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3.1.1倾斜角与斜率


观察下面的跷跷板,跷跷板的位置固定吗?

对于平面直角坐标系内的一条直线 l 你 认为它的位置由哪些条件确定呢? y

l

两点确定一条直线

过一点能不能确定一条直线?

x

o

如图,在直角坐标系中, 过点P的不同直线的区别在

哪里?
y

l2
l3
?

l1
倾斜程度不同 x

o

P

当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线向上方向之间所成的 ? 角叫做直线的 倾斜角。
y o

?

p

l
x

y p o

l

y

y p

?x

o

?x

p

o

l x

l

规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°

直线的倾斜角的取值范围为: 0 ? ? ? 180

播放

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如 果不对,违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

? o
(3)

x

?
o
(4)

x

(1)

(2)

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量
升 高 量 前进量

?

?

结论:坡度越大,楼梯越陡.

二、直线的斜率:
设直线的倾斜程度为k
k AC ? CB AB
C 升
高 量

? tan ?

A

?
前进量

B

1、定义:

我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示,即: k ? tan ?

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3 ? ? ?2?a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?
?

?3?a ? 60 ? k ? tan60 ? 3 ? ? k ? tan120 ? ? 3 ?4?a ? 120 ? 3 ?5?a ? 150 ? k ? tan150 ? ?
?
?

3

例题分析
例1 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小
l1
y

l2 l3

O

X

k1 ? k3 ? k2


y p

?在内 [0 ,180 )变化时,斜率k如何变化?
l
x y p o
l

y o p

y

o

?

?x

p

?x

o

l x

l

0°< ? < 90°

? = 90° 90°< ? <180° ? = 0°
k不存在 k<0 k=0

k >0

播放

练习: 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan( ? )
②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。 ( )

③两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( )

⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大

(

)

锐角
y
y2
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为锐角时,

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,
且x1 ? x2 , y1 ? y2

Q( x2 , y1 )

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, ? ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )
P 1 ( x1 , y1 )

?
Q( x2 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

? ?0

? ?

k ? tan0 ? 0
1、当直线平行于x轴,或与x轴重合时, 上述公式还适用吗?为什么?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x1 o

x2

x

y2 ? y1 k? x2 ? x1

思考? ? ? ? ? 90 , tan90 (不存在)
k不存在
2、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, 上述公式还适用吗?为什么?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y1

o

x

y2 ? y1 k? x2 ? x1

思考?
B(b1 , b2 ) ,运 3 、已知直线上两点 A(a1 , a2 ) 、 用上述公式计算直线AB的斜率时,与A、B的 顺序有关吗?

k AB

b2 ? a2 ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2
P1 P1

P2

例题分析
例1 如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求
直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. B 解: . A . . . . . . . 2?2 ?0 o 直线AB的斜率 k AB ? x . ?8? 4
直线BC的斜率 kBC ? 直线CA的斜率 kCA
?2?2 ?4 1 ? ?? 0 ? (?8) 8 2

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 ? ? ?1 4?0 4

1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

4 思考:1已知直线l的倾斜角为 ? ,sin ? = 5 求此直线的斜率。

2 已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜 角为钝角时,求a的范围。

作业:

课本P86练习

4 思考:1已知直线l的倾斜角为 ? ,sin ? = 5 求此直线的斜率。

2 已知A(a,2), B(3,-1),当AB倾斜 角为钝角时,求a的范围。

从 M ? 2,2 ? 射出一条光线 ,经过x 轴反射 后过点N ( ? 8 ,3 ),求反射点P 的坐标

能力提升

解:设 P(x,0) N(-8,3)
因为入射角等于反射角
? K MP ? ?K PN
M(2,2)

? ?
P

2 3 ? 2?x 8? x

解得 x ? ?2

? 反射点 P ( ?2,0)


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