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2007年福建省高一数学竞赛试题


2007 年福建省高一数学竞赛试题
(考试时间:5 月 20 日上午 8:30—11:00) 一 题号 1—5 6—12 13 得分 评卷人 复查人
答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 一、选择题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.给出下列四个命题: (1)若 a 、 b 是异面直线,则必存在唯一的一个平面

同时平行 a 、 b ; (2)若 a 、 b 是异面直线,则必存在唯一的一个平面同时垂直 a 、 b ; (3)若 a 、 b 是异面直线,则过 a 存在唯一的一个平面平行于 b ; (4)若 a 、 b 是异面直线,则过 a 存在唯一的一个平面垂直于 b ; 上述四个命题中,正确的命题有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

二 14

三 总分 15 16 17

? 3 ? 2.设集合 M ? x y ? lg ? 4 ? 2 x ? x 2 ? , N ? ? x ? 1? ,则 M ? N ? ( ? x ?1 ?
A.

?

?

) C.

?x ?1 ? x ?

5 ?1

?
?
) C. 9

B.

? x ?3 ? x ? 2?

? x ?1 ? x ? 1?

D. x ?1 ? 5 ? x ? ?3或 5 ? 1 ? x ? 2

?

3. 已知函数 f ? x ? ? 2x 与 g ? x ? ? x3 的图像交于 A? x1, y1?、B ? x 2, y 2? 两点,其中 x1 ? x2 . 若

x2 ? ? a, a ?1? ,且 a 为整数,则 a ? (
A. 7 4.已知函数 B. 8

f ? x? ?

?

D. 10

2? x ?( 1 x ?0) f ? x ?1?(x ?0)

,

若方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根, 则

实数 a 的取值范围为( A.

) C.

? ??,0?

B. ?0,1?

? ??, ?1?

D. ?0, ???

? ? ? ? 5. 点 O 在△ABC 的内部,且满足 OA? 2 OB? 2 OC ? 0 ,则△ABC 的面积和凹四边形 ABOC 的 面积之比为( ) 5 3 5 4 A. B. C. D. 2 2 4 3 二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分)

a, ? sin 2 x ?cos2 y ? 3 2 , 6.若存在实数 x 和 y ,使得 ? cos2 x ?sin 2 y ? 1 a 2 , 则实数 a 的所有可能值为 ? 2

.

7. 将一边长为 4 的正方形纸片按图 1 中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱, 设 其体积为 V1 ;若将同样的正方形纸片按图 2 中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥, 设其体积为 V2 ;则 V1 与 V2 的大小关系是 .

图1

图2

8. 为

? ? nn ? n ?N*? , 则 b1 ? b2 ? ? b2 0 0 的 已 知 bn ? cos? an? ? , 其 中 an ? 1 ? 22 ? 33 ? 7 值

.

9. 设 f ? x ? ? g ? x ? ?
2 2

1 ? cos 2 x ? ? ? ? ?? x ?? ? , ? ? , 且 f ? x? 为 奇 函 数 , g ? x? 为 偶 函 数 , 则 ? 1 ? sin x ? ? 2 2 ??
.

? ? ? ?? ? ? ? ?? ? f ? 4 ?? ? ? g ? 4 ?? ? ? ? ?? ? ? ??

10. 若 对 满 足 x ? 1 的 一 切 实 数 x , 不 等 式 t ? 1 ? ? t 2 ? 4 ? x 恒 成 立 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 . 11. 已 知 f ? x ? 为 R 上 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? f ?3? 成 立 , 则

f ? 2007? ?
12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列: a1 , a2 , a3 ,?, an ,例如:

a1 ? 22 ?12 ? 3,a2 ? 32 ? 22 ? 5,a3 ? 42 ? 32 ? 7, . a2007 ? 三、解答题(共 5 小题,每小题 12 分,满分 60 分) 13. 已知圆 C 满足下列三个条件 (1) 圆 C 与 x 轴相切; (2) 圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上;

a4 ? 32 ?12 ? 8, ?

.





(3) 圆 C 与直线 x ? y ? 0 交于 A、B 两点,且△ABC 的面积为 14 . 求符合上述条件的圆 C 的方程.

14. 已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c ?b ? 0? 在区间 ??1,1? 上的最小值为 (1)求 f ? x ? 的表达式;

3 ,最大值为 3. 4

(2)若 an ? f ? n? ? f ? n ?1? ,其中 n ? 2 ,且 n ? N * . 求证:
1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 a2 a3 a4 an 4

O

C

15. 如图,在四边形 OBAC 中 BO ? CO ,AB=AC=4, 面积的最大值.
B A

求四边形 OBAC

16.如图, AB 是圆 O 的直径, C 是弧 AB 的中点, 在 AB 及其延长线上分别取点 D、 E, 使 BD=BE, 直线 CD、CE 分别交圆 O 于点 F、G. AF AG ? (1)求证: ; DF EG (2)在直径 AB 上是否存在点 D,使得 FG 与 AB 垂直.若能,请写出作法;若不能,请 说明理由.
C G E A O D B

17. 求 最 小 的 正 整 数 n , 使 得 集 合

3, ?1 , 2 ,?

,2 007 n 元子集中都有 2 ? 的每一个
第 16 题

F

个 元 素


(可以相同) ,它们的和是 2 的幂.

简解 选择:AACCC 填空:6、1;7、 V1 ? V2 ;8、 ? 1 ;9、 ? 2 ;10、 11、0;12、2679 解答: 13、 ?x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9或?x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9
2 2 2 2

13 ? 1 21 ? 1 ?t ? 2 2

14、 (1) f ?x? ? x 2 ? x ? 1 (2)利用 15、 8 ? 8 2 16、 (1)证明△ECB∽△EAG 及△BCD∽△FAD (2)反证法
1 1 ? 进行放缩 2 ?n ? 1? ? n n

17、1002.


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