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高中物理竞赛讲座1


电 磁 学专 题

讲 授 提 纲

电磁学讲授提纲
一、带电体(粒子)在库仑力作用下的运动 二、电场强度叠加原理 三、电势叠加原理 电势能 四、静电场中的导体 电容器 五、载流导体受安培运动 六、电荷受电磁场力运动 七、电磁感应

专题一、带电体(粒子)在库仑力作用下的运动

例 半径

为R、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷,总

电量为Q。(1)知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动,求园环上的电荷
分布;(2)如图,将Q1=kQ放在距环心r1处,若Q2、Q1、Q三者都静止不动, 求Q2的大小和位置;(3)让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿x轴移

小距离x后静止释放,试讨论环的运动。



球面

(1)

2?Rd? dE ? cos? 2 4?? 0 r

? 2?R 2 sin ?d? dE ? cos? 2 4??0 r

Q ? ? ?? R sin ? ? sin ? 4R
(2)

Q2Q Q1Q2 ? ?0 2 2 r2 (r1 ? r2 )

Q1Q Q2Q ? 2 ?0 2 r1 r2
r2 ? r1 k ?1

Q1Q Q1Q2 ? ?0 2 2 r1 (r1 ? r2 )
r22 k Q2 ? 2 Q1 ? Q 2 r1 ( k ? 1)

Q1

(r1 ? r2 ) ? ?k 2 Q r2
2

r1 2 r1>R ; Q1<0、Q2<0 ; ? r2 ? R,? k ? (1 ? ) R

k ?1

(3)

Q1 Q2 Q Q1Q Q2 Q ? [ ? ] Fx ? ? x x 4?? 0 2 4?? 0 (r1 ? x) 2 4?? 0 (r2 ? x) 2 r1 (1 ? ) 2 r22 (1 ? ) 2 r1 r2

Q Q1 2x 2x Q Q1 2 x Q2 2x [(1 ? ) ? (1 ? )] ? [ 2 (1 ? ) ? 2 (1 ? )] ? 2 4?? 0 r1 r1 r2) 4?? 0 r1 r1 r2 r2)
2 2 2 kQ r k k Q 2Q Q1 1 1 1 ? ? [ 1 ? )]x ? ? x ?? [( ) ? )] x 2 3 3 4?? 0 r1 r1 r2) 4?? 0 r1 r2 4?? 0 r1

??

k kQ2 2?? 0 r13 m

T ? 2?

2?? 0 r13 m k kQ2

例 一个质量为 m ,带电荷为 Q 的离子以非相对论初始速率 v0 ,从极
远处射向一中性原子附近,该中性原子的质量 M>>m,α为极化率。如 图 1 所示,b 为碰撞参数(即瞄准距离)。中性原子被靠近的离子的电

场(Eion)极化,从而有电偶极矩

。 p ? ?Eion

不计辐射损失。

1、对图 2 所示几何关系,计算位于原点的理想电偶极子 p 在其延长线

上,距O点 r 处的电场强度 EP;

2、求极化原子作用在离子上的力 f 号,该力都是吸引力;

。证明不论离子所带电荷为何种符

3、求离子与原子间有相互作用电势能; 4、求图 1 中最接近距离 rmin; 5、当瞄准距离 b 小于某个临界值 b0 时,离子将会沿一螺线碰到原子。 在此情况下,离子被中和,原子将会带电。此过程叫做“电荷交换” 相互作用。“电荷交换”碰撞截面的面积
2 A ? ?b0

是多少?

解:

1、电偶极子在空间任意一点的电场度为

? E?

? ? ?) r ? ? p] [3( p ? r 3 4?? 0 r ? ? 2p E (? ? 0) ? 4?? 0 r 3


1

1 1 E? [ ? ] 2 2 4?? 0 (r ? a ) (r ? a ) 1 1 ? [ ? ] 2 4?? 0 r (1 ? a ) 2 (1 ? a ) 2 r r q 2a 2a 2p ? [1 ? ?1? ] ? 2 4?? 0 r r r 4?? 0 r 3 q

q

2、离子在电偶极子的延长线上,故离子所受的电场力为

? ? ? 2Qp f ? QE p (? ? 0) ? 4?? 0 r 3

? ? ?Q ? p ? ?Eion ? ? r 2 4?? 0 r
2

? ? f ? QE p (? ? 0) ? ?

2Q ?Q ?Q ??? 2 2 5 r ? r 3 2 4?? 0 r 4?? 0 r 8? ? 0 r

由上式知,无论Q是正是负,作用力总是引力。 3、离子和电偶极子的相互作用电势能为

W ??

?

r

2 2 ? ? ? ?Q ?Q f ? dr ? ? ? 2 2 5 dr ? ? 2 4 r 8? ? 0 r 32? 2? 0 r

4、求r 的最小值

设t 时刻,离子的速率为 v ,与原子的距离为 rmin ,则由能量守

恒和角动量守恒得
2 1 1 ? Q 2 m v0 ? m v2 ? 2 2 4 2 2 32? ? 0 rmin v b ? mv0b ? mvr min v0 rmin

( 1)

( 2)

由(1)式得

1 2 ? Q m v 0 v2 2 ? ?1 2 2 2 4 v0 32? ? 0 rmin
2

由(2)式得

1 2 ? Q m v0 b 2 b 4 2 ( ) ? ( ) ?1 2 2 4 rmin 32? ? 0 b rmin
2

( 3)

rmin 4 rmin 2 ?Q 2 ( ) ?( ) ? ?0 2 2 2 4 b b 16? ? 0 m v0 b
rmin 2 ( ) ? b

?Q 2 1? 1? 2 2 4 4? 2? 0 m v0 b
2

rmin

2 b ? ? Q ?1 ? 1 ? ? 2 2 2 4 ? 4 ? ? m v 2? 0 0b

? ? ? ?

1

2

( 3)

5、求碰撞截面积。
由(3)式知,因b≠0,所以rmin不能为零。若Q=0,该式不失正确性, 这时

rmin

b ? 1? 1 2

?

?

1

2

(我们在(3)式根号前取+号,可使 r

min

?b



,对(3)式有

rmin

2 b ? ? Q ?1 ? 1 ? ? 2 2 2 4 4 ? ? m v 2? 0 0b ?

? ? ? ?

1

2

( 4)

由(4)式知,为保证 rmin为实数,则要求

?Q 2 ?1 2 2 2 4 4? ? 0 m v0 b



1

b?4
4

?Q 2 2 2 4? 2? 0 mv 0

? ?Q 2 ? b ? b0 ? ? ? 4? 2? 2 m v2 ? ? 0 0 ? ?
2

? ?Q ? 2 A ? ?b0 ? ? ? ? 4? 2? 2 m v2 ? ? 0 0 ? ?

1

2

例:如图所示,圆形真空平板电容器极板半径为R,

板间距离为 d (d<<R) ,极板间接恒压源 V。一
半径为r(<<d)、质量为m 的薄导体圆片置于下极。 板中心。忽略边缘效应、电感效应、相对论效应 和镜像电荷镜像效应等。求:①、未插入小圆片时 电容器两极板间的相互作用力;②、小圆片上的电量q ;③、使小圆片刚好 浮起需加的电源电压值V th;④、当V > V th时小圆片将在电容 器两极板 间上下运动(小圆片只做垂直运动,没有 摇摆),小圆片与极板作非弹性 碰撞,恢复系数为 η ≡vafter/vbefore 。小圆片碰撞后的瞬时速度接近一个 “稳态速度 v s ” ,求 v s ;⑤、达到稳态后,如果q V>> mgd ,通过 电容器极板间电流的时间平均值;⑥、极板间电压V 慢慢下降时,存在 一个临界电压 VC ,使电荷在板间停止流动。求V C、及对应的电流 IC。

解:①、Q

V ? ?? R ? ? 0 E?R ? ? 0 ?R 2 d V 1 V2 F ?Q ? ? 0 2 ?R 2 2d 2 d
2 2

②、求小圆盘上的电量

? q ? ???r ? ?? 0 E?r ? ?? 0
2 2

?r 2V
d



? ? ?0

?r 2
d

,则

q ? ? ?V

③、求小圆盘浮起的电圧V th
2 ? 0?r 2 Vth 1 Vth Fe ? q? ? mg 2 2 d 2 d

2m g d Vth ? ? 0? r

④、求小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”vs 恢复系数η:

va ?? ? vb

碰后两物相对速度 碰前两物相对速度

小圆盘上下运动一个来回获静电能:

?w ? 2qV

小圆盘每一次非弹性碰撞后的动能损失:

1 2 1 2 ?Ek ? Ekb ? Eka ? mv b ? mv a 2 2
? (1 ? ? ) Ekb ? (
2

1
2

?

? 1) Eka

若小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”为vs,则其与下板碰后的动能为:

Eks ?

因此小圆盘向上运动在与上板碰撞前的动能为: EkS 小圆盘一个来回两次碰撞的动能损失为:

1 2 mv s 2

? qV ? mgd

?Ek总 ? (

1

?2

- 1)Eks ? (1 ? ? 2 )(EKS ? qV ? m gd)

小圆盘达稳态的条件是:小圆盘从电源获得的电能刚好补偿动能的损失,即

2qV ? (
解得:

1

?2

- 1)Eks ? (1 ? ? 2 )(EKS ? qV ? m gd)

1 2 ?2 ?2 Eks ? m vs ? ( )qV ? m gd 2 2 2 1 ?? 1 ??

因此

vs ?

2 ?2 ?2 ( qV ? m gd) 2 2 m 1 ?? 1 ??

?

2? 2? 0?r 2V 2 2? 2 ? gd 2 2 (1 ? ? )m d 1 ? ?

⑤、小圆盘每个来回携带的电荷量为2q。电荷上升和下降的时间分别为 t+、t-,Δt= t++t-,初速分别为v0+、v0-,加速度分别为a+、a-。则

1 2 v0? t ? ? a? t ? ? d 2

1 2 v0?t ? ? a?t ? ?d 2 V F ? ma ? ? qE ? mg ? q ? mg d qV md

当达到稳态后,如果qV>>mgd,则圆盘向上、向下运动是对称的,故

a ? ? a ? ? a0 ?

t ? ? t ? ? t0

v0 ? ? v0 ? ? vs

vs 这时恢复系数为:? ? v s ? a0 t 0
忽略重力的功,小圆盘稳态动能为:

1 ? ? vs ? t ? 2 t ? 2 ( ) ,这时时间间隔为: 0 ? a0

1 2 ?2 Eks ? m vs ? qV 2 2 1 ??

将a0和vs 代入Δt 得:

1 ?? 2? 2 m d2 1 ? ? 2m d2 ?t ? 2t0 ? 2( ) ?2 ? 1 ?? qV 1 ? ? ?V 2
3

因此

?Q 2q 1 ? ? ? 2 2 I? ? ? V ? ? V ?t ?t 1 ?? 2md2

1?? ? ? 1 ??

?3
2md 2

⑥、电压缓降至VC时,回路中电流停止流动,试求临界电压VC和相应的 临界电流IC。小圆盘到达上板速度为零时的电压为临界电压,即

Eks ? qVC ? mgd ? 0

?2 ?2 ( )qVC ? m gd ? qVC ? m gd ? 0 2 2 1 ?? 1 ??

1 ?? qVC ? ?V ? m gd 2 1 ??
2 2 C

? ? ?0

?r 2
d

2m g d Vth ? ? 0? r
1 ?? 2 1 ZC ? ? 2 2(1 ? ? ) 2

1 ?? 2 VC ? 1 ?? 2

mgd

?

1 ? ? 2 mgd 2 ? ? Z CVth 2 2 1 ? ? ? 0?r

下面求临界电流 IC Δt=t++t- ,

1 v0? t ? ? a ? t ? ? d 2
qVC 2 a? ? ?g ?( )g 2 md 1 ??

1 v0? t ? ? a ? t ? ? d 2

qVC ? 2? 2 a? ? ?g ?( )g 2 md 1 ??


a? ? ?? 2 a?
1 2 d ? a? t ? 2
2 t? ? 2d

v0? ? 0

, 故 v0 ?

? ? (a ? t ? )



a?

,则 ,得

2d (1 ? ? 2 )d t? ? ? 利用 a? g

v0? ? v0? ? a? t?

v0? ?0 、

2

? v02? ? 2d a?

v0? 2d (1 ? ? 2 )d t? t? ? ? ? ? 2 a? a? ? g ?

1 2 d ?t ? t? ? t? ? (1 ? ) (1 ? ? ) ? g

2? 1 ?? 2 2q 2?VC IC ? ? ? g m? 2 ?t ?t (1 ? ? )(1 ? ? )

专题二、

电场强度叠加原理

1、以点电荷的场强叠加

? ? 1 ?qi ? E ? ? Ei ? ? r 2 i i i 4?? 0 ri ? dq ? E?? r 2 4?? 0 r q
例:电偶极子

? ? 电偶极子的电偶极矩: p ? 2qa

? ? k ?) r ? ? p] E ? 3 [( 3 p ? r r

2、以典型电荷分布的场强叠加 例

●半径为R的均匀带电球面的电场强度

? E?

Q 4?? 0 r
2

? r

(r>R)

? E ?0

(r>0)

●半径为R的均匀带电球体内外的电场强度

? E? ? E?

Q 4?? 0 r 2

? r

(r>R)

? Qr ?r ?? r 3 4?? 0 R 3? 0

(r≤R)

●由柱外电场强度公式知:线密度为λ 的无限长直线电荷的电场强度为

? E? 2??0 r
●无限大均匀带电平(单位面积带电荷σ)

λ

? E? ? 2?k? 2? 0
请同学们自己用高斯定理证明上式
σ

专题三、


电势

电势能

如图所示,两个固定的均匀带电球面A和B分别带电4Q和Q(Q>0)

,两球心之间的距离 d 远大于两球的半径,两球心的连线MN与两球面的 相交处都开有足够小的孔,因小孔而损失的电量可以忽略不计,一带负电 的质点静止放置在A球左侧某点P处,且在MN直线上。设质点从P点释放后

刚好能穿过三个小孔,并通过B球球心。试求质点开始时所在的P点与A球
球心的距离 x 。



k

4Q Q ? k r12 r22

(1)
(2)

r1+r2=d

由(1)、(2)解得

解得

2 1 r1 ? d r2 ? d 3 3 4 1 9 ? ? x x?d d

(3) (5)

4Qq Qq 4Qq Qq ? ? ? x x ? d r1 r2

(4)

2 x ? ( 10 ? 1)d 9

(6)

4Qq Qq 9Qq W S? k ( ? )?k r1 r2 d
因为RB<<d,所以

4Qq Qq 4 1 ? ) ? kQq( ? (7) WB ? k ( (8) d RB d RB )
2 x ? ( 10 ? 1)d ,即Ws>WB,所以 9
负值

4 1 9 ? ? d RB d

正确。

例(27决)、如图,两块大金属板A和B沿竖直方向平 行放置,相距为d,两板间加有恒定电压U,一表面 涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间,其质量为m, 轻推乒乓球,使之向其中一金属板运动,乒乓球与 该板碰撞后返回,并与另一板碰撞,如此不断反 复.假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞,其恢 复系数为e,乒乓球与金属板接触的时间极短,并 在这段时间内达到静电平衡,达到静电平衡时,乒 乓球所带的电荷量q与两极板之间电势差的关系可 表示为∣q∣=C0U,其中C0为一常量,同时假设乒 乓球半径远小于两金属板间距d,乒乓球上的电荷 不影响金属板上的电荷分布;连接乒乓球的绳子足 够长,乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运 动:乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略, 空气阻力可忽略.试求 1、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。 2、经过足够长时间后,通过外电路的平均电流。

解: 1、根据题意,乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为 第一次碰撞前 第二次碰撞前 (1) (2)

Ek1 ? 0
v1 ? 0
刚碰后

EK 2 ? E ? qU ? c0U
' k1

2

(6)

q ? c0U

2 Ek 2 v2 ? m
第二次碰撞后

(7)

(3)
(4)

E ?0
' k1

v1' ? 0

(5)

v ? ev2 1 1 2 2 ' 2 Ek 2 ? m v'2 ? m e v2 2 2 ? e 2 Ek 2
' 2

(8)

(9)

第三次碰撞前
' 2 2 EK 3 ? Ek ? qU ? ( 1 ? e ) c U 2 0
(10)

2 Ek 3 v3 ? m
' 3

(11)

2 E k3 (12) 第三次碰撞后 v ? ev3 ? m 1 1 2 2 ' 2 2 (13) Ek 3 ? mv '3 ? me v3 ? e Ek 3 2 2 ' 2 4 2 (14) 第四次碰撞前 EK 4 ? Ek ? qU ? ( 1 ? e ? e ) c U 3 0 2 Ek 4 v4 ? m
(15)

以此类推,第n次碰撞前、后动能分别为

1? e 2 Ekn ? [1 ? e ? ? ? ? ? e ]c0U ? c0U 2 1? e 2 2 ( n ?1) ( n ? 2 ) e [ 1 ? e ] ' 2 2 2 2 2 Ekn ? e [1 ? e ? ? ? ? ? e ]c0U ? c U 0 2 1? e
2 2 ( n?2) 2

2 ( n ?1)

(16)

(17)

N趋于无穷大,则

1 2 Ekn ? cU 2 0 1? e Ek max ? Ek?

(18)

2 e ' 2 Ekn ? c U 2 0 1? e

(19)

1 2 ? cU 2 0 1? e

(20)

2、经过足够长时间时(即n 一次碰撞前的速度分别为

∞)后 ,乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下

2E 2c0 v ? ? eU 2 m (1 ? e )m
' ?

' k∞

(21)

2Ek? 2c0 v? ? ?U m (1 ? e2 )m
d ?t ? ' v? ? v? 2

(22)

(23)

q c0U 2 I? ? ?t d

(1 ? e)c0 2(1 ? e)m

(24)

专题四、静电场中的导体

电容器

原电 荷在 球売 内

导体球不接地 情况如何处理?

球面与平面组合
例:求q受的力和P点的电势.

解:找镜像电荷

?q

d

R R2 q? ? ? q b ? d d

q受的力为

q2 qq? qq? F ? k[? 2 ? ? ] 2 2 4 d ( d ? b) ( d ? b )
4 4 2 5 3 R 2 R 2 q q q2 ( d ? R ) ? 16 d R 2 d d ? k[? 2 ? ? ] ? ( ? kq ) 2 2 2 2 2 4 4 2 4d (d ? Rd ) (d ? Rd ) 4d ( d ? R )

q q? q? q U ? k( ? ? ? ) r1 r2 r3 r4
r1 ? (r 2 ? d 2 ? 2rd cos ? )
2 2 2
1 2

R q? ? ? q d

R2 b? d

2 2 1 R R 2 2 r2 ? [r ? ( ) ? 2r ( ) cos? ] 2 d d 1
2 2 1 2

R 2 R r4 ? (r ? d ? 2rd cos ? ) r3 ? [r ? ( ) ? 2r ( ) cos? ] 2 d d 1 R U ? kq( ? 2 2 2 R4 R2 r ? d ? 2rd cos? d r ? d 2 ? 2 d r cos?

?

R
R d r2 ? R 2 ? 2 d r cos? d
4 2

?

1 r 2 ? d 2 ? 2rd cos?

)

?U ? ? ?? 0 ( ) r ? a ?r

Q球面 ? ? ?ds ? ?q(1 ?

d 2 ? R2 d d 2 ? R2

)

均匀电场用两相距很远的点电荷等效,从而用电像法解 例 用电像法求解空间各处的度

2Q EP ? k 2 R

当R趋于无穷时,有

r

r

2Q E P ? E0 ? k 2 R Q E0 令 ? ? 2?? 0 E0 2 R 2k ? ? ? ? k 则 ?) r ? ? p] E ? E0 ? 3 [3( p ? r r a ? ? Q ? Q ? p ? 2bQ?z R

a b? R

2

? a3 ? p ? 2 2 Qz R

? a3 1 3 ? ? a E0 z ? ? 4?? 0 a 3 E0 z ? p ? 2 2 Qz R k ? ? ? ? ? a 3 E0 k k a 3 E0 ?) r ? ? p] ? E0 ? 3 [3 ?? ?] E ? E0 ? 3 [3( p ? r cos?r z r r k k ? a3 ? a3 ? E ? (1 ? 3 ) E0 ? 3 3 cos?r r r
a3 a3 a3 Er ? (1 ? 3 ) E0 cos? ? 3 3 cos? ? (1 ? 2 3 ) E0 cos? r r r

? ? ? 0 Er (r ? a) ? 3? 0 E0 cos?

例: 图a

1、求像电荷的电量和离球心的距离b;2、求原电荷q受的力;
3、求A点的电场 强度,当 r >> a 时A 点电场的表达式,a 取 什么极限值时A点的 电场 强度为零(球完全屏蔽q 的电场)。 4、如图b所示,点电荷电量为q ,质量为m ,用长为L的细线 图b

悬挂着,悬挂点至球心的距离为 l,不计重力。求电荷q小振动的频率。 5、求q与球面上电荷的相互作用静电能;球面上感应电荷间的相互作用 静电能和系统的总相互作用静电能。

解:1、B点的电势为

1 q q? UB ? ( ? )?0 4?? 0 r2 r1

r1 ? R 2 ? b2 ? 2bR cos? r2 ? R 2 ? a 2 ? 2aR cos?
q 2 2 2 R ? a ? 2 Ra cos? ? ( ) ( R ? b ? 2 Rb cos? ) q?
2 2

B点为球面上的任意点,即对任何 α 角上式恒等,故必有:

q 2 2 2 2 2 R ? a ? ( ) (R ? b ) q? q 2 Ra ? ( ) Rb q?

R2 b? a R q? ? ? q a

2、感应电荷对 q的作用力为:

1 qq? 1 q 2 Ra F? ?? 2 4?? 0 (a ? b) 4?? 0 (a 2 ? R 2 ) 2
R q ? 1 q 1 a ? E ?[ ? ]r 2 2 R 2 4?? 0 r 4?? 0 (r ? a ? ) a

3、A点的电场强度为:

R R R R2 q (1 ? )q 2q (a ? ) ? 1 q 1 a a r a a r ? ? ? E ?[ ? ] r ? ? 2 2 2 2 3 a R 2 4?? 0 r 4?? 0 r 4?? 0 r 4?? 0 r (1 ? ? ) r ra
当 a 趋于R时,A点的场强为零,金属球屏蔽了A点的电场。

当r>>a 时有

4、A点的电场强度为: 作用在q 上的力为:

1 qq? F? ? 2 4?? 0 (a ? b) ? 1 q 2 Ra 4?? 0 (a 2 ? R 2 ) 2

a ? L2 ? l 2 ? 2lL cos?

1 q 2 R L2 ? l 2 ? 2lL cos? F ?? 4?? 0 [(L2 ? l 2 ? 2lL cos? ) ? R 2 ]2
由右图知

? ?? ? ?

1 q 2 R L2 ? l 2 ? 2lL cos? F? ? ? sin(? ? ? ) 2 2 2 2 4?? 0 [(L ? l ? 2lL cos? ) ? R ]

L sin ? ? a sin ?
上式中 β 角可用 α 角表示如下:

L L ? ? arcsin( sin ? ) ? arcsin( sin ? ) 2 2 a L ? l ? 2Ll cos?
当α 很小(小振动)时有: 则:

sin ? ? ?

cos ? ? 1

L? ?L ?? ? a l?L

L ? ? ? ? ? ? (1 ? )? a

单摆的运动方程为:

?? ? ?F? mL?

将这些关系式公代入单摆运动方程得:

d 2? 1 q 2 Ra L mL 2 ? (1 ? )? ? 0 2 2 2 dt 4??0 (a ? R ) a

q Ra 1 L q Ra 1 l ?? 2 2 (1 ? ) ? ( ) 2 2 a ? R 4?? 0 mL a (l ? L) ? R 4?? 0 mL l ? L
5、设球面上的感应电荷有j 个, 电量为qj,j = 1、2、3、…。则q 与感应电荷的相互作用静电能为

qq? w1 ? 4?? 0 (a ? b) q2R ?? 4?? 0 (a 2 ? R 2 )

感应电荷间的相互作用静电能为:

1 1 N N qi q j w2 ? ? ? ?? 2 4?? 0 i ?1 j ?1 ri ? rj
j ?i

? ? ? ?? ? ? r ? b j ?1 rj ? r
当 r 与某 ri重合时有

q?

n

qj

? ? ?? ? ? ri ? b j ?1 rj ? ri
j ?i

q?

n

qj

q ? ? ?0 ? ??r ?a r ?b

q?

1 1 N N qi q j 1 1 n q? ? w2 ? qi ? ? ? ? ? ?? ? 2 4?? 0 i ?1 j ?1 ri ? rj 2 4?? 0 i ?1 ri ? b
j ?i

1 1 N q 1 1 qq? q2R ?? qi ? ? ? ? ? ? 2 4?? 0 i ?1 ri ? a 2 4?? 0 a ? b 8?? 0 (a 2 ? R 2 )

系统总的电势能为:

q2 R q2 R w ? w1 ? w2 ? ? ? 2 2) 4??0 (a ? R 8??0 (a 2 ? R 2 )

3、电介质镜像法:

例:求q受的力

电介质界面上电场的边界条件:

E1t ? E2t

?1E1n ? ? 2 E2n

q 1 q? 1 q?? cos? ? cos? ? cos? 2 2 2 4??1 r 4??1 r 4?? 2 r 1
1 q 1 q? 1 q?? ? sin ? ? sin ? ? sin ? 2 2 2 4? r 4? r 4? r

?1 ? ? 2 q? ? ?1 ? ? 2
q受的力为:

2? 2 q?? ? ?1 ? ? 2

qq? (?1 ? ? 2 )q 2 F? ? 2 4??1 (2h) 16??1 (?1 ? ? 2 )h 2

例:求q1受的力

?1 ? ? 2 ?? q1 ?1 ? ? 2

2? 2 ?? ? q1 ?1 ? ? 2

? 2 ? ?1 ? ? q2 ?1 ? ? 2

2? 1 ?? ? q2 ?1 ? ? 2

? ? q2 ?? q1 q1 ?1 ? ? 2 2?1 F1 ? q1 ( )? ( q1 ? q2 ) 2 2 4??1 (2h) 16??1h ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2

例(29F4) 如图所示,虚线小框

是由 2n 个电容联成的有限网络;
虚线大框是并联的两个相同无限 网络。无限网络的结构是:从左 边第一个电容开始到电路中间, 每个电容的右极板与两个电容的 左极板相连,直至无穷;从中间 到右边,电路结构与左边电路结 构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器,其极板面积为 S,

板间距离为 d ,(d<<

S )。整个网络与一个内阻可以忽略,电动势为ε 的电池相连接。不计电容器边缘效应,静电力常量 k 已知。
1、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢向右拉动,使其板间

距变为 2d ,求拉动过程中电池所做的功和外力做的功。
2、在1 的情况下,将一块与电容器极板形状相同的、带电量为 Q 的金属 板平行插入 a 中,与a 左极板的间距为 x ,求这时 a 左极板上的电量。

1、虚线小框是由 2n 个电容两两并联后再串联,设等效总电容Cn,则

1 n ? Ct1 2C

2C Ct1 ? n

(1 )

虚线大框无限网络等效电容C12为

1 1 1 1 2 ? 2( ? ? ? ? ? ?) ? Ct 2 2C 4C 8C C
C Ct 2 ? 2

(2) (3)

Ct1Ct 2 2C S 总电容为 C ? ? ? t Ct1 ? Ct 2 n ? 4 (n ? 4)2?kd ?S 等效电容总电量 qt ? ?Ct ? (n ? 4)2?kd

(4) (5)

电容器 a 的极板间距为 2d 时,设2 n 个电容器的总电容为 Ct1’,则

1 n ?1 2 ? ? Ct?1 2C 3C
总电容为

6C Ct?1 ? (3n ? 1)

(6 )

Ct?1Ct 2 6C Ct? ? ? Ct?1 ? Ct 2 3n ? 13
3?S qt? ? ?Ct? ? (3n ? 13)2?kd

(7 )

等效电容总电量

(8 )

?qt ? qt? ? qt ? ?
储能变化为

?S
(3n ? 13)(n ? 4)2?kd

(9 )

2 1 S ? 2 2 (10) ? ?U ? (Ct ? ? Ct ? ) ? 2 2(3n ? 13)(n ? 4)2?kd

电池作功为

A ? ?qt ? ? ? A? ? ?U ? A ?

? 2S
(3n ? 13)(n ? 4)2?kd
(11)

? 2S
2(3n ? 13)(n ? 4)2?kd

外力作功为

(12)

2、设 a 的左极板带 电 q’,则金属板左侧带电-q’,右侧带电q+Q,
a 右极板带电-〔q+Q〕,与 a 并联的电容器带电为q’’和-q’’。则

q?? q?? q? q? ? Q ? ? ? S S S C 4?kd 4?kx 4?k (2d ? x)
求得

(13)

2d ? x q?? ? 2q? ? Q d

(14)

2d ? x q? ? q?? ? 3q? ? Q 即极板总电量为 d q? ? q?? q? ? q?? q?? 因此有 ? ? ? (n ? 1) ? Ct 2 2C C
将C值及(3)式、(14)式、(15)式代入(16)式得

(15)

(16)

S? (n ? 5)(2d ? x) q? ? ? Q (3n ? 1)2?kd (3n ? 13)d

(17)


势为ε

如图所示电路中,电容器 C1 、C2 、C3 的电容值都是C,电源的电动
,R1 、R2为电阻,K 为双掷开关。开始时,三个电容器都不带 如此反复换向。设每次接通

电.先接通oa,再接通ob,再接通oa,再接通ob, 前都已达到静电平衡,试求:

(1) 当 K 第 n 次接通o、b并达到平衡后,每个电容器两端的电压各是多少 ? (2) 当反复换向的次数 n 为无限多次时,在所有电阻上消耗的总电能是多少 ?

解: 1
通a1次

c1

c2

c3 0

通b1次

通a2次

? 2 ? 2 ? ? ? 2 8

? 2 ? ? ? 2 4 ? ? ? 4 8

? 4 ? 4

通b2次

? ? ? 2 8

?
4

? ?

?
16

?
4 ?

? ?

?
16

通a3次

? ? ? ? ? 2 8 32 ? ? ? ? ? 2 8 32
……

?
4

?
16

?
32

?
4

?
16

通b3次

?
4

?

?
16

?

?
64

?
4

?

?
16

?

?
64

……

……

U 2 n ? U 3n ?

?

4 16

?

?

?

?
64

?

?
256

???

?
22n

1 1 1 1 ? (1 ? ? ? 3 ? ? n ?1 ) 4 4 16 4 4

?

1 ? 1 ? 4n 2 1 ? ( ) ? ? (1 ? n ) 1 2 1? 3 4 4 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 U1n ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? (1 ? ? ? 3 ? ? n ?1 ) 2 8 32 128 2 2 4 16 4 4 1 ? 1 ? 4n 1 1 ? ( ) ? ? (1 ? n ) 4 1? 1 3 4 4

2、n→∞

U1 ?

2 ? 3

U2 ? U3 ?

1 ? 3

2 2 W ? Q1? ? CU1? ? C? 3 1 1 1 1 2 W1 ? W2 ? W3 ? C1U1 ? C2U 2 ? C3U 3 ? C? 2 2 2 3 1 2 ?W ? W ? (W1 ? W2 ? W3 ) ? C? 3
电源做的功,一半变成电容貯能,另一半在电阻上消耗。



q1 ? C1U1 q2 ? C2U 2

qn ? CnU n
' ' U1' ? U 2 ? ? ? ? ? Un ?0

??????

' q U1' ? 1 C1 ' q ' U2 ? 2 C2 ?' ? ? ?q?n'? Un ? Cn ' ' qn q1' q2 ? ? ??? ? ? 0 C1 C2 Cn

q ? q ? q1 ? q2 ? C1U1 ? C2U 2
' 1 ' 2

' q2 ? q1' ? C1U1 ? C2U 2

' ' q2 ? q3 ? q2 ? q3 ? C2U2 ? C3U3

q

??????
' n?1 ' n
n

' ' q3 ? q2 ? C2U2 ? C3U3

? q ? qn?1 ? qn ? Cn?1U n?1 ? CnU n

' qn ? q1' ? C1U1 ? CnU n
n n 1 1 q ? ? C1U1 ? ? ?U i ? 0 i ?1 Ci I ?1 Ci i ?1 ' 1

??????

? q1' ? C1U1 ? C3U3

q1' ? C1U1 ? CU
n

q1' ? C1U 1 ?

?U I
1 ? i ?1 Ci
i ?1 n

n



U ? ?U i
i ?1

' q2 ? C2U 2 ? CU

1 n 1 ?? C i ?1 Ci

??????
q ? CnUn ? CU
' n


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