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2014届高考数学一轮复习课件:第二章第2课时函数的单调性与最值(新人教A版)


第2课时

函数的单调性与最值

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考纲展示 备考指南 1.利用函数的单调性求单调区 间、比较大小、解不等式、求 变量的取值是历年高考考查的 热点. 2.利用函数的单调性求最值, 及利用它们求参数取值范围问 题是重点,也是难点. 3.题型以选择题和填空题为主, 与导数交汇命题则会以解答题 的形式出现.

1.理解函数的单调性、 最大值、最小值及其几 何意义. 2.会运用基本初等函数 的图象分析函数的性质.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, 定 x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) 义 __________,那么就 _________,那么就说 f(x1)>f(x2) 说函数f(x)在区间D上 函数f(x)在区间D上是 是增函数 减函数

(2)单调性、单调区间的定义

增函数 减函数 若函数f(x)在区间D上是________或________,则称函数f(x)在
这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作f(x)的单调区间. 思考探究

1.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,与函数f(x)的单调递增
区间为[a,b]含义相同吗? 提示:不相同.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不能排除f(x)在 其他区间单调递增,而f(x)的单调递增区间为[a,b]意味着f(x) 在其他区间不可能单调递增.

2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足 (1)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ___________; (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M ___________ M为最小值

(1)对于任意x∈I,都 f(x)≤M 有_________; 条件 (2)存在x0∈I,使得 f(x0)=M __________ 结论 M为最大值

思考探究

2.函数的最值与函数值域有何关系?
提示:函数的最值与函数的值域是关联的,求出了闭区 间上连续函数的值域也就有了函数的最值,但只有了函 数的最大(小)值,未必能求出函数的值域.

课前热身
1.下列函数中,在(0,3)上是增函数的是( 3 A.f(x)= B.f(x)=-x+3 x C.f(x)= x D.f(x)=x2-6x+4 )

答案:C

2.若函数f(x)=ax+1在R上递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3) 的增区间是( A.(2,+∞) C.(4,+∞) 答案:B 3.若函数f(x)=x2 -2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则 ) B.(-∞,2) D.(-∞,4)

实数m的值为(
A.-3 C.-1

)
B.-2 D.1

解析:选B.∵f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为单调增函
数,且f(x)在[3,+∞)上的最小值为1, ∴f(3)=1,即22+m-1=1,m=-2.

1 4.函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为________,最大值 x-1 为________.

1 答案: 2

1

5.若 f(x)在(-∞,+∞)为减函数且 f(1-m)>f(2+m), 则 m 的范围是________.

1 答案:(- ,+∞) 2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 函数单调性的判断

例1

1 证明函数 f(x)=2x- 在(-∞, 0)上是单调增函数. x 【证明】 法一:设 x1,x2 是区间(-∞,0)上的任 意两个自变量,且 x1<x2. 1 1 则 f(x1)=2x1- ,f(x2)=2x2- , x1 x2 1 1 f(x1)-f(x2)=(2x1- )-(2x2- ) x1 x2 1 1 =2(x1-x2)+( - ) x2 x1 1 =(x1-x2)(2+ ). x1x2

1 由于 x1<x2<0,所以 x1-x2<0,2+ >0, x1x2 因此 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(-∞,0)上是单调增函数. 1 法二:因为 f(x)=2x- , x 1 所以 f′(x)=2+ 2. x 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,0)上是单调增函数.

【规律小结】

(1)判断或证明函数的单调性,最基本的

方法是利用定义或利用导数.

利用定义的步骤是:设元取值→作差(商)变形→确定符
号(与1比较大小)→得出结论; 利用导数的步骤是:求导函数→判断导函数在区间上的 符号→得出结论. (2)两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增

函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函
数的差、积、商的函数单调性也不确定.

跟踪训练 ax 1.讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1
解:设-1<x1<x2<1, 1 ? x-1+1 ? f(x)=a =a 1+x-1 , x-1 ? ? ?1+ 1 ?-a?1+ 1 ? f(x1)-f(x2)=a ? x1-1? ? x2-1 ? x2-x1 =a . ?x1-1??x2-1? 当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递增.

考点 2 求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+3; (2)f(x)=x3-15x2-33x+6.
?-x +2x+3,x≥0, ? 【解】 (1)原函数等价于 y=? 作 2 ? ?-x -2x+3,x<0,
2

出如下函数图象:

由函数图象可知, 函数 y=-x2+2|x|+3 在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.

(2)f′(x)=3x2-30x-33 =3(x-11)(x+1), 当x<-1或x>11时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-1<x<11时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(x)的递增区间是(-∞,-1),(11,+∞);递减区间

是(-1,11).

【题后感悟】

求函数的单调区间与确定单调性的方法:

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复 合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域、再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易

作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.

跟踪训练 2.函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2| 的单调递减区间是________. 解析:由于f(x) 在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因 此g(x)的减区间就是y=|x-2|的减区间(-∞,2].

答案:(-∞,2]

考点 3 例3

求函数的最值与值域 求下列函数的值域:

(1)y=x2+2x(x∈[0,3]); x-3 (2)y= ; x+1 (3)y=x- 1-2x.
【解】 (1)(配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵0≤x≤3, ∴1≤x+1≤4, ∴1≤(x+1)2≤16, ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].

x-3 x+1-4 4 (2)(分离常数法)y= = =1- . x+1 x+1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1. x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. 1-t2 (3)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= ,于是 2 1-t2 1 1 2 y= -t=- (t+1) +1,由于 t≥0,所以 y≤ ,故函 2 2 2 1 数的值域是{y|y≤ }. 2 法二:(单调性法)容易判断函数 y=f(x)为增函数,而其定 1 1 1 义域应满足 1-2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f( )= , 2 2 2 1 即函数的值域是{y|y≤ }. 2

【题后感悟】

(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分

母同次时,可考虑用分离常数法;(2)若与二次函数有关, 可用配方法;(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元 法或单调性法;(4)当函数解析式结构与基本不等式有关,

可考虑用基本不等式求解;(5)分段函数宜分段求解;(6)当
函数的图象易画时,还可借助于图象求解.

跟踪训练 3.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+ 2 y),当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- ,且 f(x)在 R 上是减函 3 数,求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). ∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

方法感悟
1.函数的单调性 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限 1 制.例如函数 y= 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调 x 递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞) 内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞, 0)和(0,+∞),不能用“∪”连接.

2.求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域

的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的
单调区间.常用方法:根据定义、利用图象和单调函数的 性质、利用导数的性质.

名师讲坛精彩呈现
规范解答


用定义法判定函数的单调性

(本题满分 12 分)(2011· 高考上海卷)已知函数 f(x)

=a·x+b·x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. 2 3 (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

【解】 (1)当 a>0,b>0 时?,任意 x1,x2∈R,x1<x2, 1 则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2).2 分 ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 4 分 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数.6 分

(2)f(x+1)-f(x)=a·x+2b·x>0,8 分 2 3

?3?x>- a , 当 a<0,b>0 时, 2 ? ? 2b ?- a ??;10 分 则 x>log1.5 ? 2b ? 2 ?3?x<- a , 当 a>0,b<0 时, 2 ? ? 2b ?- a ?.12 分 则 x<log1.5 ? 2b ?

抓关键

促规范

1 易忽视对 a、b 进行讨论.

2 明确指数式和对数式的互化.

【方法提炼】

定义法是证明函数单调性的一种最基本的

方法,当然还可以利用图象法、导数法、复合函数法(对
于复合函数y=f(g(x)),在公共定义域上遵循“同增异减”

的原则)、利用函数的奇偶性和单调性的关系:奇函数在
关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而偶函数 在关于原点对称的两个区间上的单调性是相反的.

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