1≥0, ?

?x≠± 2, ? 得? ?x≤-1或x≥1. ?

所以函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1 且 x≠± . 2 }
?25-x2≥0, ? 由? ?c x>0, s ?o

2 ( )

?-5≤x≤5, ? 得? π π ?2kπ-2<x<2kπ+2.?k∈Z? ?

3 π π 3π 所以函数的定义域为[-5,- π)∪(- , )∪( ,5]. 2 2 2 2

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【答案】 1 { ( ) 2 [ ( )

x|x≤-1 或 x≥1 且 x≠± 2 }

3 π π 3π -5,-2π)∪(-2,2)∪( 2 ,5]

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探究 1 1 给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是 ( ) 基代式意,分的母等零偶根的开 本数的义如式分不于,次式被 方为负,指幂底不零对的数于且 数非数零数的数为,数真大零 底数为不等于 1 的正数以及三角函数的定义等. 2 求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不 ( ) 等组要心取集可助轴并要意点或 式时细,交时借数,且注端值 边界值.

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1 思考题 1 函数 f(x)= n ( l x 定义域为________.

x2-3x+2+ -x2-3x+4)的

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?x2-3x+2≥0, ? 2 【解析】 不等式组?-x -3x+4≥0, ?x≠0 ? ∪( 1 0 ] , .

的解集为[-4 0 ) ,

当 x=1 时, x2-3x+2+ -x2-3x+4=0, 不满足题意,舍去. 当 x=-4 时, x2-3x+2+ -x2-3x+4>0 满足题意. 所以函数 f(x)的定义域为[-4 0 ) , ∪( 1 0 ) , .

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【答案】 [-4 0 ) ,

∪( 1 0 ) ,

【讲评】

本有个错.生忽对 题一易点考易略

x2 -3x+2

=0 与-x2-3x+4=0 同时成立的验证.x=1 时,它们同时成 立从 使 析 无 义故 去若 验 ,会 致 误 ,而 解 式 意 ,舍 .不 证 则 导 错 .

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例 2 1 已知 y=f(x)的定义域为[ ( ) 2 1 ] , 义域. 2 已知 y=f( ( ) o g l 2 1 ] , 2x)的定义域为[

,求 y=f(3x-1)的定

,求 y=f(x)的 义 . 定域

2 【解析】 1 由 1≤3x-1≤2,得3≤x≤1. ( ) 2 ∴y=f(3x-1)的定义域为[3,1]. 2 由 1≤x≤2,得 0≤l ( ) o g ∴y=f(x)的定义域为[ 1 0 ] ,
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2x≤1.


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【答案】 1 [ ( )

2 0 2 ] [ ( , ) 3,1] 1

探究 2 1 若已知 y=f(x)的定义域为[a,b],则 y=f[g(x)] ( ) 的定义域由 a≤g(x)≤b,解出. 2 若已知 y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则 y=f(x)的定义域 ( ) 即为 g(x)的值域.

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思考题 2 若函数 f(2x)的定义域是[-1 1 ] , 义域.

, f( 求o g l

2x)的定

【解析】 对于函数 y=f(2x),-1≤x≤1, ∴2-1≤2x≤2. 则对于函数 y=f( o g l ∴ 2≤x≤4. 故 y=f( o g l
2x)的定义域为[

x),2-1≤l o g 2

2x≤2,

2,4].

【答案】 [ 2,4]

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例3 求列数值: 下函的域 1-x2 1 y= ( ) 2; 1+x 2 y= -2x2+x+3; ( ) 1 3 y=x+ +1; ( ) x 4 y=x- 1-2x; ( ) 5 y=x+ 4-x2; ( ) 6 y=|x+1|+|x-2 ( ) .|
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【解析】 1 方法一 (分离常数法) ( ) 1-x2 2 y= 2=-1+ 2, 1+x 1+x 2 ∵x ≥0,∴x +1≥1,∴0< 2≤2. 1+x
2 2

2 ∴-1<-1+ 2≤1. 1+x 即函数值域为(-1 1 ] , .

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方法二 (反解法) 1-x2 1-y 2 由 y= . 2,得 x = 1+x 1+y 1-y ∵x ≥0,∴ ≥0. 1+y
2

∴-1<y≤1,即函数值域为(-1 1 ] ,



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2 ( )

配方法)

y=

1 2 25 -2?x-4? + 8 ,

5 2 5 2 ∴0≤y≤ 4 ,∴值域为[0, 4 ]. 3 方法一 (基本不等式法) ( ) 1 1 由 y=x+ +1(x≠0),得 y-1=x+ . x x
? ?1? 1? ∵?x+ ?=|x|+? ?≥2 x? ? ? x? ?1? ? |x|· ?=2, ?x ?

∴|y-1|≥2,即 y≤-1 或 y≥3.

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方法二 (判别式法) 1 由 y=x+ +1,得 x2+(1-y)x+1=0. x ∵方程有实根,∴Δ=(1-y)2-4≥0. 即(y-1)2≥4,∴y-1≤-2 或 y-1≥2. 得 y≤-1 或 y≥3.

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方法三

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(导数法)

1 ?x+1??x-1? ∵y′=1-x2= <0, x2 ∴-1<x<0 或 0<x< 1 . ∴函数在( 1 0 ) , 上递减,在(1,+∞)上递增,此时 y≥3;

函数在(-1,0)上递减,在(-∞,-1)上递增,此时 y≤-1. ∴y≤-1 或 y≥3. 即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

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4 方法一 (单调性法) ( ) 1 定义域为{x|x≤2}, 数 函 1 上递增,故 y≤2- 1 y=x,y=- 1-2x均在(-∞,2]

1 1 1-2×2=2.

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方法二 (换元法) 1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0,且 x= 2 . 1 1 2 ∴y=-2(t+1) +1≤2(t≥0). 1 ∴y∈(-∞,2]. 1 ∴函数值域为(-∞,2].

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5 三角换元: ( ) 由 4-x2≥0,得-2≤x≤2. ∴设 x=2 c o s +2 n i s θ=2 2s n ( i θ(θ∈[0, , y=2 π 则 ) ] c o s π θ+ ). 4 θ+ 4-4 c o s
2

θ=2 c o s

θ

π π 5π ∵θ+4∈[4, 4 ], ∴s n ( i π 2 θ+ )∈[- ,1],∴y∈[-2 2 , 4 2 2].

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6 方法一 绝对值不等式法 ( )

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由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2 =3, |) 所以函数值域为[3,+∞). 方法二 数形结合法 ?-2x+1?x<-1?, ? y=?3?-1≤x≤2?, ?2x-1?x>2?. ? 画出此分段函数的图像如图,可知值域为[3,+∞).

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探究 3 求函数值域的一般方法有: ①分 常 法 离数; 调性法. ②反 法 解; ③配 法 方; ④不 式 ; 等法 ⑤单

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1-x 思考题 3 1 求函数 y= ( ) 的值域. 2x+5

【解析】 方法一 (反解法) 1-x 1-5y 由 y= ,解得 x= . 2x+5 2y+1 1 ∵2y+1≠0,∴y≠-2. 1 所以,函数的值域为{y|y∈R 且 y≠-2}.

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方法二 (分离常数法) 1 7 1-x -2?2x+5?+2 ∵y= = 2x+5 2x+5 7 1 2 1 =-2+ ≠-2, 2x+5 1 ∴函数的值域为{y|y∈R 且 y≠-2}.

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x2+x+1 2 求函数 y= ( ) 的值域. x+1

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【解析】 方法一 (判别式法) x2+x+1 由 y= ,得 x2+(1-y)x+1-y=0. x+1 ∵x∈R,x≠-1,∴Δ=(1-y)2-4 -y)≥0. 1 ( 解得 y≤-3 或 y≥1. 当 y=-3 时,x=-2;当 y=1 时,x=0. 所以,函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).
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方法二 (分离常数法) x2+x+1 ?x+1?2-?x+1?+1 1 y= = =(x+1)+ -1, x+1 x+1 x+1 1 1 又(x+1)+ ≥2 或(x+1)+ ≤-2, x+1 x+1 ∴y≥1 或 y≤-3. ∴函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).

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10x+10-x 3 求函数 y= x ( ) -x的值域. 10 -10

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10x+10-x y+1 【解析】 由 y= x ,得 =102x. 10 -10-x y-1 y+1 ∵10 >0,∴ >0. y-1
2x

∴y<-1 或 y> 1 . 即函数值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

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例 4 已知函数 f(x)=l g ( [

a2-1)x2+(a+1)x+1].

1 若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; ( ) 2 若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. ( )

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【解析】 1 依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1 , 一 ( ) > 对切 0 R 恒成立,当 a2-1≠0 时,其充要条件是
?a2-1 , > 0 ? ? 2 2 ?Δ=?a+1? -4?a -1?<0, ?

x∈

?a>1或a<-1, ? 即? 5 ?a>3或a<-1. ?

5 ∴a<-1 或 a>3. 又 a=-1 时,f(x)=0,满足题意. 5 ∴a≤-1 或 a>3.
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2 依 意只 ( 题 ,要 )

t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞) a2-1 ,Δ≥0,解之 > 0 a=

上的任何值,则 f(x)的值域为 R, 有 故

5 1<a≤3,又当 a2-1=0,即 a=1 时,t=2x+1 符 题 ; 合意 5 -1 时不合题意,∴1≤a≤3.
探究 4 已值求数值范是域用的类 知域参的或围值应中一

比较典型的题目.

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思考题 4 已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6,x∈R. 1 若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; ( ) 2 若函数的值域为非负数集,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值 ( ) 域.

【解析】 f(x)=x2-4ax+2a+6=(x-2a)2+2a+6-4a2. 1 ∵函数值域为[0,+∞),∴2a+6-4a2=0. ( ) 3 解得 a=-1 或 a=2.

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2 ∵函数值域为非负数集,∴2a+6-4a2≥0. ( ) 3 即 2a -a-3≤0,解得-1≤a≤2.
2

3 2 17 ∴f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+2) + 4 . 3 ∴f(a)在[-1,2]上单调递减. 19 ∴- 4 ≤f(a)≤4. 19 即 f(a)值域为[- 4 ,4].
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求数值与值有性法只根函解式 函的域最没通通,能据数析 的构征选对的法解因,函解式构 结特来择应方求,此对数析结 特的析十重的常函解式结模与应 征分是分要.见数析的构型对 求方可纳: 解法归为 1. 次 数 二函 y=ax2+bx+c(a≠0)及 次 函 二型数 y=a[f(x)]2

+b[f(x)]+c(a≠0)可 换 法 用元.

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2. 如 形

a1x2+b1x+c1 y= 2 (其中 a1,a2 不全为 0 且 a2x2+b2x a2x +b2x+c2

+c2≠0)的函数可用判别式法. 3. 如 形 y=ax+b± cx+d(a、b、c、d 为常数,ac≠0)的函

数,可用换元法或配方法. ax+b 2x-1 n x-1 i s 4.形如 y= (c≠0)或 y= x 或 y= 的函数, cx+d 2 +1 n x+2 i s 可用反函数法或分离常数法.

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k 5.形如 y=x+ (k>0,x> 的 数 用 像 或 值 等 0 函可图法均不 ) x 式法. 6.于 段 数 含 绝 值 对分函或有对 符号的函数(如 y=|x-1|+|x

+4 可用分段求值域(最值)或数形结合法. )| 7.定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值, 其解题程序为第一步求导,第二步求出极值及端点函数值,第 三步求最大、最小值.

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1 1.下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是 ( x A.f(x)=lnx C.f(x)=|x|
答案 A

)

1 B.f(x)= x D.f(x)=ex

1 解析 y= 定义域为(0,+∞),f(x)=lnx 定义域为(0,+ x 1 ∞).f(x)= 定义域为{x|x≠0}.f(x)=|x|定义域为 R.f(x)=ex 定义 x 域为 R.
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2. 函 已 数 知

f(x)=-x2+4x 在区间[m, 的 域 n]上 值 是

[-5 4 ] , ( )



则 m+n 的取值范围是 A.[ 7 1 ] , C.[-1 1 ] ,
答案 A

B.[ 6 1 ] , D.[ 6 0 ] ,

解析 f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴f( =4. 2 ) 又由 f(x)=-5,得 x=-1 或 5. 由 f(x)的图像知:-1≤m≤2 ≤n≤5. 2 , 因此 1≤m+n≤7.
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3.(1 23 0·

衡中调研卷)函数 y= |x|?x-1?的定义域为( B.{x|x≥1 或 x=0} D.{x|x=0}

)

A.{x|x≥1} C.{x|x≥0}
答案 B

解析 由题意得|x|(x-1)≥0,∴x-1≥0 或|x|=0. ∴x≥1 或 x=0.

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ln?2+x-x2? 4.函数 f(x)= 的定义域为________. |x|-x
答案 (-1 0 ) ,

解析

?2+x-x2>0, ? 由? ?|x|-x≠0, ?

?-1<x<2, ? 解得? ?x< . ? 0

即-1<x< 0 .

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5. 数 若 函

1 2 f(x)=2x -x+a 的定义域和值域均为[1, 1 , b](b> )

求 a、b 的值.

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解 析 1 1 2 ∵f(x)=2(x-1) +a-2, x=1.

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∴其 称 为 对轴

即[1,b]为 f(x)的 调 增 间 单递区. ∴f(x)ni m f(x)x m a 1 =f( =a-2=1, 1 ) ① ②

1 2 =f(b)=2b -b+a=b.

? 3 ?a= , 由① , 得 ? 2 ② 解 ?b=3. ?
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