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2几种常见函数的导数


几种常见函数的 导 数

一,复习: 复习:
1.求函数的导数的方法是 求函数的导数的方法是: 求函数的导数的方法是 (1)求函数的增量 y = f ( x + x) f ( x); (2)求函数的增量与自变量 : 的增量的比值

y f ( x + x) f ( x) ; = x x y (3)求极限,得导函数′ = f

′( x) = lim 求极限, y . x→0 x 2.函数 y=f(x)在点 0处的导数的几何意义 就是曲线 在点x 就是曲线y= 函数 在点 处的导数的几何意义,就是曲线 f(x)在点 在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率 处的切线的斜率. 在点 处的切线的斜率

二,新课——几种常见函数的导数 新课 几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式

) 公式1: 公式 C′ = 0 (C为常数 . y 证 : y = f ( x) = C , y = f ( x + x) f ( x) = C C , = 0, x y ∴ f ′( x) = C ′ = lim = 0. x →0 x

′ = nxn1 (n∈Q) . 公式2: 公式 ( x )
n

∈ 但根据我们所掌握 请注意公式中的条件是 n∈Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 ∈ 的情况加以证明.这个公式称为 的知识 只能就 n∈ N*的情况加以证明 这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上 可以是任意实数. 事实上n可以是任意实数 幂函数的导数公式 事实上 可以是任意实数

证: y = f ( x) = xn , y = f ( x + x) f ( x) = ( x + x)n xn
n 1 2 = [ x n + Cn x n1x + Cn x n2 (x)2 + …+ Cn (x)n ] x n

∴ f ′( x) = ( xn )′ = lim
x→0

= C x x + C x (x) + …+ C (x) , y 1 2 n = C n x n 1 + C n x n 2 x + … + C n ( x ) n 1 , x y
1 n 2 n 2 n n n

n1

n 2

x 1 n1 2 n2 n n1 n1 = lim[Cn x + Cn x x + …+ Cn (x) ] = nx .
x→0

例如 : (1)( x3 )′ =
1 ( 2 )′ = x

( x )′ =
(5 1 x
3

)′ =

sin x 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 x → 0 要证明这个公式 必须用到一个常用极限 lim x = 1.
x x ) sin , = 2 cos( x + 2 2 x x

公式3: 公式 (sin x)′ = cos x .

证: y = f ( x) = sinx, y = f ( x + x) f ( x) = sin(x + x) sinx
x 2 cos( x + ) sin sin y x 2 2 = cos( x + 2 , ) = x 2 x x x 2 sin

y x 2 ∴ f ′( x) = (sin x )′ = lim = lim cos(x + ) lim x →0 x x →0 2 x→0 x 2 = cos x 1 = cos x.

同理可证,公式 同理可证 公式4: (cos x)′ = sin x. 公式

三,例题选讲

求过曲线y=cosx上点 3 , 2 )且与过这点的切线垂 上点P( 例1:求过曲线 求过曲线 上点 且与过这点的切线垂 直的直线方程. 直的直线方程 3 ∵ . 解: y = cos x ,∴ y ′ = sin x , y ′ | π = sin x = x= 2 3 π 1 3
, )处的切线斜率为 , 3 2 2 2 从而过 P点且与切线垂直的直线 的斜率为 ; 3 1 2 π ( x ), ∴ 所求的直线方程为 y = 2 3 3 故曲线在点 P (

π 1

2π 3 即2 x 3 y + = 0. 3 2

满足条件的直线称为曲线在P点的法线. 注:满足条件的直线称为曲线在 点的法线 满足条件的直线称为曲线在 点的法线

已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 例2:已知两条曲线 已知两条曲线 问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处 使在这一点处,两条曲线的切线 曲线的一个公共点 使在这一点处 两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由 并说明理由. 互相垂直 并说明理由 设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件 满足题设条件. 解:设存在一个公共点 设存在一个公共点 满足题设条件 由 y ′ = (sin x )′ = cos x , 得 y ′ | x = x 0 = cos x 0 ;

由 y ′ = (cos x )′ = sin x , 得 y ′ | x = x 0 = sin x 0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则 由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) 互相垂直 =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 得 即 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点 这不可能 所以不存在满足题设条件的一个点. 所以不存在满足题设条件的一个点 练习1:曲线 在点P( 练习 曲线y=sinx在点 曲线 在点
2 arctan 2 ___________.
π
2 , )处的切线的倾斜角为 处的切线的倾斜角为 4 2

1 例3:求双曲线 y = 与抛物线 y= x 交点处切线的夹角 求双曲线 = 交点处切线的夹角. x 1 x = 1 y= 故交点为( 1 , 故交点为( 1, . 解:联立方程组 ) x , 解得 y =1 y = x 1 1 1 ′ = 2 ,∴ k 1 = y ′ | x = 1 = 1, 故双曲线 y = 双曲线 y = , y x x x 在交点 (1,1) 处的切线斜率为 k 1 = 1;
1 1 1 2 抛物线 y = x , y ′ = x ,∴ k 1 = y ′ | x = 1 = , 故抛物线 2 2 1 y = x 在交点 (1,1) 处的切线斜率为 k 2 = ; 2 1 1 k1 k2 2 |= 3. |=| 由夹角公式: tanθ =| 1 1 + k1k2 1 + (1) 2 ∴ 夹角 θ = arctan 3.

四,小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式 要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c′ = 0 (c为常 要切实掌握四种常见函数的导数公式 为常 数;(2)( xα )′ = αxα1(α ∈ R);(3) (sinx)′ = cosx;(4)(cos x)′ = sin x. 2.对于简单函数的求导 关键是合理转化函数关系式为 对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 对于简单函数的求导 可以直接应用公式的基本函数的模式. 可以直接应用公式的基本函数的模式 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 合性问题

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