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第九章 单元测试卷


第九章

单元测试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中 只有一项符合题目要求) 1.如果方程 x2+ky2=3 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 答案 D ) B.(0,2) D.(0,1)

x2 y2 3 解析 方程

化为 3 + 3 =1,由k>3 得 0<k<1,故选 D. k 2.过点( 3,-2)的直线 l 经过圆 x2+y2-2y=0 的圆心,则直线 l 的倾斜角大小为( A.30° C.120° 答案 C -2-1 =- 3, 3-0 ) B.60° D.150°

解析 圆心坐标为(0,1),斜率 k=tanα= ∴倾斜角 α=120° .

3.抛物线 y=-ax2(a<0)的焦点坐标是( a A.(0,4) 1 C.(0,-4a) 答案 C 1 B.(0,4a)

)

a D.(0,-4)

1 解析 因为 a<0,所以方程可化为 x2= y, -a

1 所以焦点坐标为(0,-4a).故选 C. y2 4.设 F1、F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点.若点 P 在双
2

→ → → → 曲线上,且PF1· 2=0,则|PF1+PF2|等于( PF A. 10 C. 5 答案 解析 B B.2 10 D.2 5

)

F1(- 10,0),F2( 10,0),2c=2 10,2a=2.

→ → → → 2 ∵PF1· 2=0,∴|PF1| +|PF2|2=|F1F2|2=4c2=40, PF → → → → → → 2 2 2 ∴(PF1+PF2) =|PF1| +|PF2| +2PF1· 2=40, PF → → ∴|PF1+PF2|=2 10. 1 5.过抛物线 y=4x2 准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点 分别为 M,N,则直线 MN 过定点( A.(0,1) C.(0,-1) 答案 A ) B.(1,0) D.(-1,0)

1 解析 特殊值法,取准线上一点(0,-1).设 M(x1,4x2),N(x2, 1 1 2 1 1 1 1 x2),则过 M、N 的切线方程分别为 y-4x2=2x1(x-x1),y-4x2=2x2(x 1 2 4 -x2).将(0,-1)代入得 x2=x2=4,∴MN 的方程为 y=1,恒过(0,1) 1 2 点. x2 y2 6.(2011· 天津文)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物

线 y2=2px(p>0)的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的 准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A.2 3 C.4 3 答案 B B.2 5 D.4 5 )

解析

?y=bx ? a 由? p ?x=-2 ?

?y=-bp ? 2a ,解得? p ?x=-2 ? ?b=1 ,得?a 2 ?p=4



?-bp=-1 ? 2a 由题得知? p ?-2=-2 ?



p 又知2+a=4,故 a=2,b=1,c= a2+b2= 5, ∴焦距 2c=2 5.故选 B. x2 y2 x2 y2 7.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)与双曲线m2-n2=1(m>0,n>0)有相 同的焦点(-c,0)和(c,0). c 是 a 与 m 的等比中项, 2 是 m2 与 c2 的等 若 n 差中项,则椭圆的离心率等于( 1 A.3 1 C.2 答案 B ) 3 B. 3 2 D. 2

解析 ∵c2=am,2n2=c2+m2,又 n2=c2-m2, 1 3 3 c 3 ∴m2=3c2,即 m= 3 c.∴c2= 3 ac,则 e=a= 3 . 8.如下图,过抛物线 x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆

→ → x +(y-p) =p 于点 A、B、C、D,则AB· 的值是( CD
2 2 2

)

A.8p2 C.2p2 答案 解析
2

B.4p2 D.p2

D → → → → |AB|=|AF|-p=yA,|CD|=|DF|-p=yB,|AB|· |=yAyB= |CD

→ → → → → → p .因为AB,CD的方向相同,所以AB· =|AB|· |=yAyB=p2. CD |CD x2 y2 9.(2011· 浙江文)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2 y2 - 4 =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相 交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a3= 2 1 C.b2=2 B.a3=13 D.b2=2 )

答案 解析

C

对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线 AB 与椭圆 C1 的 a 一个交点为 C(靠近 A 的交点),则|OC|=3,因 tan∠COx=2,∴sin∠ COx= 2 1 ,cos∠COx= , 5 5 a

2a a2 4a2 则 C 的坐标为( , ),代入椭圆方程得45a2+45b2=1,∵5 3 5 3 5 1 =a2-b2,∴b2=2. → 10. 已知两点 M(-3,0), N(3,0), P 为坐标平面内一动点, 点 且|MN → → → |· |+MN· =0,则动点 P(x,y)到点 A(-3,0)的距离的最小值为 |MP NP ( ) A.2 B.3

C.4 答案 B

D.6

→ → → 解析 因为 M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP= → (x+3,y),NP=(x-3,y). → → → → 由|MN|· |+MN· =0 得 |MP NP 6 ?x+3?2+y2+6(x-3)=0,化简整理得 y2=-12x,所以点 A 是 抛物线 y2=-12x 的焦点,所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原点到 A(-3,0)的距离,所以 d=3. 11.(2011· 福建文)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率 等于( ) 2 B.3或 2 2 3 D.3或2

1 3 A.2或2 1 C.2或 2 答案 A

解析 设圆锥曲线的离心率为 e,因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶ |F1F2| 3 2, 则①若圆锥曲线为椭圆, 由椭圆的定义, 则有 e= = |PF1|+|PF2| 4+2 1 |F1F2| =2;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有 e= |PF1|-|PF2| 3 3 1 3 = =2;综上,所求的离心率为2或2,故选 A. 4-2 12.已知抛物线 y=x2 上有一定点 A(-1,1)和两动点 P、Q,当 PA ⊥PQ 时,点 Q 的横坐标取值范围是( A.(-∞,-3] ) B.[1,+∞)

C.[-3,1] 答案 D

D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

2 解析 设 P(x1,x1),Q(x2,x2), 2 2 x2-1 x2-x2 1 1 ∴kAP= =x1-1,kPQ= =x +x , x1+1 x2-x1 2 1

由题意得 kPA·PQ=(x1-1)(x2+x1)=-1, k ∴x2 = 1 1 -x1 = +(1-x1)-1.利用函数性质知 x2 ∈(- 1-x1 ?1-x1?

∞,-3]∪[1,+∞),故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) π 13.设 l1 的倾斜角为 α,α∈(0,2),l1 绕其上一点 P 逆时针方向 π 旋转 α 角得直线 l2,l2 的纵截距为-2,l2 绕点 P 逆时针方向旋转2-α 角得直线 l3:x+2y-1=0,则 l1 的方程为________. 答案 2x-y+8=0 解析 ∵l1⊥l3, 2tanα 4 ∴k1=tanα=2,k2=tan2α= 2 =- , 3 1-tan α 4 ∵l2 的纵截距为-2,∴l2 的方程为 y=-3x-2.

?y=-4x-2, 3 由? ?x+2y-1=0,
∴P(-3,2),l1 过 P 点.∴l1 的方程为 2x-y+8=0. 14.过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点且面 积最小的圆的方程是________.

答案

13 6 4 (x+ 5 )2+(y-5)2=5

解析 因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是以这两个定点
? ?2x+y+4=0, 为直径端点的圆,于是解方程组? 2 2 ?x +y +2x-4y+1=0, ?

11 2 得交点 A(- 5 ,5),B(-3,2). 13 6 因为 AB 为直径,其中点为圆心,即为(- 5 ,5), 1 2 r=2|AB|=5 5, 13 6 4 所以圆的方程为(x+ 5 )2+(y-5)2=5. x2 y2 15.(2011· 大纲全国理)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 9 -27=1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分 线,则|AF2|=________. 答案 6 解析 依题意得知,点 F1(-6,0),F2(6,0),|F1M|=8, |F2M|=4.由三角形的内角平分线定理得 |F1M| |F1A| |F2M|=|F2A|=2,|F1A|=2|F2A|;又点 A 在双曲线上,因此有|F1A| -|F2A|=2×3=6, 2|F2A|-|F2A|=|F2A|=6. x2 y2 x2 y2 16.已知 a>b>0,e1、e2 分别是圆锥曲线a2+b2=1 和a2-b2=1 的 离心率,设 m=lne1+lne2,则 m 的取值范围是________. 答案 m∈(-∞,0)

解析

a 2 e1=
4

2

-b2 2 a2+b2 a2 ,e2= a2 ,

a 2 ∴e2·2= 1e

-b4 b4 a4 =1-a4,

b4 ∵a>b>0,∴0<a4<1,
2 ∴e2·2∈(0,1),即 e1·2∈(0,1), e 1e

∴m=ln(e1·2)∈(-∞,0). e 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) x2 y2 17. (本小题满分 10 分)(2011· 北京文)已知椭圆 G:2+b2=1(a>b>0) a 6 的离心率为 3 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. 解析 c 6 (1)由已知得,c=2 2,a= 3 .

解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m,

?y=x+m, 由? x2 y2 ?12+ 4 =1

,得

4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,

y0),则 x0=

x1+x2 3m =- 4 , 2

m y0=x0+m= 4 . 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= 3m=-1, -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= |-3-2+2| 3 2 = 2 ,所以△PAB 的面积 2

1 9 S=2|AB|· 2. d= 18.(本小题满分 12 分)(2011· 安徽文)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y =k2x-1,其中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上. 解析 (1)反证法.假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2.

2 代入 k1k2+2=0,得 k1+2=0,

此与 k1 为实数的事实相矛盾.从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交.

(2)方法一

?y=k1x+1, ? 由方程组? ? ?y=k2x-1,

?x=k -k , 解得交点 P 的坐标(x,y)为? k +k y= ? k -k .
2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k2+k1 2 8+k2+k1+2k1k2 k1+k2+4 而 2x +y =2( ) +( )= 2 2 = 2 2 = k2-k1 k2-k1 k2+k1-2k1k2 k1+k2+4 2 2

1. 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 上. 方法二
? ?y-1=k1x, l1 与 l2 的交点 P 的坐标(x,y)满足? 故知 ?y+1=k2x, ?

?k =y-1, x x≠0,从而? y+1 k= x . ?
1 2

y-1 y+1 代入 k1k2+2=0,得 x · x +2=0, 整理后,得 2x2+y2=1, 所以交点 P 在椭圆 2x2+y2=1 上. x2 y2 19.(本小题满分 12 分)(2011· 天津理)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的 左、右焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆(x+1)2 5 +(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|=8|AB|,求椭圆的方程. 解析 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为

|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c.整理得 c c c c 1 2(a)2+a-1=0.得a=-1(舍),或a=2. 1 所以 e=2. (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
2 2 ? 2 ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理, ? ?y= 3?x-c?.

?x1=0, ? 8 得 5x -8cx=0.解得 x1 =0,x2 = 5 c.得方程组的解 ? ?y1=- 3c, ?
2

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
8
2 2

8 3 3 设 A( 5 c , 5 c) , B(0 , - 3 c) , 所 以 |AB| =

8 3 3 16 ?5c?2+? 5 c+ 3c?2= 5 c. 5 于是|MN|=8|AB|=2c. 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= |- 3- 3- 3c| 3|2+c| = . 2 2

|MN| 3 因为 d2+( 2 )2=42,所以4(2+c)2+c2=16.整理得 7c2+12c-52 26 x 2 y2 =0,得 c=- 7 (舍),或 c=2.所以椭圆方程为16+12=1. 20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中, O 为圆心的圆与 以 直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程;

(2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 满足 PA,PO, → → PB 成等比数列,求PA· 的取值范围. PB 解析 (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 4 =2.得圆 O 的方程为 1+3

x- 3y=4 的距离,即 r= x2+y2=4.

(2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由 x2=4 即得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,得 ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2, 即 x2-y2=2. → → PA· =(-2-x,-y)· PB (2-x,-y) =x2-4+y2=2(y2-1).
?x2+y2<4 ? 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 2 由此得 y2<1. ?x -y =2. ?

→ → 所以PA· 的取值范围为[-2,0). PB 21.(本小题满分 12 分)(2011· 江西)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的 焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点, 且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值. 解析 p (1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x-2),与 y2=2px 联立,从

5p 而有 4x2-5px+p2=0,所以:x1+x2= 4 , 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1, x2=4,y1=-2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2) =(4λ+1,4 2λ-2 2), 又 y2=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 3 即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2.

x2 y2 22.(本小题满分 12 分)如上图,点 A,B 分别是椭圆36+20=1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|, 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

解析

(1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0),

设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y),

? x + y =1 由已知得?36 20 ??x+6??x-4?+y2=0

2

2



3 则 2x2+9x-18=0,x=2或 x=-6. ∵点 P 位于 x 轴上方,∴x=-6 舍去, 3 5 只能取 x=2,由于 y>0,于是 y=2 3, 3 5 ∴点 P 的坐标是(2,2 3). (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0)(-6≤m≤6), m+6 则 M 到直线 AP 的距离是 2 , m+6 于是 2 =6-m,解得 m=2, 椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 5 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-9x2 4 9 =9(x-2)2+15, 由于-6≤x≤6, 9 ∴当 x=2时,d 取得最小值 15.

1.已知 ab≠0,点 M(a,b)是圆 x2+y2=r2 内一点,直线 m 是以 点 M 为中点的弦所在的直线,直线 l 的方程是 ax+by=r2,则下面正 确的是( ) B.m⊥l,且 l 与圆相切 D.m⊥l,且 l 与圆相离

A.m∥l,且 l 与圆相交 C.m∥l,且 l 与圆相离 答案 解析 C

b a a kOM=a,则弦所在的直线斜率为-b,而 k1=-b,故 m∥
2 2 2

r2 l.点 M(a,b)是圆内一点,则 a +b <r ,d= 2 2>r,故 l 与圆相离. a +b 2.两点 A(3,2)和 B(-1,4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等,则 m 的值为( ) 1 B.0 或2 1 D.2或-6

1 A.0 或-2 1 1 C.2或-2 答案 D

解析 由

|3m+2+3| |-m+4+3| = , m2+1 m2+1

1 解之得 m=2或-6,故选 D. 3.k 为任意实数,直线(k+1)x-ky-1=0 被圆(x-1)2+(y-1)2 =4 截得的弦长为( A.8 C.2 答案 B ) B.4 D.与 k 有关的值

解析 直线(k+1)x-ky-1=0 化为 k(x-y)+x-1=0,可知恒过 定点(1,1)即圆心,从而弦长为 4,故答案选 B.

4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( 7 A.(x-3)2+(y-3)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 答案 B ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3 D.(x-2)2+(y-1)2=1

解析 依题意设圆心 C(a,1)(a>0), 由圆 C 与直线 4x-3y=0 相切, |4a-3| 得 5 =1,解得 a=2,则圆 C 的标准方程是 (x-2)2+(y-1)2=1,故选 B. x2 y2 5.以椭圆 4 + 3 =1 的右焦点 F 为圆心,并过椭圆的短轴端点的 圆的方程为________. 答案 (x-1)2+y2=4

x2 y2 解析 椭圆 4 + 3 =1 的右焦点为 F(1,0), 所求圆的半径为 b2+c2 =a=2,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4. x2 y2 6.椭圆 4 + 3 =1 离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4 =0 的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 答案 解析 B 1 1 依题意得 e=2,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,2)的 )

B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

1 2-2 3 2 连线的斜率为 =2,所求直线的斜率等于-3,所以所求直线方程 2-1

1 2 是 y-2=-3(x-1),即 4x+6y-7=0,选 B. 7.已知圆 x2+y2=1 与 x 轴的两个交点为 A、B,若圆内的动点 P → → 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,则PA· 的取值范围为( PB 1? ? A.?0,2?
? ? ? 1 ? B.?-2,0? ? ?

)

1 C.(-2,0) 答案 C

D.[-1,0)

解析 设 P(x,y),∴|PO|2=|PA||PB|, 即 x2+y2= ?x-1?2+y2· ?x+1?2+y2, 整理得:2x2-2y2=1, → → ∴PA· =(1-x,-y)· PB (-1-x,-y)=x2+y2-1 3 =2x2-2. 1 ∴P 为圆内动点且满足 x2-y2=2, 2 3 3 ∴ 2 <|x|< 2 ,∴1<2x2<2, 1 3 ∴-2<2x2-2<0,选 C. 8.过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两 → → → → 点, Q 与点 P 关于 y 轴对称, 为坐标原点, 点 O 若BP=2PA且OQ· = AB 1,则点 P 的轨迹方程是( )

3 A.3x2+2y2=1(x>0,y>0) 3 B.3x2-2y2=1(x>0,y>0)

3 C.2x2-3y2=1(x>0,y>0) 3 D.2x2+3y2=1(x>0,y>0) 答案 D

→ → 解析 设 P(x,y),则 Q(-x,y),由BP=2PA, → 3 3 ∴A(2x,0),B(0,3y).∴AB=(-2x,3y). → → 3 从而由OQ· =(-x,y)(-2x,3y)=1. AB 3 得2x2+3y2=1 其中 x>0,y>0,故选 D. 2 9.设双曲线 x2-y2=1 的两条渐近线与直线 x= 2 围成的三角形 区域(包含边界)为 E,P(x,y)为该区域的一个动点,则目标函数 z=x -2y 的最小值为________. 答案 2 -2

10.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭 圆的离心率为________. 答案 2-1

解析 令 AB=2,则 AC=2 2, ∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2?a=1+ 2, c 可得 e=a= 1 = 2-1. 2+1

x2 y2 11. 若焦点在 x 轴上的椭圆45+b2=1 上有一点, 使它与两个焦点 的连线互相垂直,则 b 的取值范围是________.

答案

3 10 3 10 - 2 ≤b≤ 2 且 b≠0

解析 设椭圆的两焦点为 F1(-c,0),F2(c,0)以 F1F2 为直径的圆与 椭圆有公共点时,在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂 1 45 直,此时条件满足 c≥b,从而得 c2≥b2?a2-b2≥b2?b2≤2a2= 2 , 3 10 3 10 解得- 2 ≤b≤ 2 且 b≠0. 12.已知 AC,BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足 为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________. 答案 5 解析 设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2,由垂径定理得
2 AC=2 4-d2,BD=2 4-d2.又 AC⊥BD,∴d1+d2=OM2=3, 1 2 2

4-d2+4-d2 2 1 1 2 2 2 2 ∴(S 四边形 ABCD) =(2AC· =4(4-d1)(4-d2)≤4( BD) )= 2
2

5 4×(2)2=25(当且仅当 d1=d2 时等号成立),∴S 四边形 ABCD≤5,即四边形 ABCD 的面积的最大值为 5. 13.如果以抛物线 y2=4x 过焦点的弦为直径的圆截 y 轴所得的弦 长为 4,那么该圆的方程是________. 答案 3 25 3 25 (x-2)2+(y+1)2= 4 或(x-2)2+(y-1)2= 4

解析 如下图,抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),设过点 F 的直线方 程为 y=k(x-1),与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=k?x-1? ? 由? 2 ,消去 y, ? ?y =4x

得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 由题意知,Δ>0, 2k2+4 ∴x1+x2= k2 ,x1·2=1. x 令 AB 的中点,即以 AB 为直径的圆的圆心为 P(x0,y0), x1+x2 k2+2 y1+y2 2 则 x0= 2 = k2 ,y0= 2 =k, |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+k
2

2k2+4 2 ? k2 ? -4.

|AB| 由题意知 x2+4=( 2 )2, 0 2k2+4 2 ?1-k ?[? k2 ? -4] k2+2 2 即( k2 ) +4= . 4
2

解得 k2=4,即 k=± 2,

3 所以 P(2,± 1),|AB|=5, 3 25 3 25 所以圆 P 的方程为(x-2)2+(y+1)2= 4 或(x-2)2+(y-1)2= 4 . 14.如图,A、B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ∠AOP=θ(0<θ<π). 点坐标为(-2,0), C 平行四边形 OAQP 的面积为 S.

→ → (1)求OA· +S 的最大值; OQ π (2)若 CB∥OP,求 sin(2θ-6)的值. 解析 (1)由已知得 A、 P 的坐标分别为(1,0)(0,1), B、 (cosθ, sinθ).

→ → → → → ∵OQ=OA+OP=(1,0)+(cosθ, sinθ)=(1+cosθ, sinθ), ∴OA· OQ =1+cosθ. → → 又平行四边形 OAQP 的面积 S=|OA||OP|sinθ=sinθ, → → π ∴OA· +S=1+sinθ+cosθ= 2sin(θ+4)+1. OQ

→ → π ∵0<θ<π,∴当 θ=4时,OA· +S 取最大值为 2+1. OQ → → 1 (2)由题意CB=(2,1),OP=(cosθ,sinθ),∴tanθ=2. π 又 θ∈(0,π),∴θ∈(0,2).

? sinθ =1 由?cosθ 2 ?sin2θ+cos2θ=1

5 2 5 ,解得 sinθ= 5 ,cosθ= 5 .

52 5 4 ∴sin2θ=2sinθ· cosθ=2·5 · 5 =5. 4 1 3 cos2θ=cos2θ-sin2θ=5-5=5. π π π ∴sin(2θ-6)=sin2θ· 6-cos2θ· 6 cos sin 4 3 3 1 4 3-3 =5·2 -5·= 10 . 2 15.

x2 如上图所示, 等腰三角形 ABC 的底边 BC 的两端点是椭圆 E: 2+ a

y2 b2=1(a>b>0)的两焦点,且 AB 的中点 D 在椭圆 E 上. (1)若∠ABC=60° ,|AB|=4,试求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆离心率为 e,求 cos∠ABC. 解析 (1)因为∠ABC=60° 且△ABC 为等腰三角形, , 所以△ABC

是正三角形. 又因为点 B,C 是椭圆的两焦点,设椭圆焦距为 2c,

则 2c=|BC|=|AB|=4,如右图所示,连接 CD,由 AB 中点 D 在 椭圆上,得 1 3 2a=|BD|+|CD|=2|AB|+ 2 |AB|=2+2 3, 所以 a=1+ 3, 从而 a2=4+2 3,b2=a2-c2=2 3, x2 y2 故所求椭圆 E 的方程为 + =1. 4+2 3 2 3 (2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a,b,c,且 |AD|=|DB|=m,连接 CD, 则|BO|=|OC|=c,|DC|=2a-m,

c 在 Rt△AOB 中,cos∠ABC=2m. 在△BCD 中,由余弦定理,得 ?2c?2+m2-?2a-m?2 cos∠ABC= . 2×?2c?×m 2a2-c2 由①②式得 2m= a ,代入①式得 cos∠ABC= ac e . 2= 2a -c 2-e2
2





x2 y2 16.设椭圆 C:a2+ 2 =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是 → → 1 椭圆 C 上的一点,且AF2· 1F2=0,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为3 F |OF1|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点, 过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(-1,0), → → 交 y 轴于点 M,若MQ=2QP,求直线 l 的方程. 解析 (1)由题设知 F1(- a2-2,0),F2( a2-2,0)

→ → → → 由于AF2· 1F2=0,则有AF2⊥F1F2,所以点 A 的坐标为( a2-2, F → 2 ± ),故AF1所在直线方程为 a y=± ( x 1 +a). 2 a a -2

a2-2 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 2 (a> 2), a -1 a2-2 1 2 又|OF1|= a -2,所以 2 = a -2, a -1 3
2

解得 a=2(a> 2), x2 y2 所求椭圆的方程为 4 + 2 =1. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 斜率为 k, 直线 l 的方程为 y=k(x+1),则有 M(0,k) → → 设 Q(x1,y1),∵MQ=2QP, ∴(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1),

?x1=-2 ? 3 ∴? k ?y1=3 ?



2 k ?-3?2 ?3?2 又 Q 在椭圆 C 上,得 4 + 2 =1, 解得 k=± 4. 故直线 l 的方程为 y=4(x+1)或 y=-4(x+1), 即 4x-y+4=0 或 4x+y+4=0. x2 y2 17.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的长轴长为 4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相 切,求椭圆的焦点坐标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 l 与椭圆相交于 1 M,N 两点,记直线 PM,PN 的斜率分别为 kPM,kPN,当 kPM·PN=-4 k 时,求椭圆的方程. 解析 (1)由 b= 2 ,得 b= 2. 1+1

又∵2a=4,a=2,a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2,

∴两个焦点坐标为( 2,0),(- 2,0). (2)由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对 称,不妨设 M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y), ∵M,N,P 在椭圆上,∴它们满足椭圆方程,即有
2 2 y2-y0 x0 y2 x2 y2 b2 0 a2+b2=1,a2+b2=1,两式相减得x2-x2=-a2. 0

由题意它们的斜率存在,则 kPM=

y-y0 y+y0 ,kPN= , x-x0 x+x0

y-y0 y+y0 y2-y2 b2 0 kPM·PN= k · = =-a2, x-x0 x+x0 x2-x2 0 b2 1 x2 2 则-a2=-4,由 a=2,得 b=1.故椭圆方程为 4 +y =1. x2 y2 18.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点. (1)如果点 A 在圆 x2+y2=c2(c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c, 求椭圆的离心率; (2)若函数 y= 2+logmx(m>0 且 m≠1)的图像,无论 m 为何值时 → → 恒过定点(b,a),求F2B· 2A的取值范围. F 解析 (1)∵点 A 在圆 x2+y2=c2 上,

∴△AF1F2 为一直角三角形, ∵|F1A|=c,|F1F2|=2c, ∴|F2A|= |F1F2|2-|AF1|2= 3c. 由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a, c 2 ∴c+ 3c=2a.∴e=a= = 3-1. 1+ 3 (2)∵函数 y= 2+logmx 的图像恒过点(1, 2),由已知条件知还

恒过点(b,a),∴a= 2,b=1,c=1. 点 F1(-1,0),F2(1,0), 2 2 ①若 AB⊥x 轴,则 A(-1, 2 ),B(-1,- 2 ), → → 2 2 ∴F2A=(-2, 2 ),F2B=(-2,- 2 ), → → 1 7 F2A· 2B=4-2=2. F ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的方程为 y=k(x+1).
? ?y=k?x+1?, 由? 2 2 ? ?x +2y -2=0,

消去 y,得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0. ∵Δ=8k2+8>0,∴方程(*)有两个不同的实根. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两个根. 2?k2-1? 4k2 x1+x2=- ,x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2 → → F2A=(x1-1,y1),F2B=(x2-1,y2),

(*)

→ → F2A· 2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+ F k2 2?k2-1? 4k2 2 =(1+k ) +(k -1)(- )+1+k2 1+2k2 1+2k2
2

7k2-1 7 9 = . 2= - 1+2k 2 2?1+2k2? ∵1+2k2≥1,

1 9 9 ∴0< 2≤1,0< 2 ≤ , 1+2k 2?1+2k ? 2 → → 7 9 7 -1≤F2A· 2B=2- F 2 < , 2?1+2k ? 2 → → 7 综上,由①②,知-1≤F2A· 2B≤2. F 19.(2011· 安徽理)设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y → → =x 上运动, Q 满足BQ=λQA, 点 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物
2

→ → 线于点 M,点 P 满足QM=λMP,求点 P 的轨迹方程.

→ → 解析 由QM=λMP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线 上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2-y0=λ(y-x2),即 y0 =(1+λ)x2-λy. ①

→ → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0), 解得

?x1=?1+λ?x-λ, ? ? ? ?y1=?1+λ?y0-λ.



将①式代入②式,消去 y0,得
? ?x1=?1+λ?x-λ, ? 2 2 ?y1=?1+λ? x -λ?1+λ?y-λ. ?



2 2 又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x1,再将③式代入 y1=x1,得

(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2, (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2, 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 20.

x2 (2011· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 y2 + 2 =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在 第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于 点 B.设直线 PA 的斜率为 k.

(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解析 (1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),

2 所以线段 MN 中点的坐标为(-1,- 2 ).由于直线 PA 平分线段 MN, 2 -2 故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k= -1 2 =2. (2)

x2 4x2 2 直线 PA 的方程为 y=2x, 代入椭圆方程得 4 + 2 =1, 解得 x=± , 3 2 4 2 4 因此 P(3,3),A(-3,-3). 4 0+3 2 于是 C(3,0),直线 AC 的斜率为2 2=1,故直线 AB 的方程为 x 3+3

2 -y-3=0.因此, 2 4 2 |3-3-3| 2 2 d= = 3 . 12+12 (3)解法一 ± x2 y2 将直线 PA 的方程 y=kx 代入 4 + 2 =1,解得 x=

2 2 , P(μ, 则 μk), A(-μ, -μk). 于是 C(μ, 故 0). 2.记 μ= 1+2k 1+2k2

0+μk k 直线 AB 的斜率为 = , μ+μ 2 k 2 2 2 其方程为 y=2(x-μ),代入椭圆方程并由 μ= 2得(2+k )x 1+2k -2μk2x-μ2(3k2+2)=0, μ?3k2+2? μ?3k2+2? μk3 解得 x= 或 x=-μ.因此 B( , ). 2+k2 2+k2 2+k2 于是直线 PB 的斜率 μk3 -μk 2+k2 k3-k?2+k2? 1 k1= = 2 2 2 =- . k μ?3k +2? 3k +2-?2+k ? -μ 2+k2 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 解法二 设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,

-y1),C(x1,0).设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 为直线 AB 上,所以 k2= 0-?-y1? y1 k = = .从而 x1-?-x1? 2x1 2

y2-y1 y2-?-y1? k1k+1=2k1k2+1=2· · +1 x2-x1 x2-?-x1?

2 2 2 2y2-2y1 ?x2+2y2?-?x1+2y2? 4-4 2 2 1 = 2 2 +1= = 2 2=0. 2 2 x2-x1 x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 21.

x2 y2 3 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率 e= 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的 对称点为 A′.试问:当 m 变化时,直线 A′B 与 x 轴是否交于一个定 点?若是,请写出定点的坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理 由. 解析 (1)∵过点(0,1),∴b=1.

a2-b2 3 c 3 ∵a= 2 ,即 a2 =4. ∴a=2,c= 3. x2 2 ∴椭圆的方程为 4 +y =1. x2 2 ? +y =1, (2)由? 4

?x=my+1,

得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.

记 A(x1,y1),B(x2,y2), 2m 3 则 A′(x1,-y1),且 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 . m +4 m +4 3 特别地,令 y1=-1,则 x1=0,m=1,y2=5. 8 3 此时 A′(0,1),B(5,5),直线 A′B:x+4y-4=0 与 x 轴的交点 为 S(4,0). 若直线 A′B 与 x 轴交于一个定点,则定点只能为 S(4,0). 以下证明对于任意的 m,直线 A′B 与 x 轴交于定点 S(4,0). 事实上,经过点 A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为 x-x1 . x2-x1 令 y=0,得 x= x2-x1 x2-x1 y1+x1.只需证明 y +x =4, y2+y1 y2+y1 1 1 y+y1 = y2+y1

m?y2-y1?y1 即证 +my1-3=0, y2+y1 即证 2my1y2-3(y1+y2)=0. -6m -6m 因为 2my1y2-3(y1+y2)= 2 - =0, m +4 m2+4 所以 2my1y2-3(y1+y2)=0 成立. 这说明,当 m 变化时,直线 A′B 与 x 轴交于定点 S(4,0). y2 x2 22.设椭圆 M:a2+b2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x2+y2=4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、 两点, B 椭圆上一点 P(1, 2), 求△PAB 面积的最大值.

解析

(1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为

c 2 e=a= 2 ,圆 x2+y2=4 的直径为 4,则 2a=4,

?2a=42 ?c 得:? = a 2 ?b =a -c ?
2 2

2

?a=2 ? ??c= 2 ?b= 2, ?

y2 x2 所求椭圆 M 的方程为 4 + 2 =1. (2)直线 AB 的直线方程:y= 2x+m.

?y= 2x+m 由?x2 y2 ? 2 + 4 =1

,得 4x2+2 2mx+m2-4=0,

由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 2<m<2 2, m2-4 2 ∵x1+x2=- 2 m,x1x2= 4 . ∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3· ?x1+x2?2-4x1x2 1 = 3· 2m2-m2+4= 3 又 P 到 AB 的距离为 d= 1 1 则 S△ABC=2|AB|d=2 3 1 =2
2

m2 4- 2 ,

|m| . 3 m2 |m| 4- 2 3

m2 1 m ?4- 2 ?= m2?8-m2? 2 2

2 2 1 m +?8-m ? ≤ · = 2, 2 2 2

当且仅当 m=± 2∈(-2 2,2 2)取等号. ∴(S△ABC)max= 2.


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