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高三年级数学二次函数基础复习课件


第十五讲 二次函数

基础知识
? 1、二次函数的解析式(待定系数法) 、二次函数的解析式(待定系数法) ? ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 一般式: ? ②顶点式:y=a(x-h)2+k,a≠0,其中 顶点式:y=a(x- +k,a≠0, (h,k)为抛物线的顶点坐标 为抛物线的顶点坐标。 (h,k)为抛物线的顶点坐标。 ? ③零点式(两根式):y=a(x-x1)(x- 零点式(两根式) y=a(x- )(x- a≠0其中 其中x 是抛物线与x x2),a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两 交点的横坐标。 交点的横坐标。

2、二次函数研究的四元素: 、二次函数研究的四元素: 开口a;对称轴 开口 ;对称轴-b/2a;顶点;与 ;顶点; 坐标轴的交点
2 1、配方法 、 b 4ac? b ) 2、顶点公式 (? , 、 2a 4a 3、对称代入法 、

1、与y轴的交点 、 轴的交点:(0,c) 轴的交点 2、与x轴的交点:y=0时, 轴的交点: 、 轴的交点 时 转化成一元二次方程

3、二次函数的相关量 、 1)单调性的相关量:开口;对称轴 )单调性的相关量:开口; 2)最值相关量: )最值相关量: 注:以静制动 10定义域 : 定义域R: 20定义域 定义域[m,n]: : 3)对称轴相关量: )对称轴相关量: 10:对称轴 对称轴x=-b/2a 对称轴 20:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴 对称轴x=(a+b)/2 对称轴

4)二次方程、二次不等式 )二次方程、 10与x轴的交点坐标是方程 轴的交点坐标是方程f(x)=0的 轴的交点坐标是方程 的 实根,它在x轴上的线段长为 实根,它在 轴上的线段长为

? | x1 ? x2 |= (x1 + x2 ) ? 4x1x2 = | a|
2

20突现函数图象,研究二次方程 突现函数图象, ax2+bx+c=0的根的分布问题: 的根的分布问题: 的根的分布问题 二次项系数a的符号 的符号; ①二次项系数 的符号; 判别式的符号; ②判别式的符号; 区间端点函数值的正负; ③区间端点函数值的正负; 对称轴x=- ④对称轴 -b/2a与区间端点的关系 与区间端点的关系 注:方程、不等式问题等价转化 方程、不等式问题等价转化 图形问题 等价转化简单不等式组

?= b2-4ac 二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 的根

?>0

?=0

?<0

有相异两 实根x 实根 1,x2 (x1<x2)

有相等两实 没有实根 根 x 1= x 2 =-b/2a =-

一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a> x<x 或x>x x≠-b/2a - 1 2 0)的解集 的解集 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a> 0)的解集 的解集

R

x1<x<x2

Φ

Φ

? 1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图 与 的图 象只可能是( D 象只可能是 )
y
y

0

0
x

x B

y
A

y

0

x C

0

x

D

? 变:两个二次函数f(x)=ax2+bx+c 两个二次函数 2+ax+c的图象只可能是 与(x)=bx 的图象只可能是 图中的( 图中的 D )
y
y

0 y A y

x

0

x

B

0 C

x

0 D

x

2、在区间[-4,-1]上函数 、在区间 , 上函数 f(x)=-x2+px+q与g(x)=x+4/x同时取 与 同时取 到一样的最大值, 到一样的最大值,求在该区间上函 的最小值____ 数f(x)的最小值 的最小值

? 3、函数 、函数f(x)=4x2-mx+5在区间 在区间 [-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取 - 上是增函数, 上是增函数 的取 值范围是( 值范围是 ? A.f(1)≥25 C.f(1)≤25 ) A B.f(1)=25 D.f(1)>25

变1:函数 :函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1对 对 任意实数x都有 都有f(1-x)=f(1+x)成立, 成立, 任意实数 都有 成立 若当x∈ , 时 若当 ∈[-1,1]时,f(x)>0,则b的 则 的 范围? 范围?

变2:函数 :函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出 ∈ 给出 下列命题: 下列命题: ①f(x)必是偶函数 必是偶函数 的图象必关于x=1 ②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于 时 的图象必关于 对称 在区间[a,+∞)上是 增 ③若a2-b≤0则f(x)在区间 则 在区间 上是 函数 的最大值|a ④f(x)的最大值 2-b|其中正确的序号是 的最大值 其中正确的序号是 _____

4.已知二次函数 已知二次函数f(x)同时满足条件: 同时满足条件: 已知二次函数 同时满足条件 ? ⑴f(1+x)=f(1-x); - ; ? ⑵f(x)的最大值为 ; 的最大值为15; 的最大值为 ? ⑶f(x)=0的两根立方和等于 , 的两根立方和等于17, 的两根立方和等于 ? 求f(x)的解析式。 的解析式。 的解析式 待定系数法

5.已知二次函数 已知二次函数f(x)的定义域为 , 的定义域为R, 已知二次函数 的定义域为 f(1)=2,在x=t处取得最值, , 处取得最值, 处取得最值 为一次函数, 若y=g(x)为一次函数,且 为一次函数 f(x)+g(x)=x2+2x-3。 - 。 ? ⑴求f(x)的解析式; 的解析式; 的解析式 ? ⑵若x∈[- ]时f(x)≥-1恒成立, 恒成立, ∈[-1,2] - 恒成立 的取值范围。 求t的取值范围。 的取值范围

6、老师给出一个函数f(x),四个学生 、老师给出一个函数 , 甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个 性质: 性质: 对于x∈ ,都有f(1+x)=f(1-x); 甲:对于 ∈R,都有 - ; (-∞, ]上函数递减; 乙:在(- ,1]上函数递减; (-∞, )上函数递增; 丙:在(- ,1)上函数递增; 不是函数的最小值。 丁:f(0)不是函数的最小值。 不是函数的最小值 如果其中恰有三个说的正确, 如果其中恰有三个说的正确,请写出一 个这样的函数_______________。 个这样的函数 。

变:若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 若二次函数 使得f 和f2(x)=a2x2+b2x+c2,使得 1(x)- - f2(x)在[1,2]上是单调减函数, 在 ]上是单调减函数, 且在[ ]上有最大值5和最小值 且在[1,2]上有最大值 和最小值 3。请写出一组满足上述要求的二 。 次函数: 次函数: f1(x)=_________,f2(x)=_______

? 7.已知实数 、b、c,函数 已知实数a、 、 , 已知实数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当 , ? -1≤x≤1时|f(x)|≤1. 时 ? ⑴证明:|c|≤1; 证明: ; ? ⑵证明:当-1≤x≤1时|g(x)|≤2; 证明: 时 ; ? ⑶设a>0,当-1≤x≤1时g(x)的最大 > , 时 的最大 值为2, 值为 ,求f(x)。 。

二次函数在区间上的最值 ? 例1求函数 =x2―2ax―1在 求函数y= 求函数 在 [0,2]上的值域。 分类讨论 ]上的值域。 ?
2+ax+3-a, 已知函数f(x)=x 变:已知函数 - ,

恒成立, 若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立, ∈- 时 恒成立 求实数a的取值范围 的取值范围。 求实数 的取值范围
等价于f(x)在[-2,2]的最值大于等于 在 的最值大于等于0 等价于 的最值大于等于

? 若x≥0,y≥0,且x + 2y=1,则2x 且 = , 2的最小值为( + 3y 的最小值为( ) B ? A.2 B.3/4 ? C.2/3 D.0

? 例2、已知二次函数 、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 和 一次函数g(x)= -bx,其中 、b、c满 其中a、 、 满 一次函数 其中 足a>b>c,a+b+c=0(a、b、c∈R). , 、 、 ∈ ? ⑴求证:两个函数的图象交于不同的 求证: 两点A、 ; 两点 、B; ? ⑵求线段AB在x轴上的射影 1B1之长 轴上的射影A 求线段 在 轴上的射影 的取值范围。 的取值范围。c ?a > b > c 1 ? ?2 < < ? ? a 2 ?a + b + c = 0

解: (1) y=ax2+bx+c ∴ax2+bx+c=-3x y=-bx 2+2bx+c=0① ax ① △=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac c 2 3 2 =4[(a+ 2 ) + 4 c ] ∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0 ∴△>0 ∴两函数图象交于两个不 同点。 同点。

(2)设方程两个根分别为 1,x2 )设方程两个根分别为x c 2b x1x2= 则 x1+x2= a 2=(x +xa)2-4x x |A1B1| 1 2 1 22 2 b)2- 4 c = 4 b ? 4 ac =(2 a
a
a

= =4 [( + ) + ] 2 a a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0 c a>-a-c>c ∈(-2,- 1 ) a 2 2∈(3,12) ∴|A1B1| 3 <|A1B1|<2 3
4 ( ? a ? c ) 2 ? 4 ac

c a

1 2 2

3 4

一元二次方程根的分布

1.集合 集合A={x|x2+(m+2)x+1=0},若 集合 若 A∩ {正实数 Φ 正实数}= 正实数 则实数m的范围? 则实数 的范围? 的范围 2.函数 函数f(x)=ax2+bx+c的图象如 函数 的图象如 右图, 的范围___ 右图,则b的范围 的范围
1 2

?

2+(m-3)x+1的 3.已知函数 已知函数f(x)=mx 已知函数 - 的

图象与x轴的交点至少有一个在原 图象与 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,则实数a的取值范围是 点的右侧,则实数 的取值范围是 ( D ) A.(0,1] B.(0,1) C.(-∞,1) D.(-∞,1] - -

? 4.二次函数 二次函数y=7x2-(k+13)x+k2 二次函数 的图象与x轴的两个交点 -k-2的图象与 轴的两个交点 - 的图象与 分别在开区间(0,1)和(1,2)内, 分别在开区间 和 内 则实数k的取值范围是 的取值范围是_______. 则实数 的取值范围是 (-2,-1)∪(3,4) - - ∪

5.若关于 的方程 x+2x?a+a+1 若关于x的方程 若关于 的方程4 + + 有实根, =0有实根,则实数 的取值范 有实根 则实数a的取值范 围是___________. 围是(?∞,2 ? 2 2 ] 设t=2x,则原命题等价于关于 则原命题等价于关于 t的方程 2+at+a+1=0有正根 的方程t 的方程 有正根

6.若方程 若方程2ax2-x-1=0在(0,1) 若方程 在 , ) 内恰有一解,则实数a的范围 的范围() 内恰有一解,则实数 的范围() A a<-1 B a>1 C -1<a<1 D 0≤a<1

练习: 练习: 1.(1)关于 的方程 ( )关于x的方程 的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两根一个小 的两根一个小 的取值范围? 于0,一个大于 ,求m的取值范围? ,一个大于1, 的取值范围 为何值时, (2)m为何值时,方程 2-2mx+m2-1=0的两根都 ) 为何值时 方程x 的两根都 在(-2,4)内。 , ) (3)方程 2+(m-5)x+7=0的两根都大于 ,另一 的两根都大于4, )方程3x 的两根都大于 根小于4, 的范围? 根小于 ,则m 的范围? 的两根都大于2, (4)方程 2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于 ,则m )方程x 的两根都大于 的范围? 的范围?

2.设二次函数 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程 方程f(x)-x=0的 设二次函数 方程 的 满足0<x1<x2<1/a 两个根x 两个根 1,x2满足 (1)当x∈(0,x1)时,证明:x<f(x)<x1 当 ∈ 时 证明: (2)设函数 设函数f(x)的图象关于直线 的图象关于直线x=x0对称,证明 对称, 设函数 的图象关于直线 x0<x1/2 3.已知方程 2+ax+b=0两实根 、β 已知方程x 两实根α、 已知方程 两实根 证明:( )如果| 证明:(1)如果 α |<2,| β |<2则2|a|<4+b且 :( 则 且 |b|<4 (2)如果 如果2|a|<4+b且|b|<4则| α |<2,| β |<2 如果 且 则


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