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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词


5.若命题“﹁p”与命题“p∨q”都是真 命题,那么(

B )

A.命题p与命题q的真假相同

B.命题q一定是真命题
C.命题q不一定是真命题

D.命题p不一定是真命题

探究点1 全称量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有 什么关系?

(1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 提示: 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。

【提升总结】
(1)与(3)区别是对所有的x∈R,x>3;
(2)与(4)区别是对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词,并用符号“

? ”表示
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” 等

含有全称量词的命题, 叫做全称命题.

全称命题举例:
命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。 全称命题符号记法: 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ” 可用符号简记为:

? x ? M , p ( x ),
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。

判断全称命题真假

要判定全称命题“ ? x∈M,p(x) ”是真命题,
需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立;

如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不
成立,那么这个全称命题就是假命题.

例1

判断下列全称命题的真假:

(1)所有的素数都是奇数;
(2 ) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。 解:(1)2是素数,但2不是奇数,所以为假命题.

(2)真命题.
2 (3) 2 是无理数,但( 2) =2是有理数.所以

为假命题.

【变式练习】
判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3 ) 解:(1)真命题; (2)-4没有算术平方根,所以为假命题; (3)真命题。

命题:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数。 这是全称命题吗? 提示:不是。

探究点2

存在量词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间 有什么关系? (1)2x+1=3;

(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除。 提示: 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题;

语句(3)(4)可以判断真假,是命题。

短语“存在一个”“至少有一个”
在逻辑中通常叫做存在量词,

并用符号“

常见的存在量词还有 含有存在量词的命题, “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 叫做特称命题.

? ”表示.

特称命题举例: 命题:有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数。
特称命题符号记法: 特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ” 可用符号简记为:

? x 0 ? M , p ( x 0 ),
读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。

判断特称命题真假 要判定特称命题 “ ? x0∈M, p(x0)”是

真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使
p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)

成立的元素x不存在,则特称命题是假命题.

【即时训练】
在下列特称命题中假命题的个数是( A )
①有的实数是无限不循环小数

②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形 A.0 C.2 B.1 D.3

解:因为三个命题都是真命题,所以假命题的个数

为0.

例2

判断下列特称命题的真假:

(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。
2 2 解:(1)对于x∈R, +2>0恒成立, x +2x+3= (x+1)

所以 x2+2x+3=0无解,所以为假命题.
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,

因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线,
所以为假命题. (3)真命题.

【变式练习】
判断下列特称命题的真假:

(1) ?x0 ? R, x0 ? 0;
(2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;

(3)?x0 ? { x | x是无理数},x02是无理数。
解:(1)真命题;

(2)真命题;
(3)真命题.

1.下列命题中是特称命题的是(
A、?x∈R,x2≥0

B )

B、?x∈R,x2<0
C、平行四边形的对边不平行 D、矩形的任一组对边都不相等

2.下列命题: ①至少有一个 x,使 x2+2x+1=0 成立; ②对任意的 x,都有 x2+2x+1=0 成立; ③对任意的 x,都有 x2+2x+1=0 不成立; ④存在 x,使 x2+2x+1=0 不成立. 其中是全称命题的个数为( B ) A、1 B、2 C、3 D、4

3.下列命题为特称命题的是( D ) A、偶函数的图象关于 y 轴对称 B、正四棱柱都是平行六面体 C、不相交的两条直线是平行直线 D、存在实数大于等于 3

4.下列命题中是真命题的是( B ) A、?x0∈R,x02+1<0 B、?x0∈Z,3x0+1是整数 C、?x∈R,|x|>3

D、?x∈Q,x2∈Z
解:当x=1时,3x+1=4是整数,故选B.

5.给出下列命题:
①所有的单位向量都相等;

②对任意实数x,均有x2+2>x;
③不存在实数x,使x2+2x+3<0;

②③ . 其中所有正确命题的序号为________

6.用符号“?”与“?”表示下列命题,并判断

真假.
(1)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根;

(2)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.
解:(1)?m∈R,方程x2+x-m=0必有实根. 当m=-1时,方程无实根,是假命题. (2)?x∈R,使x2+x+4≤0. >0恒成立,所以为假命题. x2+x+4=
1 2 15 + (x+ ) 4 2

全称量词与存在量词

全称命题

特称命题

全称量词

存在量词

全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”, 符号简记为: ? x∈M,p(x), 读作:对任意x属于M,有p(x)成立, 含有全称量词的命题,叫做全称命题.

特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”,

符号简记为:?x0∈M,p(x0),
读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)成立” 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,

可能有不同的表述方法: 命 题
全称命题

?x ? M , p(x)

特称命题 ?x0 ? M , p ( x0 ) ①存在x0∈M,使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使 p(x0)成立 ③对有些x0∈M,使p(x0)成立 ④对某个x0∈M,使p(x0)成立 ⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立

表 述 方 法

①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立


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